第二章-习题课——指数函数、对数函数及其性质的应用

-1-习题课——指数函数、对数函数及其性质的应用首页核心素养培养目标核心素养形成脉络1.能利用对数函数、指数函数的单调性解简单的不等式,培养数学运算核心素养.2.能解简单的指数函数与对数函数的综合问题,培养逻辑推理核心素养.3.掌握指数函数、对数函数在实际生活中的简单应用,培养数学建模核心素养.课前篇自主预习首页1.指数式与对数式的取值范围(1)形如2x,13𝑥的指数式,其取值范围是什么?提示:(0,+∞)(2)形如log2x,lnx,的对数式,自变量取值和代数式的取值范围分别是什么?提示:①自变量的取值范围,即为对应函数的定义域(0,+∞);②代数式的取值范围,即为对应函数的值域R.log12x2.已知a0,a≠1,则a2a3与loga2loga3是否一定成立?提示:不一定.当0a1时,成立;当a1时,a2a3,loga2loga3.3.填空:指数函数与对数函数的单调性指数函数f(x)=ax,对数函数f(x)=logax(a0,a≠1).①当0a1时,函数f(x)单调递减;②当a1时,函数f(x)单调递增.课前篇自主预习首页4.做一做:(1)若a=log132,b=log123,c=120.3,则()A.abcB.acbC.bcaD.bac(2)函数f(x)=log13(x+1)(0x8)的值域为.(3)方程22x+1-2x-3=0的解为.课前篇自主预习首页解析:(1)∵0120.31,-1log132=-log320,log123=-log23-1,∴bac.(2)设t=x+1,因为0x8,所以1t=x+19.又因为函数y=log13t在(1,9)上单调递减,所以log139log13xlog131,即-2log13x0.所以所求函数的值域为(-2,0).(3)令2x=t0,则方程22x+1-2x-3=0转化为2t2-t-3=0,解得t=32或t=-1(舍去),即2x=32,解得x=log232.答案:(1)D(2)(-2,0)(3)log232课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究一利用指数函数、对数函数性质解不等式例1解下列关于x的不等式:(1)12𝑥+5≤16;(2)a2x+1≤ax-5(a0,且a≠1);(3)已知loga121,求a的取值范围;(4)已知log0.72xlog0.7(x-1),求x的取值范围.分析:(1)先将化为2-x-5,16化为24,再利用指数函数的单调性求解;(2)讨论a的取值范围,利用指数函数的单调性求解;(3)根据参数a的取值范围,利用对数函数的单调性求解;(4)根据对数函数的单调性以及定义域列出不等关系求解.12𝑥+5课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)∵12𝑥+5≤16,∴2-x-5≤24.∴-x-5≤4,∴x≥-9.故原不等式的解集为{x|x≥-9}.(2)当0a1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≥x-5,解得x≥-6.当a1时,∵a2x+1≤ax-5,∴2x+1≤x-5,解得x≤-6.综上所述,当0a1时,不等式的解集为{x|x≥-6};当a1时,不等式的解集为{x|x≤-6}.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(3)由loga121,得loga12logaa.当a1时,有a12,此时无解.当0a1时,有12a,从而12a1.故a的取值范围是12,1.(4)因为函数y=log0.7x在区间(0,+∞)上为减函数,所以由log0.72xlog0.7(x-1),得2𝑥0,𝑥-10,2𝑥𝑥-1,解得x1.故x的取值范围是(1,+∞).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.解指数不等式问题时需注意的三点(1)形如axay的不等式,借助y=ax的单调性求解,如果a的取值不确定,需分a1与0a1两种情况讨论.(2)形如axb的不等式,注意将b化为以a为底的指数幂的形式,再借助y=ax的单调性求解.(3)形如axbx的形式利用函数图象求解.2.解简单的对数不等式,需要注意两点(1)首先注意对数函数的定义域,即真数的取值范围的限制;(2)要根据底数与1的大小关系,分析函数的单调性,进而将对数值大小关系转化为真数的大小关系;若底数中含有参数,需要对参数进行分类讨论.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究若该例中的(2)改为:a2x+11𝑎𝑥-5(a0,a≠1)呢?解:原不等式可化为a2x+1a-(x-5),即a2x+1a5-x.①当0a1时,函数y=ax单调递减,故由不等式可得2x+15-x,解得x43;②当a1时,函数y=ax单调递增,故由不等式可得2x+15-x,解得x43.综上所述,当0a1时,不等式的解集为-∞,43;当a1时,不等式的解集为43,+∞.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究二指数函数性质的综合应用例2已知函数f(x)=3𝑥-13𝑥+1.(1)判断函数f(x)的单调性,并用定义加以证明;(2)求函数f(x)的值域.分析:用定义f(x)的单调性求值域解:(1)f(x)在定义域上是增函数.证明如下:任取x1,x2∈R,且x1x2,f(x2)-f(x1)=3𝑥2-13𝑥2+1−3𝑥1-13𝑥1+1=1-23𝑥2+1−1-23𝑥1+1=2·(3𝑥2-3𝑥1)(3𝑥1+1)(3𝑥2+1).∵x1x2,∴3𝑥2−3𝑥10,3𝑥1+10,3𝑥2+10,∴f(x2)f(x1),∴f(x)为R上的增函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(2)f(x)=3𝑥-13𝑥+1=1-23𝑥+1,∵3x0⇒3x+11⇒023𝑥+12⇒-2-23𝑥+10,∴-11-23𝑥+11.故函数f(x)的值域为(-1,1).反思感悟1.本题第(2)小题是指数型函数求值域.解答时一定要关注指数3x的取值范围是(0,+∞).2.证明指数型函数的单调性与奇偶性时,一般是利用定义来解决.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练已知函数f(x)=12𝑥-1+12·x3.