初中数学圆训练题

12012数学中考圆综合题1．如图，△ABC中，以BC为直径的圆交AB于点D，∠ACD=∠ABC．（1）求证：CA是圆的切线；（2）若点E是BC上一点，已知BE=6，tan∠ABC=32，tan∠AEC=35，求圆的直径．2如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝2，∠B＝30°，C是弦AB上的任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交于⊙O于点D，连接AD．(1)弦长AB等于▲（结果保留根号）；(2)当∠D＝20°时，求∠BOD的度数；(3)当AC的长度为多少时，以A、C、D为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似？请写出解答过程．23.如图右，已知直线PA交⊙0于A、B两点，AE是⊙0的直径．点C为⊙0上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D。(1)求证：CD为⊙0的切线；(2)若DC+DA=6，⊙0的直径为l0，求AB的长度.1.(1)证明：连接OC,∵点C在⊙0上，0A=OC,∴∠OCA=∠OAC，∵CD⊥PA，∴∠CDA=90°，有∠CAD+∠DCA=90°，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC=∠CAO。∴∠DC0=∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°。又∵点C在⊙O上，OC为⊙0的半径，∴CD为⊙0的切线．(2)解：过0作0F⊥AB，垂足为F，∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，∴四边形OCDF为矩形，∴0C=FD，OF=CD.∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x，∵⊙O的直径为10，∴DF=OC=5，∴AF=5-x，在Rt△AOF中，由勾股定理得222AF+OF=OA.即22(5)(6)25xx，化简得：211180xx解得2x或9x。由ADDF，知05x，故2x。从而AD=2,AF=5-2=3.∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB=2AF=6.4．（已知四边形ABCD是边长为4的正方形，以AB为直径在正方形内作半圆，P是半圆上的动点（不与点A、B重合），连接PA、PB、PC、PD．(1)如图①，当PA的长度等于▲时，∠PAB＝60°；当PA的长度等于▲时，△PAD是等腰三角形；(2)如图②，以AB边所在直线为x轴、AD边所在直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系（点A即为原点O），把△PAD、△PAB、△PBC的面积分别记为S1、S2、S3．坐标为（a，b），试求2S1S3－S22的最大值，并求出此时a，b的值．35.46.（11金华）如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，10为半径作⊙O，分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连结OA，此时有OA//PE．（1）求证：AP=AO；（2）若tan∠OPB=12，求弦AB的长；（3）若以图中已标明的点（即P、A、B、C、D、O）构造四边形，则能构成菱形的四个点为▲，能构成等腰梯形的四个点为▲或▲或▲.（1）∵PG平分∠EPF，∴∠DPO=∠BPO，∵OA//PE，∴∠DPO=∠POA，∴∠BPO=∠POA，∴PA=OA；……2分（2）过点O作OH⊥AB于点H，则AH=HB=12AB，……1分∵tan∠OPB=12OHPH，∴PH=2OH，……1分设OH=x，则PH=2x，由（1）可知PA=OA=10，∴AH=PH－PA=2x－10，∵222AHOHOA，∴222(210)10xx，……1分解得10x（不合题意，舍去），28x，∴AH=6，∴AB=2AH=12；……1分（3）P、A、O、C；A、B、D、C或P、A、O、D或P、C、O、B.7．（芜湖市）（本小题满分12分）如图，BD是⊙O的直径，OA⊥OB，M是劣弧AB⌒上一点，过点M点作⊙O的切线MP交OA的延长线于P点，MD与OA交于N点．（1）求证：PM＝PN；（2）若BD＝4，PA＝32AO，过点B作BC∥MP交⊙O于C点，求BC的长．PABCODEFG第21题图HPABCODEFG58．（黄冈市）（6分）如图，点P为△ABC的内心，延长AP交△ABC的外接圆于D，在AC延长线上有一点E，满足AD2＝AB·AE，求证：DE是⊙O的切线.（证明：连结DO，∵AD2＝AB·AE，∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ACB＝∠E，BC∥DE，又∵OD⊥BC，∴OD⊥DE，故DE是⊙O的切线）9．（义乌市）如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是AE的中点，OM交AC于点D，60BOE°，1cos2C，23BC．（1）求A的度数；（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求MD的长度．（解：（1）∵∠BOE=60°∴∠A＝12∠BOE＝30°（2）在△ABC中∵1cos2C∴∠C=60°…1分又∵∠A＝30°∴∠ABC=90°∴ABBC……2分∴BC是⊙O的切线（3）∵点M是AE的中点∴OM⊥AE在Rt△ABC中∵23BC∴AB=tan60233BC6∴OA=32AB∴OD=12OA32∴MD=32）10.（兰州市）（本题满分10分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求证：BC=21AB；（3）点M是弧AB的中点，CM交AB于点N，若AB=4，求MN·MC的值.