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第六届全国周培源大学生力学竞赛试题出题学校：清华大学满分：120分时间：3小时一、声东击西的射击手（30分）射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有10个小球iP（号码从0到9），你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。假设系统在同一竖直平面内（如图所示），不考虑摩擦。圆弧AB的半径为R，B点与地面的高度为H。均质细杆CD的质量为M，长为0.5LH=，悬挂点C与B处于同一水平位置，BC距离为S。小球iP质量均为m，不计半径，小球iP与CD杆或地面碰撞的恢复因数均为ie，且满足/9(0,1,2,,9)ieii==…。（1）为使小球1P击中杆上D点，试确定静止释放时的θ，距离S有何限制？（2）假设某小球击中CD杆上的E点，为使E点尽可能远离D点，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？（3）假设某小球击中CD杆上的E点，为使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的θ，此时CE的距离是多少？冲量有多大？OABCDSHPiθEOABCDSHPiθEOABCDSHPiθEOABCDSHPiθE二、骄傲自满的大力士（35分）有位大力士总是自命不凡，他夫人决定找机会教训他一下。正好附近足球场的球门坏了一半，剩下的半边球门如图：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x轴方向，高为2.4mH=，横梁AB平行于地面，沿z轴负方向，长为LH=。立柱和横梁均为实心圆柱，直径均为0.06mD=。夫人经过计算后想出了主意：和丈夫比赛，看谁能把球门拉倒。比赛规则是：通过系在横梁B端中点的绳索，只能用静力拉球门；绳索上有且只有B点系在与地面固定的物体上。绳索的重量不计，长度不限。球门不计自重，采用第三强度理论，材料的屈服应力57MPasσ=。大力士认为自己肯定不会输，因为他知道两人鞋底与地面摩擦系数都是0.5μ=，自己重量为1700NG=，夫人重量为2510NG=。为了显示自己的大度，他允许夫人享受一点点优惠条件。于是夫人以B在地面的投影C为圆心，在地面上画了一个半径0.8mR=的圆圈，要求丈夫身体在地面的投影不能进该圆圈，但她自己不受限制。大力士认为这么个小圆圈没什么了不起，就同意了。大力士抽签先上场，他决定让绳索与xy平面平行，但绳索与地面的夹角θ不知多大为好，于是他在不同的角度试了多次，尽管每次都用了最大力气，但是球门居然纹丝不动，也看不出有明显的变形。而夫人上场后一用力就把球门拉倒了……（1）当大力士让绳索与地面成θ角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？（2）当大力士让绳索与地面成θ角度，球门中最危险点的坐标值是多少？（3）在限制条件下，θ角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？BCRxyzOAHLθBCRxyzOAHLθ三、顾此失彼的挑战者（30分）魔术正式开始前，魔术师邀请观众上台了解道具，并体验如何让水晶球在板上平衡，有位观众自告奋勇要挑战魔术师的问题。魔术师首先介绍道具（如图所示）：两个透明的水晶圆球1O和2O；一个滚轴D；一个透明的水晶平板AB，A端水平固定在墙中，不考虑自重时AB板与水平面平行。在表演时，滚轴D可以根据需要安装在AB板的任意位置，且A与D总在同一高度。假设水晶板是均质等截面板，长度为l，单位长度重量为q，弯曲刚度为EI。两均质水晶圆球的半径均为r，重量均为Pql=。假设表演中板的挠度和转角都是小量，球与板之间有滑动摩擦，但不考虑球与板的接触变形和滚动摩擦。观众发现，水晶板由于自重而微微弯曲，如果不安装滚轴D，水晶球在板上可以摆放的任意位置都不能平衡。魔术师的问题如下：（1）如果把滚轴D安装在AB板的B处，此时AB板由于自重所导致的最大挠度在何处？（2）如果把滚轴D安装在AB板之间的某处，有可能使水晶球1O在板上静止，且球与板的接触点恰好是B点。如果不需要具体计算，如何说明滚轴D是更靠近A点还是更靠近B点？定性画出此时AB板挠度的示意图。