二次型的性质及应用

唐山师范学院本科毕业论文题目二次型的正定性及其应用学生王倩柳指导教师张王军讲师年级2012级数学专接本专业数学与应用数学系别数学与信息科学系唐山师范学院数学与信息科学系2014年5月郑重声明本人的毕业论文（设计）是在指导教师张王军的指导下独立撰写完成的。如有剽窃、抄袭、造假等违反学术道德、学术规范和侵权的行为，本人愿意承担由此产生的各种后果，直至法律责任，并愿意通过网络接受公众的监督。特此郑重声明。毕业论文（设计）作者（签名）：2014年月日目录摘要............................................................(1)前言.............................................................(1)1二次型的历史及概念............................................(2）1.1二次型的历史............................................（2）1.1二次型的矩阵形式..........................................(2)1.2正定二次型与正定矩阵的概念................................(3)2二次型的正定性判别方法及其性质.................................(3)3二次型的应用...................................................(6)3.1多元函数极值..............................................(6)3.2证明不等式..............................................(12)3.3因式分解..................................(错误!未定义书签。)3.4二次曲线.................................................(13)结论............................................................(14)参考文献........................................................(15)致谢............................................................(14)1二次型的正定性及其应用学生：王倩柳指导老师：张王军摘要：二次型是高等代数中的主要内容之一,其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中,用初等数学方法处理会相当麻烦,而如果利用高等代数中二次型的性质去解决,就会使很多问题化繁为简,由难转易。因此,讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用,是很有意义的。关键词：二次型；矩阵；正定性；应用ThesecondtypeofpositivedefinitematrixanditsapplicationsStudent:WangqianliuInstructor:ZhangwangjunAbstract:QuadraticformisoneofitsmaincontentinHigherAlgebra,Quadraticformtheoryiswidelyusedinthemiddleschoolmathematics-theproofofinequality,extremumandthefactorizationproblem,Itistoocumbersomeoftenusingelementarymathematicsmethod,butifsolvethemusingofadvancedalgebraquadraticformproperties,willmakealotofproblemschangenumerousforbrief,fromdifficulttoeasy.Forourstudents,moreshouldlearntousetheknowledgeofhighermathematicstoguideorunderstandingofelementarymathematicsknowledgecontent,adeeperunderstandingoftheessenceofhigheralgebra.Thispaperwilldiscussquadraticformtheorytoproveinequality,polynomialfactorization,calculationofellipticalarea,judgetwotheshapeofthecurveandactualexamplesofapplication.Keywords:Quadratic;Quadraticmatrix;Qualitative;Application前言二次型是高等代数中的主要内容之一,其理论的应用非常广泛。在中学数学的不等式的证明、求极值及因式分解等问题中,用初等数学方法处理会相当麻烦,而如果利用高等代数中二次型的性质去解决,就会使很多问题化繁为简,由难转易。因此,讨论二次型理论在证明不等式、多项式的因式分解、求极值、计算椭圆面积、判断二次曲线的形状等实际例题中的应用,是很有意义的。