解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO∵∠COB=2∠A,∠COB=2∠PCB∴∠A=∠ACO=∠PCB∵AB是⊙O的直径∴∠ACO+∠OCB=90°∴∠PCB+∠OCB=90°,即OC⊥CP∵OC是⊙O的半径∴PC是⊙O的切线（2）∵PC=AC∴∠A=∠P∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB∴∠CBO=∠COB∴BC=OC∴BC=21AB(3)连接MA,MB∵点M是弧AB的中点∴弧AM=弧BM∴∠ACM=∠BCM∵∠ACM=∠ABM∴∠BCM=∠ABM∵∠BMC=∠BMN∴△MBN∽△MCB∴BMMNMCBM∴BM2=MC·MN∵AB是⊙O的直径，弧AM=弧BM∴∠AMB=90°,AM=BM∵AB=4∴BM=22∴MC·MN=BM2=8OBACEMD611．（本题满分14分）如图（1），两半径为r的等圆1O和2O相交于MN，两点，且2O过点1O．过M点作直线AB垂直于MN，分别交1O和2O于AB，两点，连结NANB，．（1）猜想点2O与1O有什么位置关系，并给出证明；（2）猜想NAB△的形状，并给出证明；（3）如图（2），若过M的点所在的直线AB不垂直于MN，且点AB，在点M的两侧，那么（2）中的结论是否成立，若成立请给出证明．4.（1）2O在1O上证明：2O过点1O，12OOr．又1O的半径也是r，点2O在1O上．（2）NAB△是等边三角形证明：MNAB，90NMBNMA．BN是2O的直径，AN是1O的直径，即2BNANr，2O在BN上，1O在AN上．连结12OO，则12OO是NAB△的中位线．1222ABOOr．ABBNAN，则NAB△是等边三角形．（3）仍然成立．证明：由（2）得在1O中MN所对的圆周角为60．在2O中MN所对的圆周角为60．当点AB，在点M的两侧时，在1O中MN所对的圆周角60MAN，在2O中MN所对的圆周角60MBN，NAB△是等边三角形．O2O1NMBA图（1）O2O1NMBA图（2）712．如图12，已知：边长为1的圆内接正方形ABCD中，P为边CD的中点，直线AP交圆于E点．（1）求弦DE的长．（2）若Q是线段BC上一动点，当BQ长为何值时，三角形ADP与以QCP，，为顶点的三角形相似．1）如图1．过D点作DFAE于F点．在RtADP△中，2252APADDP又1122ADPSADDPAPDF△55DFAD的度数为9045DEA1025DEDF（2）如图2．当RtRtADPQCP△∽△时有ADDPQCCP得：1QC．即点Q与点B重合，0BQ如图3，当RtRtADPPCQ△∽△时，有ADPDPCQC得14QC，即34BQBCCQ当0BQ或34BQ时，三角形ADP与以点QCP，，为顶点的三角形相似．13.．（本小题满分10分）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，ABC=30°，CD是⊙O的切线，ED⊥AB于F，(1)判断△DCE的形状；(2)设⊙O的半径为1，且OF=213，求证△DCE≌△OCB．6.解：(1)∵∠ABC=30°，∴∠BAC=60°．又∵OA=OC,∴△AOC是正三角形．又∵CD是切线，∴∠OCD=90°，∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．而ED⊥AB于F，∴∠CED=90°-∠BAC=30°．故△CDE为等腰三角形．(2)证明：在△ABC中，∵AB=2，AC=AO=1，∴BC=2212=3．OF=213,∴AF=AO+OF=213．又∵∠AEF=30°,∴AE=2AF=3+1．∴CE=AE-AC=3=BC．而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC,故△CDE≌△COB.BADEPC图12第6题图ABDEOFCBADEPC5题图1FBADEPC5题图2QBADEPC5题图3（Q）814（08湖北襄樊24题）8．（本小题满分10分）如图14，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于ED，，连接ECCD，．（1）求证：直线AB是O的切线；（2）试猜想BCBDBE，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan2CED，O的半径为3，求OA的长．（1）证明：如图3，连接OC．OAOB，CACB，OCAB．AB是O的切线．（2）2BCBDBE．ED是直径，90ECD．90EEDC．又90BCDOCD，OCDODC，BCDE．又CBDEBC，BCDBEC△∽△BCBDBEBC．2BCBDBE．（3）1tan2CED，12CDEC．BCDBEC△∽△，12BDCDBCEC．设BDx，则2BCx．又2BCBDBE，2(2)(6)xxx．解之，得10x，22x．0BDx，2BD．325OAOBBDOD．15如图14，直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB，O交直线OB于ED，，连接ECCD，．（1）求证：直线AB是O的切线；（2）试猜想BCBDBE，，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan2CED，O的半径为3，求OA的长．4解：（1）证明：如图3，连接OC．OAOB，CACB，OCAB．AB是O的切线．（2）2BCBDBE．ED是直径，90ECD．90EEDC．又90BCDOCD，OCDODC，BCDE．又CBDEBC，BCDBEC△∽△．BCBDBEBC．2BCBDBE．（3）1tan2CED，12CDEC．BCDBEC△∽△，12BDCDBCEC．设BDx，则2BCx．又2BCBDBE，2(2)(6)xxx．解之，得10x，22x．0BDx，2BD．325OAOBBDOD．9(5题)PEDKHGCABFO5⊙O的半径OD经过弦AB(不是直径)的中点C，过AB的延长线上一点P作⊙O的切线PE，E为切点，PE∥OD；延长直径AG交PE于点H；直线DG交OE于点F，交PE于点K．（1）求证：四边形OCPE是矩形；（2）求证：HK＝HG；（3）若EF＝2，FO＝1，求KE的长．5解：(1)∵AC＝BC，AB不是直径，∴OD⊥AB，∠PCO＝90°(1分)∵PE∥OD,∴∠P＝90°，∵PE是切线，∴∠PEO＝90°，(2分)∴四边形OCPE是矩形.(3分)(2)∵OG＝OD,∴∠O