(1)求函数f(x)的定义域;(2)讨论函数f(x)的奇偶性;(3)证明f(x)0.(1)解:因为要使函数有意义,需2x-1≠0,即x≠0,所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).(2)解:因为f(x)=2+(2𝑥-1)2(2𝑥-1)·x3=2𝑥+12(2𝑥-1)·x3,又f(-x)=2-𝑥+12(2-𝑥-1)·(-x)3=1+2𝑥2(1-2𝑥)·(-x3)=2𝑥+12(2𝑥-1)·x3.所以f(-x)=f(x),又由(1)知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于y轴对称,故f(x)是偶函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测(3)证明:当x0时,2x1,所以2x-10.又因为x30,所以f(x)0.当x0时,02x1,所以-12x-10.又因为x30,所以f(x)0.所以当x∈(-∞,0)∪(0,+∞)时,f(x)0.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测探究三对数函数性质的综合应用例3已知函数f(x)=loga𝑥+1𝑥-1(a0,且a≠1),(1)求f(x)的定义域;(2)判断函数的奇偶性和单调性.分析:此函数是由y=logau,u=复合而成的,求函数的性质应先求出定义域,再利用有关定义,去讨论其他性质.𝑥+1𝑥-1课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测解:(1)要使此函数有意义,则有𝑥+10,𝑥-10或𝑥+10,𝑥-10,解得x1或x-1.所以函数的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),关于原点对称.(2)因为f(-x)=loga-𝑥+1-𝑥-1=loga𝑥-1𝑥+1=-loga𝑥+1𝑥-1=-f(x).所以f(x)为奇函数.f(x)=loga𝑥+1𝑥-1=loga1+2𝑥-1,令u=𝑥+1𝑥-1,则函数u=1+2𝑥-1在区间(-∞,-1)和区间(1,+∞)上单调递减.所以当a1时,f(x)=loga𝑥+1𝑥-1在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递减;当0a1时,f(x)=loga𝑥+1𝑥-1在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测反思感悟1.对于类似于f(x)=logag(x)的函数,利用f(-x)±f(x)=0来判断奇偶性比较简便.2.对数型复合函数的单调性应按照复合函数单调性“同增异减”的原则来判断:设y=logaf(x)(a0,且a≠1),首先求满足f(x)0的x的取值范围,即函数的定义域.假设f(x)在定义域的子区间I1上单调递增,在子区间I2上单调递减,则(1)当a1时,函数y=logaf(x)的单调性与内层函数f(x)的单调性相同,即y=logaf(x)在I1上单调递增,在I2上单调递减;(2)当0a1时,函数y=logaf(x)的单调性与内层函数f(x)的单调性相反,即y=logaf(x)在I1上单调递减,在I2上单调递增.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测延伸探究本例已知条件不变,求f(x)0时x的取值范围.解:当a1时,f(x)0⇔loga𝑥+1𝑥-10⇔𝑥+1𝑥-11,解得x1,即x的取值范围是(1,+∞).当0a1时,f(x)0⇔loga𝑥+1𝑥-10⇔0𝑥+1𝑥-11,解得x-1,即x的取值范围是(-∞,-1).综上,当a1时,x的取值范围是(1,+∞),当0a1时,x的取值范围是(-∞,-1).课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测因忽略对底数的讨论而致错典例已知函数y=logax(a0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值与最小值的差是1,求a的值.错解因为函数y=logax(a0,且a≠1)在区间[2,4]上的最大值是loga4,最小值是loga2,所以loga4-loga2=1,即loga42=1,所以a=2.以上解题过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?如何防范?提示:错解中误以为函数y=logax(a0,且a≠1)在区间[2,4]上是增函数.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测正解:(1)当a1时,函数y=logax在区间[2,4]上是增函数,所以loga4-loga2=1,即loga42=1,所以a=2.(2)当0a1时,函数y=logax在区间[2,4]上是减函数,所以loga2-loga4=1,即loga24=1,所以a=12.由(1)(2),知a=2或a=12.防范措施在解决底数中包含字母参数的对数函数问题时,要注意对底数进行分类讨论,一般分a1与0a1两种情况.课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测变式训练已知函数f(x)=ax+logax(a0,且a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2+6,则a的值为()A.12B.14C.2D.4解析:当a1时,函数y=ax和y=logax在区间[1,2]上都是增函数,所以f(x)=ax+logax在区间[1,2]上是增函数;当0a1时,函数y=ax和y=logax在区间[1,2]上都是减函数,所以f(x)=ax+logax在区间[1,2]上是减函数.两种情况下最大值与最小值之和均为f(1)+f(2)=a+a2+loga2=6+loga2,即a+a2=6,解得a=2或a=-3(舍去).故a=2.答案:C课堂篇探究学习探究一探究二探究三思维辨析当堂检测A.(3,5]B.[-3,5]C.[-5,3)D.[-5,-3]解析:要使函数有意义,则3-log2(3-x)≥0,即log2(3-x)