1994年哈尔滨工业大学量子力学试题

1994年量子力学考研试题一.（见2001年第三题）质量为m的粒子，在如下势场xVxVxV~0中运动，其中，0,0,0~1xVxxV0V，1V为两个正实数,求能量本征值E0E。解：当0E时，两个区域的波函数分别为0,exp0,exp21xxAxxxAx其中，12;2VEE在0x处，波函数的连接条件为00210200120'1'2cmV此即202mVBA能量本征值满足的方程为01222mVVEmEm对上式两端取平方，得到12201222VEmVEVE再对上式两端取平方，并整理之2122020228VVmVE二.质量为m的粒子处于一维谐振子势场0,2121kkxxV的基态，（1）若弹性系数k突然变成k2，即势场变成22kxxV，随即测量粒子的能量，求发现粒子处于新势场xV2基态度几率；（2）势场突然由xV1变为xV2后，不进行测量，经过一段时间后，势场又恢复成xV1，问取什么值时粒子仍恢复到原来xV1势场的基态（几率为100％）。解：（1）将两个不同势场写成标准形式2222222121212121xmkxxVxmkxxV式中，mk1；mk22显然，122两个势场对应的基态波函数分别为22222121exp021exp0xx式中，12m；22m由于当势场突然由xV1变成xV2，状态并不发生改变，波函数仍然为10，故粒子在该状态下处于20的几率为21200，而22222122d21exp00xx计算中用到积分公式0,2dexp022aaxxa最后得到，粒子处于20的几率为9852.021212200452222212（2）取势场第一次发生突变的时间为0t，此时体系处于状态10，以2n表示势场为xV2时的本征态，相应的能量本征值为221nEn。将0t时的波函数向2n展开，即21000,ncxnn而0t时刻的波函数为tnncttEnctxnnnnn2222iexp02iexpiexp0,依题意可知，在t时，满足10,Ax必须要求1iexpiexp22nn即1iexp2满足上述要求的为kmnn22，,3,2,1n三.（见1998年第三题）若一维体系的哈密顿算符为xVpH2ˆˆ2，且假设其具有断续谱，即nEnHnˆ，试证明：mmnmnnmxVxxEEdd22证明：利用算符微分的定义可知mnmnkknmkknmkmnmnmnmnxEExHHxxHHxHxtxtxi1i1ˆˆi1ˆ,i1dd而从另一个角度出发，又可以得到mnmnmnmnmnmnppxVpxHxtxtx1i221i12ˆ,i1ˆ,i1dd2比较上述两式得到，mnmnmnxEEpi从计算动量算符平方的平均值出发，有22222iiˆmnnnmnmnmmnmnnnmnmnmmxEExEExEEppp整理之，有mmnmnnmpxEE22222利用维里定理，rVrT21得到mmmmxVxxpdd21ˆ212于是，有mmnmnnmxVxxEEdd22四.（见习题选讲8.5）由三个自旋为21的非全同粒子组成的体系，哈密顿算符为32121ˆˆˆˆˆˆsssBssAH其中，BA,为实常数，321ˆ,ˆ,ˆsss分别为三个粒子的自旋算符。试求出体系的守恒量，确定体系的能级和与简并度（取1）。解：将粒子1，2自旋之和记为12ˆS，总自旋记为Sˆ，则2112ˆˆˆssS312ˆˆˆsSS显然，12ˆS与Sˆ都具有角动量的性质，而三个粒子的角动量之间相互对易，且212221212ˆˆ2ˆˆˆssssS2331212322212ˆˆˆˆˆˆ2ˆˆˆˆsssssssssS哈密顿算符可以改写成2322212222121232312121ˆˆˆˆ21ˆˆˆ)(21ˆˆˆˆˆˆˆˆ)(ˆsssSBssSBAssssssBssBAH由于，0ˆ,ˆ312sS所以，0ˆ,ˆ12SS进而可知，SSSˆ,ˆ,ˆ2122都是守恒量，故可选zSSSˆ,ˆ,ˆ2122作为力学量的完全集，共同本征函数为zSSS,,12，其中，各量子数的可能取值为2/32/12/12/3,232/12/1,21,12/12/1,21,012zzzSSSSSS体系的能量本征值只与量子数SS,12有关，即2222122322212222121249ˆ2123ˆ21ˆˆˆˆ21ˆˆˆ)(21ˆSBSBAsssSBssSBAH具体的能量本征值为：当012S时，222221,043494321)(43ABBAE其简并度为2。当112S时，2222222222,1ˆ2181141ˆ2189)(4149ˆ2123221SBBASBBBASBBAES若21S，则222221,1418381141BABBAE其简并度为2。若23S，则222223,1214181581141BABBAE其简并度为4。五原子受到均匀电场ze0和均匀磁场zBBe0的扰动，在非旋的情况下，证明在第一激发态的一级近似计算中，微扰的矩阵形式（在未受微扰的能量表象中）为000000000000并给出常数,的表达式（基矢是按量子数从小到大的顺序排列），进而讨论能级的劈裂情况。解：体系的哈密顿算符可写成BHHHHˆˆˆˆ0其中，coscosˆ00rrezereHzBzBLLceBBLceHˆˆ2ˆ2ˆ00e；02BceB体系的微扰项为BHHWˆˆˆ氢原子的第一激发态的主量子数2n，简并度42f。''''''''''''',,*,2**22**22,2d,Ycos,Yd,YRˆ,YRd,YRcos,YRmmllBlmmllllmlzmllBlmlmlllmmlmArLrrrrW式中，rrrrAlllldRR2*23,''再利用球谐函数的性质,Y,Y,Ycos11mllmmllmlmba式中，3212122llmlalm；121222llmlblm则有mmlllmmmlllmmmllmmllBmmlllmllmmlllmlllmmlmmbAaAW''''''''''''''''1,1,',.,,,1,,,1,,2,2其中B；lmlllmaA''；lmlllmbA'若基底的顺序为2001；1212；2103；2114则微扰算符的矩阵形式为000000000000'0010由于，rrrrbAdRR3121*203101,010rrrraAdRR3120*213000.1'00因为rnlR是实数，所以，'0010于是得到欲求之矩阵000000000000第一激发态能量一级修正满足的久期方程为0000000000012121212EEEE这是一个准对角的久期方程，显然，其中一个解为121E另外的三个解由下式给出00000121212EEE即012212212EEE解之得到124123122EEE