3.1.2--空间向量的数乘运算(人教A版选修2-1)

第三章空间向量与立体几何3.1.2空间向量的数乘运算回顾aOBb结论：空间任意两个向量都可平移到同一个平面内，成为同一平面内的向量.因此凡是涉及空间任意两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们.ba一、空间向量数乘运算1.实数与空间向量的乘积仍然是一个向量.当时，当时，与向量方向相同；与向量方向相同；是零向量.aa00aaaa当时，0a（1）方向：（2）大小：的长度是的长度的倍.a||a2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律即：（）()()()ababaaaaa问题2：平面向量中，)0(//bba.ab的充要条件是：存在唯一的实数，使能否推广到空间向量中呢？问题1：若)0(//aba则ba,所在直线有那些位置关系?零向量与任意向量共线.二、共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//)0(//bba)0(bba)0(//bba由此可判断空间中两直线平行或三点共线问题共线向量定理:对空间任意两个向量，，的充要条件是存在唯一实数λ，使ab(0).abb)0(//bba性质判定)0(bba如图，l为经过已知点A且平行已知非零向量的直线，aal//atAP对空间任意一点O,,OAOPAP所以atOAOPatOAOP即若在l上取则有ABtOAOP①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量唯一决定.由此可判断空间任意三点共线。.alABPO若点P是直线l上任意一点，则由知存在唯一的t,满足aAB①②因为,BBOAOA所以)A(tAOPOOBOOBtOAt)1(特别的，当t=时，21)B(21OPOOA则有aABPOABtOAOP进一步，OBOAOP________还可表示为：OPt1-tP点为A,B的中点练习1.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A.若，则P、A、B共线B.若，则P是AB的中点C.若，则P、A、B不共线D.若，则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAABA、B、P三点共线ABtOAOPABtAP)1(APyxOByOxOAOABP三、共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac由平面向量基本定理知，如果，是平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，，使如果空间向量与两不共线向量，共面，那么可将三个向量平移到同一平面，则有byxpapb那么什么情况下三个向量共面呢？2211eea1e2e12aa1e2e反过来，对空间任意两个不共线的向量，，如果，那么向量与向量,有什么位置关系？abbyxpab共线，，分别与bbya,ax确定的平面内，都在bbya,ax确定的平面内，，并且此平行四边形在ba共面，与即确定的平面内，在bbbyap,aaxpabABPpCp2.共面向量定理：如果两个向量，不共线，byxpabpab则向量与向量，共面的充要条件是存在实数对x,y使abABPp推论:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对x,y使ACyABxAPCOOCOBOAOP(____)(____)(_____)abABPp对空间任一点O,有填空：1-x-yxyACyABxOAOPC③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线的向量唯一确定.③由此可判断空间任意四点共面练习2.若对任一点O和不共线的三点A、B、C，且有),,,(RzyxOCzOByOAxOP则x+y+z=1是四点P、A、B、C共面的（）A.必要不充分条件C.充要条件B.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件CP与A,B,C共面ACyABxAPACyABxOAOP)1(0zyxOCzOByOAxOP解析：由共面向量定理知，要证明P、A、B、C四点共面，只要证明存在有序实数对（x,y）使得ACyABxAP四点共面。从而共面且有公共点，，不共线，所以，又所以所以即共面，因为PCBAAAPACABACABACABAPAPACABAPOAOCOAOBOAOPOAOCOB,,,3131,33)()(332)1(OAOPOCOB3)1(例1.已知A、B、C三点不共线，对于平面ABC外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、C一定共面？OCOBOAOP4)2(共线向量共面向量定义向量所在直线互相平行或重合平行于同一平面的向量,叫做共面向量.定理推论运用判断三点共线，或两直线平行判断四点共线，或直线平行于平面)0(//ababapabbyxpABtOAOPACyABxOAOP小结共面)1(APyxOByOxO)1(0zyxOCzOByOAxOP