概率论与数理统计第章-PPT精选

第二章随机变量与概率分布§1随机变量§2离散型随机变量的概率分布§3随机变量的分布函数§4连续型随机变量的概率密度§5随机变量函数的分布§1随机变量1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如:掷一颗骰子面上出现的点数；七月份郑州的最高温度；每天从北京下火车的人数；昆虫的产卵数；2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系.在掷硬币试验E1中,引入变量：X＝1出正面0出反面在摸球试验E3中,引入变量：Y为取出的白球数.1.定义:随机试验E的样本空间为S＝{e},若对于每个eS,有唯一实数X(e)与之对应,这样就得到一个定义在S上的实的单值函数X(e),称其为：随机变量.Se1e2e3e4X(e1)X(e2)X(e3)X(e4)随机变量所取值一般用小写字母x,y,z等表示.随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母、η、ζ等表示引入随机变量，使得现代数学工具进入概率统计。从而使概率统计有了飞速发展。例1.设盒中有其中2白、3黑5个球,从中随便抽取3个球,则“抽得的白球数”X是个随机变量.“抽得的黑球数”Y也是随机变量。事件：{取到2白、1黑}＝{X=2}={Y=1}3.用随机变量取值表示事件：2.随机变量与一般函数的区别函数定义域随机性概率一般函数实数轴某个范围无无随机变量样本空间不一定是实数集有取每个值都有确定的概率三、随机变量的分类通常分为两类：如“取到次品的个数”，“收到的呼叫数”等.随机变量离散型随机变量连续型随机变量所有取值可以逐个一一列举例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误差”等.全部可能取值不仅无穷多，而且还不能一一列举，而是充满满一个或几个区间.非离散型随机变量非离散型非连续型§2.离散型随机变量及其概率分布这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.从中任取3个球取到的白球数X是一个随机变量X可能取的值是0,1,2取每个值的概率为：101)0(3533CCXP106)1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例1且311iiXP)(其中(k=1,2,…)满足：kp,0kpk=1,2,…（1）kkp1（2）定义1：设xk(k=1,2,…)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称k=1,2,……,)(kkpxXP为离散型随机变量X的概率函数或分布律，也称概率分布.这两条性质判断某函数是否是概率分布一.离散型随机变量概率分布定义二、表示方法（1）列表法：（2）图示法（3）公式法103106101210X~2,1,0,)(35233kCCCkXPkk再看例1任取3个球X为取到的白球数X可能取的值是0,1,20.10.30.6kPK012例2.汽车通过4盏信号灯才能到达目的地，设汽车在每盏信号灯处通过的概率为0.6求：(1).汽车首次停车通过的信号灯数X的概率分布。(2).半路停车次数Y的概率分布。(3).半路最多停一次车的概率。P{X＝k}=(0.6)k×0.4；k=0、1、2、3。(0.6)k；k=4解：X的概率分布：Y的概率分布：kkkC－44)6.0()4.0(k=0、1、2、3、4。P{Y=k}=P{半路最多停一次车}=P{Y1}＝P{Y=0}+P{Y=1}=(0.6)4+3114)6.0()4.0(C2.几个常见离散型随机变量的概率分布(1).二项分布若随机变量X的概率分布为：n21kqpCkXPknkkn、、、、－0}{则称X服从参数为n、p的二项分布.其中q=1－p记为:X～b(n、p)实例：一批产品中次品率为p，有放回取n次，每次取1个，取出的次品数X～b(n,p).背景：只有两个可能结果的试验称为Bernoulli试验.其样本空间为S＝{A、A}；0P{A}=p1在n次重复进行的Bernoulli试验中，A发生的次数X～b(n、p).(2).二点分布(n=1的二项分布)：X10Ppq(3).几何分布若随机变量X的概率分布为：则称X服从参数为p的几何分布.其中q=1－p.P{X=k}=qk－1pk=1、2、3、……在重复进行的Bernoulli试验中,A首次发生出现在第X次试验,则X服从参数为p的几何分布。4.Poisson分布：若随机变量X的概率分布为：则称X服从参数为：的Poisson分布。P{X=k}=k=0、1、2、3、……!kk记为X～()Poisson分布与二项分布的关系：设放射性物质7.5秒放出α粒子的个数为X，求X的概率分布vnV如图：设想把体积为V的放射性物质分割为体积均为:△V＝V/n的n份.并假设：(1).就每一小块而言，在7.5秒放出2个以上α粒子的概率为0(实际是很小忽略不计)。(2).各小块放出α粒子与否相互独立。放出1个α粒子的概率为：pn=μ△V则：P{X=k}knnknknqpC其中：qn=1－pn(令＝μV;pn=μ△V＝μV/n=/n)：考虑当n＋时P{X=k}=knnknknnqpClimknknnnknkn)1()()!(!!limknknnnnnnknnnk)1()1()1()1(!1lim!kkk=0、1、2、3、……Poissn定理：n为正整数，pn=/n，0。则对任一非负整数k有：knnknknnqpCmli!kk其中：＝npn.例3.某人打靶命中率为0.001,重复射击5000次，求至少命中2次的概率。解：设X为至命中次数。