不定积分解法总结

不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中，很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用，为读者在学习不定积分时提供思路。文中如有错误之处，望读者批评指正。1换元积分法换元积分法分为第一换元法（凑微分法）、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元，一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。1.当出现22xa，22ax形式时，一般使用taxsin，taxsec，taxtan三种代换形式。CxaxxadxCttttaxxadx222222lntanseclnsectan2.当根号内出现单项式或多项式时一般用t代去根号。CxxxCttttdttttdttxtdxxsin2cos2sin2cos2)coscos(2sin2sin但当根号内出现高次幂时可能保留根号，cxdttdtttdttttdtttttxxxdx661212512621212arcsin6111611111111113.当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。使用万能代换2tanxt，cxdttdtttdttttdxx312tan2arctan322/14/3111121221sin212222对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用，但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式，其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种好方法。2不定积分中三角函数的处理不定积分的计算中三角函数出现的次数较多，然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法，我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此，我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。1.分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数dxxx22cossin1上下同乘xsin变形为xxxxddxxxcos1cos1coscoscossin12令xucos，则为cxxcxxxduuuuuuudu2sec412tanln21cos1cos1ln41cos121)141141121(1122222.只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意1cossin22xx的使用。cxxxxdxxxdxxxxxdxxxxx82tanln221cossin21)4/sin(2cossin21cossin1cossin21cossincossin2三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。3.函数的降次①形如的cossinxdxxnm积分（m，n为非负整数）当m为奇数时，可令xucos，于是duuuxxdxdxxxnmnmnm21211coscossincossin，转化为多项式的积分当n为奇数时，可令xusin，于是duuuxxdxxdxxumnmnm21211sincossincossin，同样转化为多项式的积分。当m，n均为偶数时，可反复利用下列三角公式：,22cos1cos,22cos1sin,2sin21cossin22xxxxxxx不断降低被积函数的幂次，直至化为前两种情形之一为止。②形如xdxntan和xdxncot的积分（n为正整数）令xdxutan，则uxarctan，21ududx，从而,1tan2duuuxdxnn已转化成有理函数的积分。类似地，xdxncot可通过代换xucot转为成有理函数的积分。③形如xdxnsec和xdxmcsc的积分（n为正整数）当n为偶数时，若令xutan，则21,arctanududxux，于是duuduuudxxxdxnnnn122222221111tan1sec已转化成多项式的积分。类似地，xdxncsc可通过代换xucot转化成有理函数的积分。当n为奇数时，利用分部积分法来求即可。4.当有x与三角函数相乘或除时一般使用分部积分法。cxxxxxdxxxxxxdxxdxxxdxxxxdxx2cos812sin41412sin412sin41412sin41412cos214122cos1sin222223有理函数积分法的总结有理函数积分法主要分为两步：1.化有理假分式为有理真分式；2.化有理真分式为部分分式之和。有理假分式化为有理真分式的方法由我们已经掌握的代数学的方法可得，这里不做讨论。1.有理真分式化为部分分式之和求解①简单的有理真分式的拆分cxxdxxxxdxxx44341ln41ln1111②注意分子和分母在形式上的联系cxxcttdtttttdtxtxxdxxxxdx33lnln33ln3ln311313337777767此类题目一般还有另外一种题型：cxxdxxxxdxxxx52ln215222215212222.注意分母（分子）有理化的使用Cxxxxxxdx232332121321214123212324特殊题型该类题目一般被积函数形式比较复杂，一般在竞赛中较常出现。但在平时训练这些题型有助于提高数学的思维逻辑能力。1.善于利用xe，因为其求导后不变。cxexecttdtttxetxedxexedxxexexedxxexxxxxxxxxxxx1ln1ln11111111这道题目中首先会注意到xxe，因为其形式比较复杂。但是可以发现其求导后为xxxee与分母差xe，另外因为xe求导后不变，所以容易想到分子分母同乘以xe。2.某些题正的不行倒着来cyyydyydyyyyyuduuuduuuuuuudduuuuduuuuuuxdxxxtantantansecsectansec11ln11ln1ln111ln1sinsinsinln2222222222cxxxxxdxxxdxxxxxxxxxdxxxxdcotsinlncotcotsinlncotsincossincossinlncotsinlncotsinlncotcotsin原式2这道题换元的思路比较奇特，一般我们会直接使用xusin，然而这样的换元方法是解不出本题的。我概括此类题的方法为“正的不行倒着来”，当xusin这类一般的换元法行不通时尝试下xusin1。这种思路类似于证明题中的反证法。3.注意复杂部分求导后的导数dtetttxtdxxxxxxt22212lnln21ln2ln注意到:tttttttettetyettettyettetety2233323321212122226132123-212yyyettttcxxexxcttettdtettetdtettettdtettetetdtetttxtttttttttlnln3lnln2lnlnln32ln21213222261212ln3322333322本题把被积函数拆为三部分：321,,yyy，1y的分子为分母的导数，2y的值为1，3y的分子为分母因式分解后的一部分。此类题目出现的次数不多，一般在竞赛中出现。4.对于)0(),(2adxcbxaxxR型积分，考虑acb42的符号来确定取不同的变换。如果0，设方程02cbxax两个实根为,，令xtcbxax2，可使上述积分有理化。如果0，则方程02cbxax没有实根，令txacbxax2，可使上述积分有理化。此中情况下，还可以设cxtcbxax2，至于采用哪种替换，具体问题具体分析。