小学数学知识讲座

小学数学知识讲座《空间与图形、统计与概率》一、课程标准的要求：•《标准》将以往的“几何”拓广为“空间与图形“，它加强和削弱了哪些内容呢？•1.加强方面及其依据•第一：强调内容的现实背景，联系学生的生活经验。以第一学段为例，其内容不仅•包括常见的几何图形，而且还有现实世界的二维、三维图形及其相关问题。•第二：增强了图形的变换，位置的确定，视图等内容。•三个学段的要求如下：•第一学段：感受平移、旋转、对称现象。•第二学段：进一步学习图形的变换。•第三学段：注重联系生活实际学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏•并体验变换在现实生活中的广泛应用。•第三：加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。•《标准》注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出•几何图形的过程，注重探究图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学•段中注重引导学生通过观察、操作、有条理地思考和推理，交流等活动，从多种角•度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第•三阶段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式•的活动引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探究图形的性质，进一步认•识图形及其性质，丰富集合的活动经验和良好体验，发展空间观念。•2.削弱的方面及依据•第一二学段，削弱了单纯的平面图形周长、面积、体积等计算，这是因为这两个学•段是发展学生空间观念的良机，而单纯的几何计算并不能有效地发展学生的空间观•念，因而《标准》把这类计算融入几何直观和反应空间观念的问题之中。第三学段•削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少定理的数量.统计与概率•一、强调与注意的方面:•标准将统计与概率作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一,主要有两个原因:•⑴现代社会要求每一合格公民必须具备一定的收集、描述、分析数据的能力，这种能力要从小培养。•⑵随机现象是这部分内容的一个重要研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一种全新的观念。不仅给以后的学习带来方便，而且能使学生所学的数学更加贴近现实。•1.强调统计与概率过程性目标的达成•2.强调对统计表特征和统计量实际意义的理解•3.注意与现代信息技术的结合•4.注意统计与概率和其他内容的联系•5.注意避免的统计量的计算和对有关术语进行严格表达•二、各学段实施时要注意的问题第二部分有关空间与图形基础知识一、线、角和距离1.直线、线段、射线名称图形意义区别联系直线不定义，应理解为是直的线，无头无尾每条直线都可向两边无限延伸；不能量出其长它们都是直的；射线、线段都是直线的一部分；线段也可以看成是射线的一部分线段直线上两点间的一段。这两点称为线段的端点线段不能向两端无限延长；有两个端点；可以量出其长度射线直线上一点一旁的部分。这一点称为射线的端点。射线向一端无限延伸射线可以向一个端点无限延长，有一个端点；不能量出其长度角的概念从一点引出两条射线，就组成一个角。点叫角的顶点，两条射线叫角的边。角的大小取决于两条边叉开的大小，与边的长短没有关系。量角器量角先把量角器的圆心与角的顶点重合，再把量角器的0度线与角的一边重合，看角的另一边落在量角器的哪一条刻度线上，读出读数角的类型图形意义度数直角90度的角n=90度锐角小于90度的角0度＜n＜90度钝角大于90度小于180度的角90度＜n＜180度平角角的两边成一条直线的角n=180度周角一条射线绕它的端点旋转一周所成的角n=360度3.垂直和平行位置关系图形意义性质垂直两条直线相交成直角时，叫做两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。