P(X2)=1－P(X2)=1－P(X=0)－P(X=1)＝1－(1－0.001)5000－1500015000)001.01(001.0－C0.9598用Poissn定理：其中＝np=5000×0.001=5P(X2)=1－P(X2)=1－P(X=0)－P(X=1)0.9596(5)05=1－0!－5－－51!例4.某加油站替公共汽车站代营出租汽车业务，每出租一辆汽车，可从出租公司得到3元.因代营业务，每天加油站要多付给职工服务费60元.设每天出租汽车数X是一个随机变量，它的概率分布如下：15.045.025.015.040302010~X求因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率.15.045.025.015.040302010~X也就是说，加油站因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为0.6.P{X20}=P{X=30}+P{X=40}=0.6解因代营业务得到的收入大于当天的额外支出费用的概率为：P{3X60}即P{X20}§3随机变量的分布函数1.分布函数定义:F(x)=P{Xx}，(-x+)为X的分布函数.x设X是随机变量,称函数：对于任意两点x1、x2:P(x1Xx2)=F(x2)－F(x1)分布函数的性质(1)F(x)非降，即若x1x2，则F(x1)F(x2);(2)F()=F(x)=0xlim(3)F(x)右连续，即)()(lim00xFxFxx如果一个函数具有上述性质，则一定是某个r.vX的分布函数.也就是说，性质(1)--(3)是鉴别一个函数是否是某r.v的分布函数的充分必要条件.F()=F(x)=1xlim例4.3个人抓阄决定取一物。第X人抓到有物之阄。求X的概率分布及其分布函数。解：P{X=1}=1/3P{X=2}=2/3×1/2=1/3P{X=3}=2/3×1/2×1/1=1/3X的概率分布:X的分布函数:F(x)=0x11/31x22/32x313x12312/31/3XY离散型随机变量的分布函数为跳跃函数，在xi处的跳跃高度恰为P{X=xi}.0§4.连续型随机变量的概率密度1.定义：对于随机变量X的分布函F(x)，如果存在非负函数f(x),使对于任意实数x有：dttfxFx)()(则称X为连续型随机变量；称f(x)为X的概率密度函数。简称密度函数。密度函数的性质：(1).f(x)0;1)().2(dxxff(x)xo面积为1(4).连续型随机变量X对于任意实数a,P{X=a}=021122121)()()(}{).3(xxdxxfxFxFxXxPxx－x1x2f(x)xF(x)P{x1Xx2}(5).若f(x)在x处连续，则：f(x)=F(x)(6).dttfxFx)()((7).密度函数不唯一，改变f(x)有限个点处的函数值依然是X的密度函数。(处处连续)例5：设连续型随机变量X的分布函为：F(x)=a+barctanx;求:(1).a=?b=?(2).X的密度函数.(3).P{X21}解:(1)由分布函数性质：F(－)=0,F(+)=112)arctan(lim02)arctan(limbaxbabaxbaxx－得：解得：a=1/2b=1/X的密度为:f(x)=F(x)=1(1+x2)(-x)P{X21}=1－P{－1X1}＝1－{F(1)－F(－1)}＝1/2例6.设随机变量X的密度函数为：f(x)=k－3xx00x0求：k=?P{X0.1}=?X的分布函数。解(1).1)(dxxf031dxkx－解得：k=3f(x)=3－3xx00x01.033}1.0{).2(dxXPx0.7408(3).xdxxfxF)()(当x0时：F(x)=0当x0时：xxxdxdxxF3030130)(F(x)=1－－3xx00x0（1）若r.vX的概率密度为：则称X服从区间(a,b)上的均匀分布，记作：X～U(a,b)背景：r.vX在区间(a,b)上取值，并且在(a,b)中任意小区间G取值的概率仅与G的长度成正比,与G的位置无关.则X服从(a,b)上均匀分布.其它,0,1)(bxaabxf2.几个常见的连续型随机变量)(xfba例7.某人睡醒后，发现表停了。打开收音机对表(假设收音机只正点报时)。求他等待时间不超过10分钟的概率。解：设X为他等待的时间，X的密度函数为：0x601600其它P{X10}=dx100601=16f(x)=例8某公共汽车站从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30,7:45等时刻有汽车到达此站，如果乘客到达此站时间X是7:00到7:30之间的均匀随机变量,试求他候车时间少于5分钟的概率.解：依题意，X～U(0,30)以7:00为起点0，以分为单位其它,0300,301)(xxf为使候车时间X少于5分钟，乘客必须在7:10到7:15之间，或7:25到7:30之间到达车站.所求概率为：从上午7时起，每15分钟来一班车，即7:00，7:15，7:30等时刻有汽车到达汽站，}3025{}1510{XPXP其它,0300,301)(xxf3130130130251510dxdx即乘客候车时间少于5分钟的概率是1/3.则称X服从参数为的指数分布.指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命.（2）若r.vX具有概率密度000)(xxexfx0常简记为X~E().例8.设某器件寿命X服从参数为的指数分布，求此器件使用a(a0)的概率；已知该器件已使用t(t0)年，求再使用a年的概率。X的密度函数为：解：P{Xa}=axdx=－a－xx00x0f(x)=P{Xa+t/Xt}=P{Xa+t且Xt}P{Xt}P{Xa+t}P{Xt}==－a两概率相同此性质称为无记忆性(3)、正态分布的定义及图形特点