均值不等式

均值不等式归纳总结1.(1)若Rba,，则abba222(2)若Rba,，则222baab（当且仅当ba时取“=”）2.(1)若*,Rba，则abba2(2)若*,Rba，则abba2（当且仅当ba时取“=”）(3)若*,Rba，则22baab(当且仅当ba时取“=”）3.若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则12xx(当且仅当1x时取“=”）若0x，则11122-2xxxxxx即或(当且仅当ba时取“=”）4.若0ab，则2abba(当且仅当ba时取“=”）若0ab，则22-2abababbababa即或(当且仅当ba时取“=”）5.若Rba,，则2)2(222baba（当且仅当ba时取“=”）(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．(2)求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用应用一：求最值例1：求下列函数的值域（1）y＝3x2＋12x2（2）y＝x＋1x解题技巧技巧一：凑项例.已知54x，求函数14245yxx的最大值。技巧二：凑系数例.当时，求(82)yxx的最大值。变式：设230x，求函数)23(4xxy的最大值。技巧三：分离（或换元）例.求2710(1)1xxyxx的值域。技巧四：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，结合函数()afxxx的单调性。例：求函数2254xyx的值域。练习1．求下列函数的最小值，并求取得最小值时，x的值.（1）231,(0)xxyxx（2）12,33yxxx(3)12sin,(0,)sinyxxx2．已知01x，求函数(1)yxx的最大值.；3．203x，求函数(23)yxx的最大值.条件求最值1.若实数满足2ba，则ba33的最小值是.变式：若44loglog2xy，求11xy的最小值.并求x,y的值技巧五：整体代换多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。。2.已知0,0xy，且191xy，求xy的最小值。变式：（1）若Ryx,且12yx，求yx11的最小值(2)已知Ryxba,,,且1ybxa，求yx的最小值技巧六已知x，y为正实数，且x2＋y22＝1，求x1＋y2的最大值.下面将x，12＋y22分别看成两个因式：技巧七：已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝1ab的最小值.分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元，转化为一元函数问题，再用单调性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式。变式：1.已知a0，b0，ab－(a＋b)＝1，求a＋b的最小值。2.若直角三角形周长为1，求它的面积最大值。技巧八.取平方1、已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求函数W＝3x＋2y的最值.变式:求函数152152()22yxxx的最大值。应用二：利用均值不等式证明不等式1．已知cba,,为两两不相等的实数，求证：cabcabcba2221）正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc2）已知a、b、cR，且1abc。求证：1111118abc应用三：均值不等式与恒成立问题例：已知0,0xy且191xy，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。应用四：均值定理在比较大小中的应用：例：若)2lg(),lg(lg21,lglg,1baRbaQbaPba，则RQP,,的大小关系是.