2000年哈尔滨工业大学量子力学试题

2000年量子力学考研试题一.质量为m的粒子作一维自由运动，如果粒子处于kxAx2sin的状态上，求其动量pˆ与动能Tˆ的取值几率分布及平均值。解：作一维自由运动粒子的动量与动能算符分别为mpTxp2ˆˆ;ddiˆ2显然，两者相互对易，有共同完整本征函数pxxpiexp21且满足xmpxTxpxppppp2ˆˆ2将x向xp展开，即pxcxppd展开系数kppkpAxxxxxAxkxkxxAxkxkxxAxxxckkppppp202224d224di2exp2i2exp4di2iexpiexpd202**2**只有当kp2,0时，0pc。利用归一化条件12ppc可知，归一化常数为34A于是有61;32;61202kkccc动量的取值几率为612;320;612kpWpWkpW平均值为0pppWp动能的的取值几率与动量相同，而平均值为mkpWmpTp322222二.质量为m的粒子处于如下一维势阱中axVaxxxV)0(0,00.0若已知该粒子在此势阱中存在一个能量20VE的状态，试确定此势阱的宽度a。解：对于002VVE的情况，三个区域中的波函数分别为xCxBxkxAxxexpexpsin0321其中，EVmmEk02;2由x处，03x，可知0C。由0x处，xx21，可知0sinA，即n，取0n。于是，波函数简化为xBxkxAxxexpsin0321在ax处，利用波函数及其一阶导数连续的条件aaaa'3'232得到aBkaAkaBkaAexpcosexpsin于是有kkatan此即能量满足的超越方程。当021VE时，由于1tan000mVmVamV故40namV，,3,2,1n最后，得到势阱的宽度041mVna三.（见习题选讲7.4）体系的三维空间是由三个相互正交的态矢21,uu和3u构成的，以其为基矢地两个算符Hˆ和Bˆ的矩阵形式如下010100001ˆ;100010001ˆbBH其中，,b为实常数。证明算符Hˆ和Bˆ是厄米特算符，并且两者相互对易，进而求出它们的共同本征函数。解：由厄米特算符的定义知，厄米特算符Fˆ满足FFˆˆ或者*nmmnFF题中所给出的哈密顿算符Hˆ和力学量算符Bˆ皆为实对称矩阵，故它们都是厄米特算符。因为010100001010100001100010001ˆˆbbBH而010100001100010001010100001ˆˆbbHB所以，有0ˆ,ˆBH设Hˆ满足的本征方程为321321100010001cccEccc由于Hˆ是对角矩阵，所以，它的本征值就是其对角元，即321EEE其中，32EE，能量具有二度简并。由于简并的存在，仅由算符Hˆ不能惟一确定32,EE的波函数。为了能留下较深刻的印象，让我们来仔细地做这件事。当1E时，波函数满足131211131211100010001cccccc显然，01312cc于是，相应的波函数为00111c当2E时，波函数满足232221232221100010001cccccc得到021c相应的波函数为232220cc同理可知，3E的波函数为333230cc利用归一化条件可知1000021111*11ccc1002232222322*23*22cccccc1002332323332*33*32cccccc利用正交条件可知00002322*11ccc00003332*11ccc00033*2332*223332*23*22cccccccc由于头两个正交条件给不出任何信息，所以，五个变量满足四个方程，不能惟一的定出这五个常数。当1E时，由（15）式可知111c，于是，波函数为0011进而得到11001001010100001ˆbbbB上式说明1也是算符Bˆ的本征函数，对应的本征值为b。由此看来，1是算符Hˆ与Bˆ的共同本征函数，对应的本征值分别为1E和bB1。当32EE时，波函数32,无法惟一确定，它们的矩阵形式是一样的，为简洁计，统一记为32230dd用算符Bˆ作用上式，得到本征值满足的本征方程32322300010100001ˆddBddbB在简并子空间中，久期方程为0BbbB得到B的另外两个本征值，分别记为bBbB32,当bB2时，将其代入本征方程，有323200010100001ddbddb得到32dd由归一化条件知12322dd进而，得到2132dd将其代入2表达式，有110212当bB2时，重复上面的求解过程，可以得到110213综上所述，算符Hˆ与Bˆ的本征值都是二度简并的，本征函数皆不能惟一确定，但因为它们相互对易，所以有共同完备本征函数系，它们的共同本征函数是惟一确定的，用公式表示如下：11ˆˆbBH22ˆˆbBH33ˆˆbBH四.（见习题选讲8.3）固有磁矩为p的电子，0t时处于2xs的状态，同时进入均匀磁场k0BB中。求0t时测量xsˆ得2xs的几率是多少。解：第一步，解定态薛定諤方程。这是一个讨论自旋状态随时间演变的问题，故可以不顾及空间自由度。磁矩与外磁场相互作用引起一附加能量，与自旋相关的哈密顿算符为zsBmceBsmceBHˆkˆˆˆ00其中，me,分别为电子的电荷与质量。若令00Bmce则哈密顿算符可简化为zsHˆˆ0在zs表象中，哈密顿算符是对角矩阵，它的解可以直接写出：10,2101,21202101EE第二步，写出任意时刻的波函数。依题意，知x)0(式中，x是在xss,2表象中xsˆ的一个本征矢，为了将其在zs表象中表示出来，必须求解xs满足的本征方程，即baba201102解之得211121211121xx在zs表象中，初态为112121)0(x于是，0t时刻的波函数为ttt002iexp212iexp21)(第三步，求在)(t态上测量xsˆ得2xs的几率。将)(t向xsˆ的本征态展开mxmmct)(其中，)(tmcxm在)(t态上测量xsˆ得2xs的几率为ttttttctsWxx022002002221sin2iexp2iexp212iexp2iexp2121)(),2(五.一个电荷为q、质量为和教频率为的线谐振子，受到恒定弱电场的作用，即xqWˆ，求其能量近似到二级修正，波函数到一级修正。解：体系的哈密顿算符为WHHˆˆˆ0xqWˆ0ˆH的解为210nEn；n由于0ˆH的解无简并，可以利用无简并微扰论的计算公式knnknkknkkkkEE进行计算。由1,1,2121nmnmnnnxm可知，1,1,212nmnmmnnnqW显然，能量一级修正0kkW于是，得到能量近似值为2222221,1,20021,1,200022121221212112121221qkkkqkkknkqkEEkkqkEEWWEEknknknknnkknknknnknkknkk此结果与习题选讲3.4得到的精确解完全一致。波函数的近似值为1212121211,1,00kkkkqknkknkqknEEWkxknknknknnkknk