一次函数复习讲义

【知识网络】【高清课堂396533一次函数复习知识要点】【要点梳理】要点一、函数的相关概念一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.y是x的函数，如果当x＝a时y＝b，那么b叫做当自变量为a时的函数值.函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图象法.要点二、一次函数的相关概念一次函数的一般形式为ykxb，其中k、b是常数，k≠0.特别地，当b＝0时，一次函数ykxb即ykx（k≠0），是正比例函数.要点三、一次函数的图象及性质1、函数的图象如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：直线ykxb可以看作由直线ykx平移|b|个单位长度而得到（当b＞0时，向上平移；当b＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数ykxb与函数ykx的图象之间可以相互转化.2、一次函数性质及图象特征掌握一次函数的图象及性质（对比正比例函数的图象和性质）变化的世界函数建立数学模型应用概念选择方案概念再认识表示方法图象性质一次函数（正比例函数）一元一次方程一元一次不等式二元一次方程组与数学问题的综合与实际问题的综合列表法解析法图象法要点诠释：理解k、b对一次函数ykxb的图象和性质的影响：（1）k决定直线ykxb从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），b决定它与y轴交点的位置，k、b一起决定直线ykxb经过的象限．（2）两条直线1l：11ykxb和2l：22ykxb的位置关系可由其系数确定：12kk1l与2l相交；12kk，且12bb1l与2l平行；12kk，且12bb1l与2l重合；（3）直线与一次函数图象的联系与区别一次函数的图象是一条直线；特殊的直线xa、直线yb不是一次函数的图象.要点四、用函数的观点看方程、方程组、不等式方程（组）、不等式问题函数问题从“数”的角度看从“形”的角度看求关于x、y的一元一次方程axb＝0（a≠0）的解x为何值时，函数yaxb的值为0？确定直线yaxb与x轴（即直线y＝0）交点的横坐标求关于x、y的二元一次方程组1122，．yaxbyaxb的解．x为何值时，函数11yaxb与函数22yaxb的值相等？确定直线11yaxb与直线22yaxb的交点的坐标求关于x的一元一次不等式axb＞0（a≠0）的解集x为何值时，函数yaxb的值大于0？确定直线yaxb在x轴（即直线y＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围1、无论m、n为何实数，直线31yx与ymxn的交点不可能在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】C；【解析】由直线31yx的解析式可以看出，此直线必过一二四象限，不经过第三象限．因此两直线若相交，交点无论如何也不可能在第三象限．2、星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图象，下面描述符合小红散步情景的是（）A.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了.B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了.C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了.D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回.3、一次函数yaxb，若ab＝1，则它的图象必经过点（）A、(－1,－1)B、(－1,1)C、(1,－1)D、(1,1)4、汇通公司销售人员的个人月收入y(元)与其每月的销售量x(千件)成一次函数关系，其图象如图所示，则此销售人员的月销售量为3500件时的月收入是________元．5、已知一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为4，＝________．【答案】；【解析】由题意：21||||4,16,422bbbb.6、若m、n为全体实数，那么任意给定m、n，两个一次函数1ymxn和2ynxm（m≠n）的图象的交点组成的图象方程是_________.【答案】1x；【解析】当两个一次函数1ymxn和2ynxm（m≠n）的图象的有交点时，mxnnxm，mnxmn，∵m≠n，∴x＝1.7、作出函数24yx的图象，并根据图象回答下列问题：（1）当－2≤x≤4时，求函数y的取值范围；（2）当x取什么值时，y＜0，y＝0，y＞0；（3）当x取何值时，－4＜y＜2．【答案与解析】解：当x＝0时，y＝－4，当y＝0时，x＝2，即24yx过点（0，－4）和点（2，0），过这两点作直线即为24yx的图象，从图象得出函数值随x的增大而增大；（1）当x＝－2时，y＝－8，当x＝4，y＝4，∴当－2≤x≤4时，函数y的取值范围为：－8≤y≤4；（2）由于当y＝0时，x＝2，∴当x＜2时，y＜0，当x＝2时，y＝0，当x＞2时，y＞0；（3）∵当y＝－4时，x＝0；当y＝2时，x＝3，∴当x的取值范围为：0＜x＜3时，有－4＜y＜2．13.如图，直线1l：1yx与直线2l：ymxn相交于点P（1，b）．（1）求b的值；（2）不解关于x，y的方程组，，请你直接写出它的解；（3）直线3l：ynxm是否也经过点P？请说明理由．解：（1）将P（1，b）代入1yx，得b＝1＋1＝2；（2）由于P点坐标为（1，2），所以．（3）将P（1，2）代入解析式ymxn得，2mn；将x＝1代入ynxm得ymn，由于2mn，所以y＝2，故P（1，2）也在ynxm上．7、如图所示，直线1l的解析表达式为33yx，且1l与x轴交于点D，直线2l经过A、B两点，直线1l、2l交于点C．