其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，因此，对正定矩阵的讨论有重要的意义.21二次型的历史及概念1.1二次型的历史二次型的系统是从18世纪开始的，它起源于对二次曲线和二次曲面的分类问题的讨论，将二次曲线和二次曲面的方程变形，选有主轴方向的轴作为坐标轴以简化方程的形状，这个问题是在18世纪引进的。柯西在其著作中给出结论：当方程式标准型时，二次曲面用二次型的符号来进行分类。然而，那并不太清楚，在化简成标准型时，为何总是得到同样数目的正项和负项。西尔维斯特回答了这个问题，他给出了n个变数的二次型的惯性定律，但没有证明。这个定律后被雅克比重新发现和证明。1801年，高斯在《算数研究》中引进了二次型的正定，负定，半正定和半负定等术语。二次型化简的进一步研究设计二次型或行列式的特征方程的概念。特征方程的概念隐含地出现在欧拉的著作中，拉格朗日在其关于线性微分方程组的著作中首先明确地给出了这个概念。而三个变数的二次型的特征值的实性则由阿歇特、蒙日和泊松建立的。二次型常常出现在许多实际应用和理论研究中，有很大的实际使用价值。它不仅在数学的许多分支中用到，而且在物理学中也会经常用到，其中实二次型中的正定二次型占用特殊的位置.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别，并将其实现应用价值.1.2二次型的矩阵形式定义1.1设P是一个数域，ijap,n个文字1x,2x,…,nx的二次齐次多项式2121111212131311(,,,)222nnnfxxxaxaxxaxxaxx222223232222nnaxaxxaxx2nnnax11nnijijijaxx其中),...,2,1,,(njiaajiij称为数域p上的一个n元二次型，简称二次型.当ija为实数时，f称为实二次型.当ija为复数时,称f为复二次型.如果二次型中只含有文字的平方项，即12(,,...,)nfxxx=2221112...nndxdxdx称f为标准型.二次型12(,,...,)nfxxx可唯一表示成12(,,...,)nfxxx=TxAx，其中12(,,...,)Tnxxxx，()ijnnAa为对称矩阵，称上式为二次型的矩阵形式，称A为二次型的矩阵（必是对称矩阵），称A的秩为二次型f的秩.31.3正定二次型与正定矩阵的概念定义1.2设12(,,...,)nfxxx=TxAx是n元实二次型（A为实对称矩阵），如果对任意不全为零的实数12,,...,nccc都有12(,,...)0nfccc，则称f为正定二次型,称A为正定矩阵；如果12(,,...)0nfccc，则称f为半正定二次型，称A为半正定矩阵;如果12(,,...)0nfccc，则称f为负定二次型，称A为负定矩阵;如果12(,,...)0nfccc，称f为半负定二次型，称A为半负定矩阵；既不是正定又不是负定的实二次型称为不定的二次型，称A为不定矩阵.定义1.2另一种定义具有对称矩阵A的二次型,AXXfT(1)如果对任何非零向量X,都有0AXXT（或0AXXT）成立，则称AXXfT为正定（负定）二次型，矩阵A称为正定矩阵（负定矩阵）.(2)如果对任何非零向量X,都有0AXXT（或0AXXT）成立，且有非零向量0X，使000AXXT，则称AXXfT为半正定（半负定）二次型，矩阵A称为半正定矩阵（半负定矩阵）.注:二次型的正定(负定)、半正定(半负定)统称为二次型及其矩阵的有定性.不具备有定性的二次型及其矩阵称为不定的.二次型的有定性与其矩阵的有定性之间具有一一对应关系.因此,二次型的正定性判别可转化为对称矩阵的正定性判别.2二次型的正定性的判别方法及其性质定理2.1实二次型12(,,...,)nfxxx=TxAx为正定的充要条件为（若A是负定矩阵，则A为正定矩阵）：1）矩阵A的各阶顺序主子式都大于零；2）矩阵A与单位矩阵合同；3）A的全部特征值是正的。4）n级实对称矩阵A是正定的充分必要条件是,存在n级实可逆矩阵C,使A=C′C.定理2.2实二次型12(,,...,)nfxxx=TxAx为半正定（半负定）的充要条件为：1）A的所有主子式大于（小于）或等于零；2）A的全部特征值大于（小于）或等于零.43）A与矩阵000)(rrEE合同，这里r是矩阵A的秩4）n级实对称矩阵A是半正定的充分必要条件是,存在n级实矩阵C使A=C′C（A=—C′C）.推论2.1若A为正定矩阵,则0||A.定理2.2秩为r的n元实二次型AXXfT,设其规范形为22122221rppzzzzz则：(1)f负定的充分必要条件是,0p且.nr(即负定二次型,其规范形为22221nzzzf)(2)f半正定的充分必要条件是.nrp(即半正定二次型的规范形为nrzzzfr,22221)(3)f半负定的充分必要条件是,0p.nr(即nrzzzfr,22221)(4)f不定的充分必要条件是.0nrp(即22122221rppzzzzzf)定义2.1n阶矩阵)(ijaA的k个行标和列标相同的子式)1(21212221212111niiiaaaaaaaaakiiiiiiiiiiiiiiiiiikkkkkk称为A的一个k阶主子式.而子式),,2,1(||212222111211nkaaaaaaaaaAkkkkkkk称为A的k阶顺序主子式.定理2.3证明n阶矩阵)(ijaA为正定矩阵的充分必要条件是A的所有顺序主子式),,2,1(0||nkAk.例2.1设AB分别是m级、n级正定矩阵，证明BOOAc正定矩阵。5证明：法1设yxz为m+n维向量，其中x，y分别是m维和n维列向量.当z不=0时，x，y不同时为零向量，于是0),(CyyCxxyxBOOAyxCzzTTTTT故C为正定矩阵。法2设A的各阶顺序主子式为Am1-m21...　　　　，△，△，，△△而B的顺序主子