（3）如果把滚轴D安装在AB板的中点，能否让水晶球1O在AD之间某位置平衡，接触点为1C；同时让水晶球2O在DB之间某位置平衡，接触点为2C。观众试着摆弄了很久，总是顾此失彼，最终也没有成功。如果你认为本问题有解，1AC和2AC的水平距离是多少？如果没有解，如何证明？ABDO1O2ABDO1O2四、技高一筹的魔术师（25分）魔术正式开始，仍用上一题中的道具（板和球的具体参数见第三题）。魔术师首先撤去了滚轴D，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的B端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。魔术师解释说，虽然两水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一个水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。说完在后落下的水晶球1O表面贴上了小纸片以示区别（假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量）。只见魔术师对两个水晶球吹了吹，声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的1O球静止放在板上（接触点为B点），同时让纸片远离接触位置，松手后水晶球1O竟然真的可以一直稳稳地停留在板上B点。在观众的掌声中，魔术师撤走了1O球，把2O球拿了起来。“这个水晶球不太听话，我的魔力只能管1分钟。”魔术师说完把2O球转了转，然后更加小心地把2O球也放在板上（接触点为B点）。观众发现，2O球在B点停留了大约1分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上B端掉了下来……（1）根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？（2）水晶球1O可在B点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。（3）水晶球2O只能在B点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。注：第四题解答中所用的参数都应在第三、第四题中提及过。ABDO1O2ABDO1O2第六届全国周培源大学生力学竞赛试题参考答案清华大学航天航空学院高云峰一、声东击西的射击手（30分）（1）2arccos12SHRθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠S；的限制为2SH≤R==。（2）e（号码为9）；CE；91022arccos116SNHRθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠N，为与地面的碰撞次数。（3）669e（号码为6）；=13CEH=；0CI=；226arccos14(1)SeHRθ⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠。二、骄傲自满的大力士（35分）（1）1cossinGTμθμθ=+；大力士拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。（2）危险点坐标()11220,cos,-sinDDθθ（3）大力士在0θ=时最接近拉坏球门：1356.0Mpaσσ−=；夫人进入圆圈内，90θ=°时可以有1357.9MPaσσ−=三、顾此失彼的挑战者（30分）（1）最大挠度处：15330.5816xll−=≈（2）滚轴更靠近DB点；挠度示意图如下：ABDABD（3）解不存在，证明见解题过程。四、技高一筹的魔术师（25分）（1）水晶球涂了新型材料。2O（2）关键参数：1tanBμθ≥；纸片重量sin1sinBBPGθθ≥−，（323BqlEIθ=）。（3）关键参数：2tanBμθ=；初始角速度0150sinBgrθω≈。1详细参考答案及评分标准注：z每问按得分点给分（得分点用黄色或红色标出）。z对于某得分点，如果思路正确（但不一定与参考答案相同），计算结果也正确，给该得分点全部的分数。z对于某得分点，如果思路正确，但是计算结果有误，给该得分点一半的分数。z对于某得分点，如果没有过程，或过程不对，但是结果正确，给1分。