力学竞赛理论力学部分练习题

力学竞赛理论力学部分练习题一、四叶玫瑰线你能一笔画出图示曲线吗？如图所示为一四叶玫瑰曲线，其极坐标表达式为2cosa。请你进行分析计算和设计：（1）写出图示四叶玫瑰线的直角坐标表达式；（2）利用理论力学知识设计一种机构来画出这一曲线。题2图解：（1）对于四叶玫瑰曲线2cosa，在直角坐标系中可写成（图3-1）sincosyx将2cosa代入上式，得sin2coscos2cosayax（1）利用三角函数的积化和差公式)]cos()[cos(21coscos)]sin()[sin(21sincos可得)sin3(sin2)cos3(cos2ayax（2）xyO,···OO1ExyerR图3-1图3-2（2）现设计一行星齿轮机构来画此曲线。如图3-2所示的行星齿轮机构，小齿轮1O在固定内齿轮O内作纯滚动，其中内齿轮的半径为R，小齿轮的半径为r，画笔所在E点离小齿轮圆心1O的距离为e。随系杆1OO的转动，其E点的轨迹为sinsin)(coscos)(erRyerRxEE利用小齿轮的纯滚动条件)(rR，有rrR，代入上式可得···OO1ExyerR)sin(sin)()cos(cos)(rrRerRyrrRerRxEE作变换，令3，上式可改写为)3sin(3sin)()3cos(3cos)(rrRerRyrrRerRxEE（3）对照式（2）)sin3(sin2)cos3(cos2ayax和式（3）中的系数，有2ae，2arR，13rrR联解之，得aR2，ar23，2ae（4）做一个如图3-2所示的行星齿轮绘图机构，取式（4）中的参数，即可画出2cosa的四叶玫瑰曲线。二、手指转笔在你思考问题时有用手指转笔的习惯吗？请你用下述刚体简化模型，进行分析计算：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）求出笔绕手指无滑动转一周中，手指作用于笔的正压力和摩擦力的大小；（3）给出笔与手指间的摩擦因数随AC长度x变化应满足的条件。手指转笔的刚体简化模型：如题2图所示，设手指为半径为R的圆柱，笔为一回转半径为的细直杆（对质心C转动惯量为2m）。设手指保持不动，开始时笔在距质心C距离为的A处与手指相切，初角速度为o，设R，且杆始终在垂直于手指的同一平面内转动，忽略重力的影响。（江苏技术师范学院）ACROx0·题2图解：（1）关键词：平面运动学分析，刚体平面运动微分方程，机械能守恒，。（2）设某瞬时杆与圆柱相切于点A（圆柱上的点），此时杆绕A旋转的角速度为，质心C与A距离为x。杆对A的转动惯量为)(22xmJA，依题意，A为杆此刻的速度瞬心，由机械能守恒可得2o2222121mJA故222o222x（1）设杆受压力NF和摩擦力F，如图4-1（a）所示，nCa，Ca分别为质心加速度的径向和切向分量，为杆转动的角加速度。A·FFNCnCaCaA·CnCaCAanAaCanCAanAax（a）（b）图4-1A点加速度2RaA，由O指向A，且A点的加速度无切向分量，而由基点法可知CAnCAACnCCaaaaaa（2）方向如图4-1b所示，其中2RaanAA，xaCA。代入式（2）后，投影得xRaC2，xanC2（3）根据刚体平面运动微分方程，可列出xFmFmamaFmamaNNCcynCcx2（4）联立求解式（3）和式（4），可得xxmxmF222o222（5）0)(22222o4xRmmaFCN（6）（3）、分析摩擦因数应满足的条件：若使杆始终不与圆柱脱离，则摩擦因数应满足)()(222xRxxFFN（7）因Rx，对2,0，有,0x，（R）。则Rx2)()(max故R2三、小虫在转盘上爬行一光滑水平面上的圆盘，中心O用无摩擦轴固定，圆盘对此转轴的转动惯量为oJ。在圆盘上P点有一个质量为m的小虫，处于静止状态，如题（a）图所示。小虫在转盘上爬行将引起转盘的转动。请你分析计算。（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）在1t时刻小虫开始爬行，当我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图（b）所示时（假设小虫相对转盘逆时针运动），试求出转盘转过的角度。（3）若我们在转盘中看到小虫的轨迹如题图（c）所示的圆弧时，试求出转盘转过的角度，并求出当小虫沿圆弧爬行一周时，转盘转过的角度。（江苏技术师范学院）PmOxyPOxyQPOxyQ（a）（b）（c）题3图五、小虫爬行问题解答解：(1)关键词：点的合成运动，动量矩守恒。（2）取小虫为动点，定参考系xyzO，动参考系zyxO固连在转盘上，与转盘一起转动。根据题中提供的条件，转盘和小虫的重力平行于转轴，系统对转轴O的动量矩守恒。设在1t时刻，v为小虫相对于定参考系的速度（即绝对速度），rv为小虫相对于转盘参考系的速度，转盘的角速度为，r为小虫相对于定参考系的位矢，r为小虫相对于动参考系的位矢，牵连速度rve。根据点的速度合成公式，有ervvvrvr（1）由于系统对转轴的动量矩守恒，有0ovrmJ（2）在此问题中，rr，可以得到0)(orvrmJr进一步有02orvrrmJm（3）设r与rv的夹角为~，则上式可以化为0~sin2orvrrmJm（4）所以，转盘转过的角位移为212120~sinttrttdtrmJvrmdt（5）将式中的dtvr用小虫在动参考系中爬行的路程ds表示，可得转盘转过的角位移为2120~sinttdsrmJrm（6）若用极坐标描述，有)(rr10（7）则式（6）可表示为21)()(2o2ttdrmJrm（8）从以上可知，转盘转过的角位移由小虫在动参考系中的轨迹决定。