2-极限的概念及运算法则

1江门职业技术学院教案授课时间年月日第周星期第节授课地点B308课程类型理论授课题目极限授课班级染整工艺班、智能产品1班、智能产品2班教学目的与教学要求通过本课的学习，使学生理解数列极限和函数极限的概念；能利用左、右极限判定分段函数在分段点处极限是否存在.主要内容一：通过几个数列的项的变化情况，得出项的变化趋势；二：通过例，巩固数列极限的概念；三：通过学生熟悉的反比例函数引入函数的极限的概念；四：通过例，巩固函数极限的概念五：了解常见函数极限求法重点与难点1、数列极限的概念；2、函数极限的概念；3、左、右极限教学方法手段（教具）1、讲授法2、演示法3、练习指导法4、作业指导法参考资料1、《高等数学》同济大学应用数学系主编高等教育出版社2、《经济应用数学》顾静相主编高等教育出版社3、《高职应用数学》杨伟传关若峰主编清华大学出版课后作业与思考题练习题1.23、5（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）、（7）、（8）教学后记2教学过程设计§1.2极限的概念☆旧课复习1、基本初等函数，初等函数、复合函数。2、函数的性质。3、数列的定义？（是以自然数为自变量的函数）一、数列的极限1、数列极限定义：如果无穷数列的项数n时，项nx无限趋于一个确定的常数A，那么A称为数列}{nx的极限，或称数列}{nx收敛，且收敛于A，记作Axnnlim或)(nAxn。如果当n时，nx不趋于一个确定的常数，我们便说数列}{nx没有极限，或说数列}{nx发散。例：讨论数列的极限。（1）nxC(2)2nxn(3)1(1)nnxqq一般的（1）)1(0limqqnn(2)CCnlim二、函数的极限1.当x时函数的极限x可以分为三种情况：（1）＋x，读作x趋向正无穷大，表示x正向无限增大的过程；（2）－x，读作x趋向负无穷大，表示0x且x无限增大的过程；（3）x，读作x趋向无穷大，表示x无限增大的过程。考虑反比例函数xy1当x无限增大时的变化趋势。当x时，函数xy1的值无限趋于0；当x时，函数xy1的值也是无限趋于0。从而当x时，函数xy1的值无限趋于0。定义如果当x时，函数)(xf无限趋近于一个常数A,那么称A为函数)(xf当x时的极限,记作Axfx)(lim或)()(xAxf类似的有如下定义：（1）如果当＋x时，函数)(xf无限趋近于一个常数A，那么称A为函数)(xf当＋x时的极限，记作)()()(limxAxfAxfx或。3(2)如果当－x时，函数)(xf无限趋近于一个常数A，那么称A为函数)(xf当－x时的极限,)()()(limxAxfAxfx或。补例讨论xx2lim、xx2lim和xx2lim的极限。结论：AxfxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim－＋2.当0xx时函数的极限引例：（1）1,1yxx（2）1),1(,112xxxxy.定义当自变量x无限趋于0x时，如果函数)(xfy无限趋于一个确定的常数A，那么称A为函数当0xx时的极限，记作Axfxx)(lim0或)()(0xxAxf由函数极限的定义,易得(1)ccxx0lim或,ccxlim（c为常数）(2)00limxxxx三、函数的左极限与右极限定义如果当x从点0x的左侧(0xx)无限趋于0x时,函数)(xf无限趋于常数A,那么称A为函数)(xf在点0x处的左极限,记作Axfxx)(lim0如果当x从点0x的右侧(0xx)无限趋于0x时,函数)(xf无限趋于常数A,那么称A为函数)(xf在点0x处的右极限,记作Axfxx)(lim0定理函数)(xf当0xx时极限存在的充分必要条件是函数)(xf当0xx时的左、右极限都存在且相等。即AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000例研究当0x时函数1,()0,1,xfxx000xx的极限是否存在？.结论当求分段函数在分段区间分界点处的极限时,务必先考虑其左、右极限,当左、右极限各自存在并且相等时,分段函数在该点的极限才存在,否则在该点的极限就不存在.例设,0()1,0xxfxx，当0x时，)(xf的极限是否存在？4四、极限的四则运算定理1(极限的四则运算法则)如果lim(),lim()fxAgxB,那么(1)lim()()lim()lim()fxgxfxgxAB(2)lim()()lim()lim()fxgxfxgxAB(3)lim()lim()cfxcfxcA(4)()lim()lim()lim()fxfxAgxgxB(0)B注：①上述极限对0,xxx情形都成立.②法则要求每个参与运算的函数极限存在,否则法则不能用.③商的极限的运算法则有个重要前提:分母极限不能为零.④法则(2)可以推广到lim()lim()nnnfxfxA(n为正整数)例：求下列函数的极限(1)22lim(23)xxx(2)01011lim()nnnnxxaxaxaxa注：多项式()px当0xx时的极限值就是多项式()px在0x处的函数值.即00lim()()xxpxpx(3)23123lim232xxxx注：一般地,当有理分式分母的极限不为零时,则有0xx时的极限等于分子、分母在0x处的函数值的商。即000()()lim()()xxpxpxqxqx（4）32112lim()28xxx(先通分)(5)011lim2xxxx（有理化）5(6)2227lim53xxxxx归纳：当00a,00b时有101010010,lim,,nnnmmxmmnaxaxaamnbbxbxbmn当时当时当时思考题：其他类型的极限问题例：求下列函数的极限已知516lim21xaxxx，求a,答案：7例8已知2lim2xxkxx，求k；答案：4k五、课堂小结1、数列的极限2、函数的极限当xxx0时的极限3、函数在0x处的左右极限六、作业布置6