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指数型、对数型函数模型的应用举例【知识点拨】1.建立函数模型应把握的三个关口(1)事理关:通过阅读、理解,明白问题讲什么,熟悉实际背景,为解题打开突破口.(2)文理关:将实际问题的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达数学关系.(3)数理关:在构建数学模型的过程中,利用已有的数学知识进行检验,从而认定或构建相应的数学问题.类型一指数函数模型【典型例题】1.某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到的细胞个数y为()A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=2xD.y=2x2.某海滨城市现有人口100万人，如果年平均自然增长率为1.2%.解答下面的问题：(1)写出该城市人口数y(万人)与年份x(年)的函数关系.(2)计算10年后该城市人口总数(精确到0.1万人).(3)计算大约多少年后该城市人口将达到120万人(精确到1年).【解题探究】1.对于细胞分裂问题，一个细胞经过x次分裂后得到的细胞个数一般怎样表示？若是n个细胞呢？2.解决连续增长问题应建立何种数学模型？探究提示：1.由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个……，分裂x次后得到的细胞个数为2x个，若是n个细胞，则细胞个数为n·2x个.2.对于连续增长的问题一般情况下可建立指数型函数模型y=a(1+p)x.【解析】1.选A.2个细胞分裂一次成4个，分裂两次成8个，分裂3次成16个，所以分裂x次后得到的细胞个数为y=2x+1.2.(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)，2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2，3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)3，……x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x(x∈N).(2)10年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(万人).(3)设x年后人口将达到120万人，即可得到100×(1+1.2%)x=120，所以大约16年后该城市人口总数达到120万人.1.0121.012120lg1.2xloglog1.215.28.100lg1.012【拓展提升】解应用问题的四步骤读题⇒建模⇒求解⇒反馈(1)读题：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等，弄清已知什么,求解什么,需要什么.(2)建模：正确选择自变量，将问题表示为这个变量的函数，通过设元,将实际问题转化为数学关系式或建立数学模型，不要忘记考察函数的定义域.(3)求解：通过数学运算将数学模型中的未知量求出.(4)反馈：根据题意检验所求结果是否符合实际情况,并正确作答.【变式训练】某钢铁厂的年产量由2004年的40万吨，增加到2014年的60万吨，如果按此增长率计算，预计该钢铁厂2024年的年产量为______.【解析】设年增长率为r，则有40(1+r)10=60，所以(1+r)10=所以2024年的年产量为60(1+r)10=60×=90(万吨).答案：90万吨3,232类型二对数函数模型【典型例题】1.某地为了抑制一种有害昆虫的繁殖，引入了一种以该昆虫为食物的特殊动物，已知该动物的繁殖数量y(只)与引入时间x(年)的关系为y=alog2(x+1)，若该动物在引入一年后的数量为100只，则第7年它们发展到()A.300只B.400只C.600只D.700只2.燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的专家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为v=5log2(m/s)，其中q表示燕子的耗氧量，则燕子静止时的耗氧量为______.当一只两岁燕子的耗氧量为80个单位时，其速度是______.q10【解题探究】1.对于题1中的参数a应利用哪些数值来确定？2.借助已知对数值求解实际问题的关键是什么？探究提示：1.可由该动物在引入一年后的数量为100只，即x=1，此时y=100，代入y=alog2(x+1)中，可解得a.2.借助已知对数值求解实际问题的关键是充分借助对数的运算性质，把求解数值用已知对数值表示.【解析】1.选A.将x=1,y=100代入y=alog2(x+1)得,100=alog2(1+1)，解得a=100，所以x=7时，y=100log2(7+1)=300.2.由题意，燕子静止时v=0，即5log2=0，解得q=10；当q=80时，v=5log2=15(m/s).答案：1015m/sq108010【互动探究】题1中，若引入的此种特殊动物繁殖到500只以上时，也将对生态环境造成危害，那么多少年时，必须采取措施进行预防？【解析】500=100log2(x+1)，解得x=31.所以31年时，必须采取措施进行预防.1.某种商品2012年提价25%，2013年欲恢复成原价，则应降价()A.30%B.25%C.20%D.15%【解析】选C.设2012年提价前的价格为a,2013年要恢复成原价应降价x.于是有a(1+25%)(1-x)=a，解得x＝即应降价20%.15，2.从2013年起，在20年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番，如果每年的增长率是8%，则达到翻两番目标的最少年数为()A.17B.18C.19D.20【解析】选C.设2013年该市工农业总产值为a，达到翻两番目标最少需n年，则翻两番后变为4a，由a(1+8%)n≥4a，得(1+8%)n≥4(n∈N*),∴n≥log1.084≈18.01,又∵n∈N*,∴n=19.