交点叫垂足两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，那么其他三个角也是直角平行在同一平面内两条不相交的直线叫平行线平行线不论画多长都不会相交4.距离名称图形意义性质两点间的距离连接两点的线段的长叫这两点间的距离连接两点的线中，线段最短点到直线的距离从直线外一点向这条直线画垂线，这点到垂足间的线段长叫点到直线的距离从直线外一点，分别向这条直线画垂线和斜线段，垂线段最短两条平行直线的距离平行线间的垂直线段的长，叫做这两条平行线间的距离平行线间的距离处处相等一平面图形1.三角形的分类分类方式类型按角分锐角三角形三个角都为锐角直角三角形有一个角为直角钝角三角形有一个角为钝角按边分不等边三角形三条边都不相等等腰三角形只有两条边相等等边三角形三条边都相等一般四边形两边对边分别平行有一个角是直角长方形邻边相等正方形只有一组对边平行两腰相等一角为直角3.几种简单平面图形的特征、周长和面积定义周长：平面图形各边长的总和；面积：平面图形的大小名称图形特征周长C和面积S正方形四条边都相等四个角都是直角C=4aS=a×a长方形两对边相等四个角都是直角C=2（a+b）S=ab平行四边形两组对边分别平行而且相等S=ah菱形四条边相等两条对角线互相垂直S=ah÷2名称图形特征周长C和面积S三角形a-底h-高三条边和三个角内角和为180度任意两边的和大于第三边S=ah÷2梯形a-上底b-下底h-高m-中位线只有一组对边平行S=（a+b）h÷2=mh圆同圆中所有半径和直径都相等，直径是半径的2倍C=2∏r=∏dS=∏r扇形三、简单几何体1.表面展开图名称表面展开图及说明长方形表面展开图中，前面和后面、上面和下面、左面和右面面积相等正方体的六个面是全等的正方形圆柱的侧面展开图为长方形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长2.简单几何体的特征、表面积与体积定义表面积：物体表面各个面的总面积；体积：物体所占空间的大小叫体积容积：容器所能容纳物体的体积叫容积名称图形特征表（侧）面积S体积V长方形6个面都是长方形、相对的两个面面积相等；12条棱，相对棱长相等；8个顶点S=2（ab+ah+bh）V=abh正方形6个面都是相等的正方形；12条棱长相等，8个顶点S=a×a×6V=a×a×a圆柱上下两个面叫底面是相等的两圆，两底面的距离叫高S=chV=sh圆锥圆锥的底面是圆从顶点到底面圆心的距离叫高V=sh÷3四、图形位置与变换1.图形位置位置相对位置包括上、下、左右、前后。通常我们把从正面（前面）、右面、上面三个方位看到的物体的图形画成平面图，叫这个物体的三视图，并且把三个不同位置的图分别叫主、侧和俯视图方向东、南、西、北、东北、西北、东南、西南。地图方向为上北、下南、左西右东。2.图形变换名称意义生活实例平移平面内将图形沿某个方向移动一定距离的图形运动叫平移。它只是位置发生了变化其大小和形状没变，平移后的位置由平移的方向和距离确定电梯上下移动旋转平面内将图形绕一定点按某个方向转动一个角度的图形运动叫旋转。定点叫旋转中心，转动的角叫旋转角。旋转后物体的方向发生改变，形状和大小不变。旋转由旋转的中心、方向和角度确定。钟摆的运动；方向盘的转动对称对称图形沿着一条直线（对称轴）对折后，直线两旁的部分能够重合蝴蝶的形状；对称的剪纸图案缩放按一定比例放大或缩小，缩放以后的图形与原图形相似绘制地图3.平面对称图形对称图形等腰三角形等边三角形长方形菱形等腰梯形正方形圆对称轴1条3条2条2条1条4条无数条第三部分统计与概率一、统计表1.统计表的意义和结构2.单式统计表和复式统计表3.统计表的制作步骤二、统计图1.统计图的意义及类型2.统计图的特征3.统计图的制作步骤三、统计特征量名称意义举例平均数一般是算术平均数,求几个数的平均数就是用这几个数的和除以这些数的个数中位数把一组数按其大小次序排序,以排在正中间位置上的那一个数叫这组的中位数当数的个数为技术时,取正中间的一个为中位数；当为偶数时，取正中间的两个数，它们的平均数就是中位数一次考试，6名同学的成绩从高到低依次为：54，58，63，67，72，97，这组数的中位数是（63+67）÷2众数在一组数据中，出现次数最多的数叫这组数的众数。