积分中值定理的推广及应用(论文)

1衡阳师范学院毕业论文（设计）题目：积分中值定理的推广及应用学号：姓名：年级：学院：信息科学技术学院系别：数学系专业：信息与计算科学指导教师：完成日期：年月日I摘要本论文讲述的主要内容是积分中值定理及其应用，我们将它主要分为以下几个方面：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用。有关点的渐进性，我们对第一积分中值定理的点的做了详细的讨论，给出详细清楚的证明过程。而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其它证明过程只做简要说明。对于应用，我们给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。我们讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二积分中值定理，而且还给出了这些定理的详细证明过程。在此基础上，我们还讨论了在几何形体上的黎曼积分第一中值定理，它使得积分中值定理更加一般化，此情形对于讨论一般实际问题有很显著作用。在积分中值定理的推广方面，我们由最初的在闭区间[,]ab讨论函数()fx的积分中值定理情形转换为在开区间(,)ab上讨论函数()fx上的积分中值定理，这个变化对于解决一些实际的数学问题更为方便。不仅如此，我们还将几何形体上的黎曼积分第一中值定理推广到第一、第二曲线型积分中定理和第一、第二曲面型积分中值定理情形。关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性IIAbstractThemaincontentofthispaperarethemean-valuetheoremanditsapplication,itwillbemainlydividedintothefollowingrespects:integralmean-valuetheorem,thegeneralationofintegralmean-valuetheorem,theasymptoticpropertyofthe“intermediatepoint”ofintegralmedianpoint,theapplicationofintegralmean-valuetheorem.AbouttheProgressiveofpoint,wehavediscussedthepointofthemean-valuetheoremindetailandgiveclearproofoftheprocess.Whilethegradualissuesofthesecondintegralmeanvaluetheoremhasbeendemonstratedoneofthesesituations.Andtheotherprocessofprovinghasbeenexpressedinbrief.Accordingtoapplication,wepresentedasimplesituation,forexample,estimateintegralvalue,solvethelimitsofdefiniteintegral,defineintegralsign,comparethemagnitudeofintegralvalue,provethemonotonicoffunctionandAbeltestandDirichlettestWehavediscussedthedefiniteintegralmean-valuetheorem,thefirstmeanvaluetheorem,thesecondintegralmean-valuetheorem,andhavegivenadetailedproofofthesetheoremsprocess.Onthisbasis,wealsohavediscussedtheRiemannfirstintegralmean-valuetheoremonthegeometry.Itmakestheintegralmean-valuetheoremismoregeneral,thecasehasasignificantroleinthediscussionofpracticalissuesingeneral.Inthepromotionofintegralmeanvaluetheorem,wehavediscussedtheintegralmean-valuetheoremoffunction()fxintheinitialclosedinterval[,]abinthecaseofdiscussingitintheopeninterval(,)ab,thechangehasmoreconvenienceinsolvingsomepracticalmathematicalproblem.Inaddition,wewillpromotetheRiemannfirstintegralmean-valuetheoremonthegeometrytothesituationofthefirstandsecondtypecurveinintegraltheoremandThesecondtypesurfaceintegralmean-valuetheorem.Keywords:integralmean-value;theorempromotion;apply;progressiveIII目录1引言………………………………………………………………………………12积分中值定理的证明……………………………………………………………22.1定积分中值定理………………………………………………………………22.2积分第一中值定理……………………………………………………………32.3积分第二中值定理……………………………………………………………32.4几何形体上黎曼积分第一中值定理…………………………………………63积分中值定理的推广……………………………………………………………93.1定积分中值定理的推广………………………………………………………93.2定积分第一中值定理的推广…………………………………………………93.3定积分第二中值定理的推广…………………………………………………113.4第一曲线积分中值定理………………………………………………………123.5第二曲线积分中值定理………………………………………………………123.6第一曲面积分中值定理………………………………………………………133.7第二曲面积分中值定理………………………………………………………144第一积分中值定理中值点的渐进性……………………………………………165第二积分中值定理中值点的渐进性……………………………………………206积分中值定理的应用……………………………………………………………236.1估计积分值……………………………………………………………………236.2求含定积分的极限……………………………………………………………246.3确定积分号……………………………………………………………………246.4比较积分大小…………………………………………………………………256.5证明函数的单调性……………………………………………………………256.6证明定理………………………………………………………………………257结论………………………………………………………………………………29谢辞…………………………………………………………………………………30参考文献……………………………………………………………………………3111引言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。其中，微积分的创立，也极大地推动了数学的发展。积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下。通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理。而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形。还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理。并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值。虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题。此外，在20世纪，国内外定在有关积分中值定理的“中间点”渐进性质研究就已经有很显著的成就。数学家们不但将较为简单的情况下（一个区间上）的情形论述第一、第二积分中值定理的渐进性质论述透彻，而且还加以推广，包括有定积分中值定理的逆问题及其逆问题的渐近性，第一曲线型积分渐近性，甚至还将积分线由有限改为无穷的情形，他们将已有的定积分中值定理渐进性推导出的结果更为一般化。本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题。课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来。22积分中值定理的证明2.1定积分中值定理引理：假设M和m分别为函数()fx在区间[,]ab上的最大值和最小值，则有()()(),()bambafxdxMbaab成立。证明：因为M和m分别为函数()fx在区间[,]ab上的最大值和最小值，即()mfxM，我们对不等式进行积分可得()bbbaaamdxfxdxMdx，由积分性质可知()()()bambafxdxMba（2－1）成立，命题得证。定理1（定积分中值定理）：如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，则在区间[,]ab上至少存在一个点，使下式()()(),()bafxdxfbaab成立。证明：由于0ba，将（2－1）同时除以ba可得1()bamfxdxMba。此式表明1()bafxdxba介于函数()fx的最大值M和最小值m之间。由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]ab上至少存在一点，使得函数()fx在点处的值与这个数相等，即应该有1()()bafxdxfba，成立，将上式两端乘以ba即可得到()()(),()bafxdxfbaab，命题得证。备注1：很显然，积分中值定理中公式3()()()bafxdxfba（在a与b之间）不论ab或ab都是成立的。2.2积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数()fx在闭区间[,]ab上连续，()gx在(,)ab上不变号，并且()gx在[,]ab上是可积的，则在[,]ab上至少存在一点，使得()()()(),()bbaafxgxdxfgxdxab成立。证明：由于()gx在[,]ab上不变号，我们不妨假设()0gx，并且记()fx在[,]ab上的最大值和最小值为M和m，即()mfxM，将不等式两边同乘以()gx可知，此时对于任意的[,]xab都有()()()()mgxfxgxMgx成立。对上式在[,]ab上进行积分，可得()()()()bbbaaamgxdxfxgxdxMgxdx。此时在,mM之间必存在数值，使得mM，即有()()()bbaafxgxdxgxdx成立。由于()fx在区间[,]ab上是连续的，则在[,]ab上必定存在一点，使()f成立。此时即可得到()()()()bbaafxgxdxfgxd