z如果某题有疑问，当涉及的分数不超过2分，可由改卷教师自行决定；在2－4分时，由当地统一处理。如超过4分，应与竞赛委员会协商（gaoyunfeng@tsinghua.edu.cn,或电话联系13611183593）。一、声东击西的射击手（30分）（1）为使小球击中杆上点，试确定静止释放时的1PDθ，距离有何限制？S本小问9分小球从初始位置运动到B点时，竖直速度为零，水平速度为21(1cos)2BmgRmvθ−=，2(1cos)BvgRθ=−B处速度大小1分。小球离开B点后作平抛运动，以B下方的地面为坐标系原点，有距离限制3分角度大小3分坐标系原点可以不同本小问9分运动方程2分0xyg=⎧⎨=−⎩，Bxvyg=⎧⎨=−⎩t，212BxvtyHgt=⎧⎪⎨=−⎪⎩把参数带入小球的位移表达式，有211222(1cos)SgRHHgttθ⎧=−⎪⎨=−⎪⎩2arccos12SHRθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠S的限制为2SH≤R（2）假设某小球击中杆上的CDE点，为了使E点尽可能远离点，试确定小球的号码及静止释放时的Dθ，此时的距离是多少？CE小球号码3分直观上看，当1e（小球的号码为9）时反弹得最高，有可能击中点。此时=CE点离点最远，距离为D0CE=。CE距离3分根据运动方程，在竖直方向，小球离开B点后与地面碰撞的时间为2/tH=gt1e=时，根据落下与反弹的轨迹对称性，设小球与地面碰撞次，于是有N2BSNv=，22(1cos)2/SNgRHgθ=−222arccos116SNHRθ⎛⎞=−⎜⎟⎝⎠角度3分，N为任何正整数均可得分BCBC不同碰撞次数的轨迹示意图，不必画出与地面碰撞1次与地面碰撞2次（3）假设小球击中杆上的CDE点，为了使悬挂点C处的冲量尽可能小，试确定小球的号码及静止释放时的θ，此时的距离是多少？冲量有多大？CE本小问12分距离3分SCDlaESCDlaSCDlaEEI根据碰撞的理论，当冲量EI与杆垂直，且2113214()1()3mHJCElHmamH====时，点的碰撞冲量C0CI=。碰撞冲量3分上述结论可以表示为：小球要在反弹最高点碰撞，且碰撞点与地面的高度为23H。由于水平方向速度与竖直方向速度独立，下面只考虑竖直方向：212ymvmgH=小球落地时速度大小为2yvH=g。碰撞后方向上的速度大小为y'2yiveHg=，再利用上式，得反弹的最大高度为。所以2ieH223ieHH=，62639iee===小球号码3分（小球的号码为6）由于落下的时间12/t，上升的时间为Hg=22/ite，同时水平方向匀速度运动，所以Hg=12()BSvtt=+，(1)2(1cos)2/iSegRHθ=+−g226arccos14(1)SeHRθ⎛⎞=−⎜⎟+⎝⎠释放角度3分3二、骄傲自满的大力士（35分）（1）当大力士让绳索与地面成θ角度，绳索中的拉力最大为多大？该最大拉力与大力士拉绳的姿势有无关系？本小题10分大力士使出最大力时，其受力方程为：1cossinTFGNTFNθθμ=⎧⎪=+⎨⎪=⎩TG1FNθxyTG1FNθxy力的平衡方程3分解出1cossinGTμθμθ=+力的大小4分可代入具体数值如果把大力士处理为刚体，可以发现力的平衡方程不变（因此绳中的张力不变），这时多一个力矩的平衡方程可以求出身体相对地面倾斜的角度。因此拉绳的姿势不影响绳中最大拉力的大小。（2）当大力士让绳索与地面成θ角度，球门中最危险点的坐标值是多少？本小题10分对B点，绳子张力分量大小为1sincossinxGTμθθμθ=+，1coscossinyGTμθθμθ=+绳中张力对O点的力矩为()()OOBxyHLTT=×=−×−+MrTikijOyxyTLTLTH=++Mijk弯矩，yxTL=MjzyTH=Mk，合弯矩yzM与轴角度为ztan/tanyzMMϕθ==扭转应力在边缘最大，因此最危险点可能在与合弯矩yzM垂直的（压）和点（拉）。考虑到压力的影响，点最危险，所以最危险点坐标为1D2D1D()11220,cos,-sinDDθθ（3）在限制条件下，θ角为多少时大力士最接近把球门拉倒？夫人可能采用什么方式把球门拉倒？根据前面分析，在立柱的点处，压力产生的应力为1D1sin(cossin)xTGAAμθσθμθ==+弯曲力矩为221cossinyzyzGLMMMμθμθ=+=+弯矩产生的最大应力为本小题15分力与姿势无关3分结论5分：X――1