一个单位16名职工的月工资如下：月工资：60080010001人2人6人120015004人3人众数为1000比较平均数较稳定可靠，波动性比中位数小，但计算较繁，受极端数据影响较大；中位数可靠性较小，但不受极端数据影响，计算简便，众数作代表数的可靠性也较小，但计算简便，不受极端数据影响，在需找出频繁出现的数时常用众数四、事件与可能性1.事件事件分类意义举例确定性事件必然事件在一定条件下必然要发生的事件从装有10个红球的袋中摸到一个红球不可能事件在一定条件下不可能发生的事件在正常气压下，水加热到80度会沸腾不确定性事件在一定的条件下可能发生，也可能不发生的事件叫不确定事件（或偶然事件）下周三本地下雨2.简单事件发生的可能性意义不确定事件是否发生虽然不能事先确定，但它的发生是有规律可循的，事件发生的可能性是有大小可能性的大小实验统计如对一批油菜籽进行统计，结果发芽率为90%，即说明一粒油菜籽这个事件发生的可能性为90%分析计算对于一些简单事件也可以通过一次试验中可能出现的结果分析来计算可能性：先考虑一共有几种情况，再考虑要求的事件有几种，两者相除，就得到了出现每种情况的可能性。如：一个正方体的六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，掷一次每一个数字出现的可能性相同，因此出现6的可能性为1/6三、考点范围：1.几何基础；数学的主要研究对象有两个：一个是数，另一个是形；小学阶段以研究图形的大小，其中尤其以研究平面图形的面积，立体图形的表面积和体积为主要任务，但对几何基础知识也必须有一定的认识和了解；其中包括直线、射线、线段的认识；三角形的认识，三角形内角和以及四边形的内角和；特殊三角形（直角、等腰、等腰直角三角形）的认识几何图形周长的意义及计算等。这一部分内容的基础知识，主要在于对一些基本概念的准确理解和掌握，要善于将复杂问题化整为零，分解为一个个的基本问题或起变式，利用基础知识加以解决。例1:如图在直线上有A、B、C、D四个点，图中有几条直线？几条射线？几条线段？分析：一条直线上如果有两点在另一条直线上，那么这两条直线是同一条直线，直线是可以向两边无限延长的，它无端点。如果两条射线的端点相同，而方向不同，这两条射线是不同的；如果两条射线的方向相同，但端点不同，这两条射线也是不同的。只有端点相同并且方向也相同的射线，才识同一条射线。如果两条线段的端点相同，那么这两条线段是同一线段，如果两条线段有一个端点不同，这两条线段也是不同线段。所以图中有一条直线即直线AD有8条射线，即以A、B、C、D每个点为端点，分别向左右个有两条射线，图中线段共有6条：AB、BC、CD、AC、BD、AD。1.求下面平行四边形ABCD的周长（单位：CM）2.如下图,已知角1=15度,角2=35度，求角3的大小3.一个大圆内有三个大小不等的小圆如图，这些小圆的圆心在大圆的同一条直径上，它们之间都相切，大圆的周长是10㎝求这三个小圆的周长。4.有7根直径都是2分米的圆柱形木棒，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米的绳子？（打结的长不计）5.如图，B、C、D依次是线段AE上三点，若AE=15㎝，BD=6㎝，求图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和分析：计算线段的条数要做到不重不漏，在图中共有10条线段，为了求出这10条的长就要把这些线段都用AE、BD表示出来2.基本的面积计算面积计算是小学几何知识的重要内容，而利用面积公式计算又是面积计算的基础。直接利用面积公式计算面积一般是比较简单的问题，只需要熟悉一些基本的面积公式和它们所适用的各种常规图形能就可以了，这是考查的一部分内容。例1：一个直角三角形的一个锐角为45度，最长的边长是14㎝求这个三角形的面积。分析:过C点作CD的AB高,那么CD=AD=AB×1/2所以三角形的面积=CD×AB÷2练习：1.如下图，求四边形ABCD的面积是多少？2.把一个正方形的一边减少20%，相邻的一边增加2，得到一个长方形，这个长方形与原来的正方形面积相等，求原正方形的面积。3.如图，直角三角形ABC内有一个正方形BDE