(1)求点D的坐标；(2)求直线2l的解析表达式；(3)求△ADC的面积；(4)在直线2l上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标．1yxymxn12xy【答案与解析】解：(1)由33yx，当y＝0，得33x＝0，得x＝l．∴D(1，0)．(2)设直线2l的解析表达式为ykxb，由图象知，4x，0y；3x，32y．将这两组值代入，得方程组40,33.2kbkb解得3,26.kb∴直线2l的解析表达式为362yx．(3)∵点C是直线1l与2l的交点，于是有33,36.2yxyx解得2,3.xy∴C(2，－3)．∴△ADC的AD边上的高为3．∵OD＝1，OA＝4，∴AD＝3．∴ADC193|3|22S△．(4)P(6，3)．【总结升华】这是一道一次函数图象与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高．8、已知：如图，平面直角坐标系中，A（1，0），B（0，1），C（－1，0），过点C的直线绕C旋转，交y轴于点D，交线段AB于点E.（1）求∠OAB的度数及直线AB的解析式；（2）若△OCD与△BDE的面积相等，①求直线CE的解析式；②若y轴上的一点P满足∠APE＝45°，请直接写出点P的坐标.（1）∵A（1，0），B（0，1），∴OA＝OB＝1，△AOB为等腰直角三角形∴∠OAB＝45°设直线AB的解析式为：ykxb,将A（1，0），B（0，1）代入，bkb01解得k＝－1，b＝1∴直线AB的解析式为：1yx（2）①∵BDEOCD△△SS∴ODEABDEODEAOCDS四边形△四边形△SSS即AOBCEA△△SS∴OBOAEAC2121y21yE，将其代入1yx，得E点坐标（11,22）设直线CE为ykxb，将点C（－1，0），点E（11,22）代入bkbk21210，解得k＝b＝31∴直线CE的解析式：3131xy②∵点E为等腰直角三角形斜边的中点∴当点P（0，0）时，∠APE＝45°【总结升华】本题要求利用图象求解各问题，先求得函数与坐标轴的交点后，画函数图象，根据图象观察，得出函数的增减性后，求得结论.9、小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，小明与家之间的距离为1sm，小明爸爸与家之间的距离为2sm，图中折线OABD、线段EF分别表示1s、2s与t之间的函数关系的图象.（1）求2s与t之间的函数关系式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？解：(1)t＝2400÷96＝25设2sktb，将（0，2400）和（25，0）代入得：解得：∴2s＝－96t＋2400（2）由题意得D为（22，0）设直线BD的函数关系式为：smtn得：解得：∴s＝－240t＋5280由－96t＋2400＝－240t＋5280解得：t＝20当t＝20时，s＝480答：小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m.10、如图所示，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和时间变化的图象，根据图象回答问题．0252400bkb240096bk022240012nmnm5280240nm(1)分析图象，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式；(2)指出轮船和快艇的行驶速度；(3)问快艇出发多长时间赶上轮船?【解析】解：(1)设轮船的路程与时间的解析式为ykt．∵其过(8，160)可得160＝8k，∴k＝20．即轮船的路程和时间的函数解析式为20yt(0≤t≤8)．设快艇的路程和时间的解析式为了1yktb∵点(2，0)，(6，160)在图象上，∴11206160kbkb，解得14080kb．∴快艇的路程与时间的关系式为4080(26)ytt．(2)轮船的速度为20千米/时，快艇的速度为40千米/时．(3)快艇追上轮船时，离起点的距离相等．∴204080tt，解得4t．∵4－2＝2，∴快艇出发2小时后赶上轮船．11、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到图书馆查阅资料，学校与图书馆的路程是4千米．小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达图书馆，图中折线O—A—B—C和线段OD分别表示两人离学校的路程s（千米）与所经过的时间t（分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：(1)小聪在图书馆查阅资料的时间为_____分钟，小聪返回学校的速度为____千米/分钟；(2)请你求出小明离开学校的路程s(千米)与历经过的时间t(分钟)之间的函数关系式；(3)当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米?【思路点拨】（1）图象所示AB段为查阅资料时间.线段BC表示小聪返校时的图象.（2）s是t的正比例函数，可设s＝kt，将（45,4）代入求出k即可.（3）先求出直线BC的解析式，再求出BC与OD的交点.【答案与解析】解：(1)15；；(2)由图象可知，s是t的正比例函数．设所求函数的解析式为：．代入(45，4)得：4＝45k．解得．∴s与t的函数关系式为．(3)由图象可知，小聪在30≤t≤45的时段内与小明相遇．s是t的一次函数，设函数解析式为，代入（30，4），（45，0）得解得：．∴，令44121545tt，解得．当时，．答：当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是3千米．12、已知在长方形ABCD中，AB=4，BC=，O为BC上一点，BO=，如图所示，以BC所在直线为x轴，O为坐标原点建立平面直角坐标系，M为线段OC上的一点．（1）若点M的坐标为（