（3）当小虫爬行的轨迹为圆弧时，有orr0代入式（8），得2oo2omrJmr（9）当小虫沿圆弧爬行一周时，将2代入上式，可得转盘转过的角度为2oo2o2mrJmr（10）四、四两拨千斤（南京工程学院）中国武术中有“四两拨千斤”的招式。请你分析一下：（1）“四两拨千斤”与力学中的什么内容有关系？（2）试用力学原理简要解析一下“四两拨千斤”的关键所在？（3）试分析图示拔桩装置的力学原理。解：（1）力的合成（2）“四两拨千斤”是用很小的力去改变一个很大的力的方向。设需改变的力为1F，用的力为2F，两力的合力为RF。为有效的改变力的方向，使合力与1F间的夹角为最大。以小力2F为半径画一圆，如上图示，由1F的起点到圆的切线方向为合力RF与原力1F间的最大值。与切线垂直的半径方向为小力的最有效方向。当21FF时，2arccos12FF可认为需施加的力与原力方向垂直时作用的效果最为明显。（3）分析图示装置的力学原理图示A、B两点的受力为两个力三角形如图示cotHABAFF，cotABCBFFBAABFF则：2cotHACBFF当较小时，2cot很大，即可用很小的力拉动很大的力BCF五、自动向上滚的论子（1）与力学相关的内容重力做功（2）力学原理解释轮子上滚的原因由于轨道与轮子形状特殊，保证轮子的重心在轨道低处时比在高处时高，重力做功时得轮子向上滚。（3）求直轨道和轮子的尺寸及夹角的关系设有效轨道的最低处为A，最高处为B，其高度分别为Ah、Bh，两端的水平距离为l，以ba,表示轮子在轨道A、B处与两侧轨道接触点之间的距离。有上三图：轮子在A处其重心到轨道底部距离：tan2ahhoA轮子在B处其重心到轨道底部距离：tan2bhhoB由图三：2tan2lab（1）由图（1）（3）：tan2coslhhAB（2）轮子在A、B处重心的高度差：tan2tan2bhhahhhoBoAtan2sintan2costan21labhhBA当0h，即轮子的重心在最低处大于在轨道处的最高处，轮子向上滚动。即满足：0tan2sintantan2sintan且：02hba六、难中的奖七、火车过桥建筑工程中常用的钢筋混凝土结构，在设计上希望钢筋承受拉力，混凝土承受压力。今有一座钢筋混凝土结构的桥梁，如图（a）所示。在使用中出现了险情：列车通过时跨中挠度超出了设计要求。有人说：这好办，只要中间部位再加一个桥墩就行。请问：（1）该问题与力学中的什么内容有关系？（2）试分析一下加桥墩方案是否可行？为什么？（列车通过时可按均布荷载考虑）（3）请你提出一个可行方案来，并说明理由。（淮海工学院）解：（1）关键词：梁的弯曲变形，弯矩，超静定。（2）不可行。此结构变成如图（b）所示超静定结构，若设桥的跨度为2L载荷集度q，抗弯刚度为EI。则按力法求解得：B点弯矩为241qLMB（上侧受拉）。由此可见：混凝土上表面出现拉应力，这与设计上混凝土承受压力相矛盾，所以，在中间加一桥墩的方案不可行。（3）可以考虑所加桥墩与桥底面有一间隙a的办法，如图（c）所示。首先要求EIqLyya245][4max；其次按支座移动求解如图（d）所示。力法方程为：aXF1111，得EIqLEILF4;641311解得：)(62331aLEIqLX所以：0342)34(2223aLEIqLqLLaLEIqLMBEIqLa124即所设计的间隙为：EIqLaEIqL24524244八、四人追车平直轨道上有一节质量mM20的车厢，速度为0v，车厢与铁轨间摩擦可以忽略。有4个人列队前行，前两个人质量同为m，第3个人质量为3m，第4个人质量为4m。当前两个人发现车厢后，以速度20v追上车厢并且登上去坐下。第3个人发现较晚，但是也以2.20v的速度追上登上去坐下。第4个人发现最晚，但最后还是以1.150v速度追上去刚好登上了车厢。根据以上条件，回答下下列问题：（1）本问题与力学中的什么内容有关系？（2）3m，4m与m有没有关系？如果有关系，请找出它们与m的关系。(3)如果其它条件不变，第4个人的质量4m增加，登上车厢后坐下，对车厢的速度影响有多大？（淮海工学院）（1）动量守恒。（2）假设第3个人登上去坐下后，车厢的速度为u，根据动量守恒：030032.24)2(vmmvMvummM得3030222.224mmvmmvu又015.1vu由上面两式得：mm24.13m4与m没有关系。（3）假设第4个人登上去坐下后，车厢的速度仍然为015.1vv，所以如果其他条件不变其的质量对速度没有影响。V0Mmmm3m4九、魔术表演利用一无底的薄壁圆桶（设半径R），再找两个乒乓球，如果满足RrR22就可以进行魔术表演了：把两乒乓球如图所示放在圆桶内，那么有时候圆桶会翻倒，有时候不会翻倒。（淮海工学院）1、为什么要满足RrR222、假设圆桶重Q，球重P，圆桶不翻倒需要满足什么条件？3、要使得圆桶有时候翻倒，有时候不翻倒，这里面有什么“机关”？解1、rR22，保证球可以放入桶内。Rr2，保证两球重心不在一水平线，从而产生翻倒力矩。QPNANCNBP2、整体受力如图，在临界翻倒的情况下，应有NA=0，对B取矩，有)2()2(r