二次型知识点总结

第五章二次型（**）一、复习指导：二次型这一章节也是一个比较重要的章节，在首师大的大题中，往往会出现关于判断二次型是否为正定二次型的题目，我们要掌握的：正定二次型的充分必要条件;还可能会出化二次型为标准型，所以我们还要知道如何化二次型为标准型。二、考点精讲：（一）基本概念1、二次型—含n个变量nxxx,,,21且每项皆为二次的齐次多项式ninjjiijnnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxxxf111,12112221112122),,,(称为二次型。令nxxxX21，nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，则AXXXfT)(。矩阵A称为二次型的矩阵，显然AAT，即二次型的矩阵都是对称矩阵，矩阵A的秩称为二次型的秩。2、标准二次型—只含有平方项不含交叉项的二次型称为标准二次型。3、矩阵合同—设BA,为n阶矩阵，若存在可逆矩阵P，使得BAPPT，称矩阵A与B合同，记为BA。4、二次型的标准化—设AXXXfT)(为一个二次型，若经过可逆的线性变换PYX（即P为可逆矩阵）把二次型AXXXfT)(化为2222211)()(mmTTPYXTylylylYAPPYAXXXf，称为二次型的标准化。5、规范二次型—二次型的标准型的系数为1和1的标准型，称为二次型的规范型。（二）二次型标准化方法1.配方法2.正交变换法（1）求A的特征值n,,,21。（2）求A的线性无关的特征向量n,,,21。（3）将n,,,21进行施密特正交化和规范化得n,,,21，令),,,(21nQ。（4）2222211)(nnTTQYXTyyyYAQQYAXXf。（一）正定矩阵与正定二次型1.定义二次型f(x1,x2,…,xn)称为正定二次型,如果当x1,x2,…,xn不全为时,一定有f(x1,x2,…,xn)0.如果实对称矩阵A所决定的二次型正定,则称A为正定矩阵,于是A为正定矩阵也就是满足性质:当X0时,一定有XTAX0.二次型的正定性是在可逆线性变量替换中保持不变的.即实对称矩阵的正定性在合同变换时保持不变.2.性质与判断（充分必要条件）实对称矩阵A正定合同于单位矩阵.存在可逆矩C,使得A=CTC.A的正惯性指数等于其阶数n.A的特征值都是正数.A的顺序主子式全大于0.顺序主子式:一个n阶矩阵有n个顺序主子式,第r个(或称r阶)顺序主子式即A的左上角的r阶矩阵Ar的行列式|Ar|.判断正定性的方法:顺序主子式法,特征值法,定义法.三、首师大真题：