2003年哈尔滨工业大学量子力学试题

2003年量子力学试题解答一、（30分）回答下列问题1、何谓微观粒子的波粒两象性？解：微观粒子既不是粒子，也不是波。更确切地说，它既不是经典意义下的粒子，也不是经典意义下的波，但是，它即具有经典粒子的第一条属性（具有确定的质量、电荷与自旋），又具有经典波动的第三条属性（具有干涉与衍射现象）。严格地说，电子就是电子，粒子与波只是微观粒子的两种不同的属性。如果硬是要用经典的概念来理解它的话，那么，它既具有经典粒子的属性又具有经典波动的属性，是经典粒子与经典波动这一对矛盾的综合体。2、波函数tr,是用来描述什么的？它应该满足什么样的自然条件？2,tr的物理含义是什么？解：波函数是用来描述体系的状态的复函数，除了应满足平方可积的条件之外，它还应该是单值、有限和连续的。2,tr表示在t时刻r附近d体积元中粒子出现的几率密度。3、分别说明什么样的状态是束缚态、简并态与负宇称态？解：当粒子的坐标趋向无穷远时，波函数趋向零，称之为粒子处于束缚态。若一个本征值对应一个以上的本征态，则称该本征值是简并的，所对应的本征态即为简并态，本征态的个数就是相应的简并度。将波函数中的坐标变量改变一个负号，若新波函数与原波函数相差一个负号，则称其为负宇称态。4、物理上可观测量应该对应什么样的算符？为什么？解：物理上可观测量对应线性厄米特算符。线性是状态叠加原理要求的，厄米特算符的本征值是实数，可与观测值比较。5、坐标x分量算符与动量x分量算符xpˆ的对易关系是什么？并写出两者满足的测不准关系。解：对易关系为iˆ,xpx，测不准关系为2xpx6、厄米算符Fˆ的本征值nf与本征矢n分别具有什么性质？解：本征值为实数，本征矢为正交、归一和完备的函数系。二、（20分）（见习题选讲6.1）设氢原子处于,YR21,YR21,YR21,,112110311021rrrr的状态上，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能取值与相应的取值几率，进而求出它们的平均值。解：选zLLH,,2为描述体系的力学量完全集，氢原子的本征解为,YR,,12224lmnlnlmnrrneE其中，量子数的取值范围是lllllmnln,1,,2,1,1,,2.1,0,3,2,1利用归一化条件求出归一化常数为5421412121c氢原子的能量只与主量子数n有关，以题意可知，n的可能取值只有两个，即3,2n，于是515441,1854542121,832432242EWeEEWeE24242495118548eeeE角动量量子数l的可能取值只有一个，即1l，故有222222212,2LLWL角动量磁量子数m的可能取值有两个，即0,1m，于是535441210,0525421,zzzzLELLEL52zL三、（25分）有一质量为m的粒子，在如下势场中运动bxaVaxbxxxV,0,0,0,0试求出束缚能级所满足的方程。解：当0VE时，四个区域的波函数分别为0)sin(sin0423121xxkBxxkAxx式中，mEk21；022VEmk由0x处波函数连续可知，0，由bx处波函数连续可知bk2再利用ax处波函数及其一阶导数连续的条件bkakBkakAkbkakBakA22211221coscossinsin求出bakkkak2211tantan此即0VE时能量本征值满足的超越方程。当0VE时，四个区域的波函数分别为0expexpsin04321xxCxBxkxAxx式中，mEk2；EVm02由bx处波函数连续条件可知，0expexpbCbB或者bCB2exp再利用ax处波函数及其一阶导数连续的条件aCaBkaAkaCaBkaAexpexpcosexpexpsin利用B与C的关系式，将上两式改写为aCbaCkaAkaCbaCkaAexp2expcosexp2expsin最后，得到0VE时能量满足的超越方程12exp12expexp2expexp2exptanbabakabaabakka四、（25分）设厄米特算符Hˆ的本征矢为n，n构成正交归一完备系，定义一个算符nmnmU,ˆ（1）计算对易子nmUH,ˆ,ˆ；（2）证明pmUqpUnmUnq,ˆ,ˆ,ˆ；（3）计算迹nmU,ˆTr，其中，算符Fˆ的迹定义为kkFkFˆˆTr；（4）若算符Aˆ的矩阵元为nAmAmnˆ，证明nmUAAnmmn,ˆˆ,qpUAApq,ˆˆTr解：（1）对于任意一个态矢，有nmUEEnmUEnmUEHnmnmHHnmUnmUHnmUHnmnm,ˆ,ˆ,ˆˆˆˆ,ˆ,ˆˆ,ˆ,ˆ故nmUEEnmUHnm,ˆ,ˆ,ˆ（2）pmUpqnmqpUnmUnq,ˆ,ˆ,ˆ（3）算符的迹为mnkkkmnmkknknmkknmUknmU,ˆ,ˆTr（4）算符nmUAnnAmmAmmAnmmnnmm,ˆˆˆˆ,,而qpUAkqpUAkkpqAkqAkkpqApAkkkpq,ˆˆTr,ˆˆˆˆˆ五、（25分）自旋为21、固有磁矩为s（其中为实常数）的粒子，处于均匀外磁场k0BB中，设0t时，粒子处于2xs的状态，（1）求出0t时的波函数；（2）求出0t时xsˆ与zsˆ的可测值及相应的取值几率。解：体系的哈密顿算符为zzzBsBBHˆˆ2ˆˆ00在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为2211,,EE（1）在0t时，粒子处于2xs的状态，即x0为了求出x在泡利表象中的具体形式，需要求解xˆ满足的本征方程baba0110解之得2121xx于是，有210x由于，哈密顿算符不显含时间，故0t时刻的波函数为tttEtEtiexp21iexp21iexp21iexp2121（2）因为0ˆ,ˆzsH，所以zs是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说，只要计算0t时zs的取值几率就知道了0t时zs的取值几率。由于210,2zsW；210,2zsW故有0zs而xs的取值几率为tttttttsWxxcosiexpiexp21iexpiexp21,22222而2sinsin,2022tBttsWx六、（25分）（类似习题选讲9.4）已知二维谐振子的哈密顿算符为22220212ˆˆyxpH，在对其施加微扰xyWˆ后，利用微扰论求WHHˆˆˆ0基态能量至二级修正、第二激发态能量至一级修正。提示：1,1,2121nmnmnmnnx，其中，，n为线谐振子的第n个本征矢。解：体系的哈密顿算符为WHHˆˆˆ0其中，xyWyxppHyxˆ21ˆˆ21ˆ222220已知0ˆH的解为yxyxnEnnnn21,10其中，nfnnn,,3,2,1,2,1,0,,21将前三个能量与波函数具体写出来，yxE00000,yxyxE0112101101,2yxyxyxE11232022022102,3对于基态而言，021nnn，10f，体系无简并。利用公式1,1,2121nmnmnmmnnnxx可知0ˆ0010WE010000020ˆˆnfnnnnEEWWE显然，求和号中不为零的矩阵元只有20232302ˆˆWW于是得到32242020020841EEE第二激发态为三度简并，在简并子空间中，能量一级修正满足的久期方程为0123332312312222113121211E其中，02112332211于是得到21231222121;0;EEE