高考文科数学一轮复习文档：第二章第二节函数的单调性与最值版含答案

第二节　函数的单调性与最值2019考纲考题考情1．增函数与减函数一般地，设函数f(x)的定义域为I：(1)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数。(2)如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数。2．单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间。3．函数的最大值与最小值一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值。(2)对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；存在x0∈I，使得f(x0)＝M，那么，我们称M是函数y＝f(x)的最小值。4．函数单调性的两个等价结论设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则(1)0(或0)⇔f(x)在D上单fx1－fx2x1－x2(x1－x2)[fx1－fx2]调递增。(2)0(或0)⇔f(x)在D上单fx1－fx2x1－x2(x1－x2)[fx1－fx2]调递减。5．对勾函数的单调性对勾函数y＝x＋(a0)的递增区间为(－∞，－]和[，＋axaa∞)；递减区间为[－，0)和(0，]，且对勾函数为奇函数。aa6．函数单调性常用结论区间D上单调递增区间D上单调递减定义法x1x2⇔f(x1)f(x2)x1x2⇔f(x1)f(x2)图象法函数图象是上升的函数图象是下降的导数法导数大于零导数小于零运算法递增＋递增递减＋递减复合法内外层函数单调性相同内外层函数单调性相反　函数单调性的常用结论1．若f(x)，g(x)均为区间A上的增(减)函数，则f(x)＋g(x)也是区间A上的增(减)函数。2．若k0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0，则kf(x)与f(x)单调性相反。3．函数y＝f(x)(f(x)0或f(x)0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反。1fx4．函数y＝f(x)(f(x)≥0)在公共定义域内与y＝的单调fx性相同。一、走进教材1．(必修1P39A组T1改编)函数y＝x2－5x－6在区间[2,4]上是(　　)A．递减函数B．递增函数C．先递减再递增函数D．先递增再递减函数解析　作出函数y＝x2－5x－6的图象(图略)知开口向上，且对称轴为x＝，在[2,4]上先减后增。故选C。52答案　C2．(必修1P31例4改编)函数y＝在[2,3]上的最小值为(　　)1x－1A．2　　　　B．C．　　　D．－121312解析　因为y＝在[2,3]上单调递减，所以ymin＝＝1x－113－1。故选B。12答案　B二、走近高考3．(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)，则(　　)A．f(x)在(0,2)上单调递增B．f(x)在(0,2)上单调递减C．y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称D．y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称解析　因为f(x)＝lnx＋ln(2－x)的定义域为(0,2)，f(x)＝ln[x(2－x)]＝ln[－(x－1)2＋1]，由复合函数的单调性，知函数f(x)＝lnx＋ln(2－x)在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以排除A，B；f＝ln＋ln＝ln，f＝ln＋ln＝ln(12)12(2－12)34(32)32(2－32)，所以f＝f＝ln，所以排除D，故选C。34(12)(32)34答案　C4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－2)B．(－∞，1)C．(1，＋∞)D．(4，＋∞)解析　由x2－2x－80，得x－2或x4。因此，函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的定义域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)。注意到函数y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上单调递增。由复合函数的单调性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是(4，＋∞)。故选D。答案　D三、走出误区微提醒：①单调性判断出错致误；②对称轴讨论出错致误；③不会结合函数的图象致误。5．函数f(x)＝－x＋在上的最大值是(　　)1x[－2，－13]A．B．－3283C．－2D．2解析　易知f(x)在上是减函数，所以f(x)max＝f(－2)[－2，－13]＝2－＝。故选A。1232答案　A6．如果二次函数f(x)＝3x2＋2(a－1)x＋b在区间(－∞，1)上是减函数，那么a的取值范围是________。解析　二次函数的对称轴方程为x＝－，由题意知－a－13≥1，即a≤－2。a－13答案　(－∞，－2]7．若函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是[3，＋∞)，则a的值为________。解析　由图象(图略)易知函数f(x)＝|2x＋a|的单调递增区间是，令－＝3，得a＝－6。[－a2，＋∞)a2答案　－6考点一确定函数的单调性(区间)【例1】　(1)(2019·山西晋城模拟)已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a0且a≠1)，若f(0)0，则此函数的单调递增区间是(　　)A．(－∞，－1]B．[－1，＋∞)C．[－1,1)D．(－3，－1](2)试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1,1)上的单调性。axx－1(1)解析　令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)0，可得－3x1，故函数的定义域为{x|－3x1}。根据f(0)＝loga30，可得0a1，则本题即求函数g(x)在(－3，1)内的单调递减区间。利用二次函数的性质可求得函数g(x)在(－3,1)内的单调递减区间为[－1,1)，故选C。答案　C(2)解　设－1x1x21，f(x)＝a＝a，(x－1＋1x－1)(1＋1x－1)f(x1)－f(x2)＝a－a＝，(1＋1x1－1)(1＋1x2－1)ax2－x1x1－1x2－1由于－1x1x21，所以x2－x10，x1－10，x2－10，故当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a0时，f(x1)－f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(－1,1)上单调递增。解：f′(x)＝ax′x－1－axx－1′x－12＝＝－。ax－1－axx－12ax－12当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上单调递减；当a0时，f′(x)0，函数f(x)在(－1,1)上单调递增。1．求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如例1(1)。2．(1)函数单调性的判断方法有：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法。(2)函数y＝f(g(x))的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则。【变式训练】　(1)(2019·辽宁师大附中模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是(　　)A．y＝xB．y＝exC．y＝|x|D．y＝ln|x|(12)(2)判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1a3)在x∈[1,2]上的1x单调性。(1)解析　因为y＝x是奇函数，y＝ex是非奇非偶函数，y＝ln|x|是偶函数，但是在区间(0,1)内单调递增，且由y＝|x|图(12)象可知是偶函数，在区间(0,1)内单调递减。故选C。答案　C(2)解　判断：f(x)在[1,2]上单调递增，证明如下：设1≤x1x2≤2，则f(x2)－f(x1)＝ax＋－ax－＝(x2－x1)221x2211x1，[ax1＋x2－1x1x2]由1≤x1x2≤2，得x2－x10,2x1＋x24，1x1x24，－1－－。1x1x214又因为1a3，所以2a(x1＋x2)12，得a(x1＋x2)－0，1x1x2从而f(x2)－f(x1)0，即f(x2)f(x1)，故当a∈(1,3)时，f(x)在[1,2]上单调递增。考点二函数的最值【例2】　(1)函数f(x)＝x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上(13)的最大值为________。(2)已知函数f(x)＝Error!则f(x)的最小值是________。解析　(1)由于y＝x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)(13)在[－1,1]上单调递增，所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3。(2)当x≤1时，f(x)min＝0，当x1时，f(x)min＝2－6，当6且仅当x＝时取到最小值，又2－60，所以f(x)min＝2－6666。答案　(1)3　(2)2－66求函数最值的五种常用方法及其思路1．单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值。2．图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值。3．基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值。4．导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值。5．换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值。【变式训练】　(1)函数f(x)＝(x≥2)的最大值为xx－1________。(2)(2019·石家庄模拟)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝Error!设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________。解析　(1)易得f(x)＝＝1＋，当x≥2时，x－10，xx－11x－1易知f(x)在[2，＋∞)上是减函数，所以f(x)max＝f(2)＝1＋＝12－12。(2)在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图所示。易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1。解析：依题意，h(x)＝Error!当0x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x2时，h(x)＝3－x是减函数，所以h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1。答案　(1)2　(2)1考点三函数单调性的应用微点小专题方向1：比较大小【例3】　已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　)(－12)A．cabB．cbaC．acbD．bac解析　由于函数f(x)的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y轴对称，故函数y＝f(x)的图象本身关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f。当x2x11时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)0(－12)(52)恒成立，等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以bac。故选D。答案　D比较函数值的大小，应将自变量转化到同一单调区间内，然后利用单调性解决。方向2：解不等式【例4】　已知奇函数f(x)在x0时单调递增，且f(1)＝0，若f(x－1)0，则x的取值范围为(　　)A．{x|0x1或x2}B．{x|x0或x2}C．{x|x0或x3}D．{x|x－1或x1}解析　因为奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(－1)＝0，则－1x0或x1时，f(x)0；x－1或0x1时，f(x)0。所以不等式f(x－1)0即－1x－10或x－11，解得0x1或x2。故选A。答案　A利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域。方向3：求参数范围【例5】　(2019·