6[1]2 期权价值限分析

第二节期权价值限分析一、期权价格的上、下限（一）期权价格的上限1.看涨期权价格的上限对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格就是看涨期权价格的上限：其中，c和C分别代表欧式和美式看涨期权价格，S代表标的现期资产价格。2.看跌期权价格的上限美式看跌期权价格上限为：欧式看跌期权价格上限为：其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。XPSCSc,)(tTrXep（二）期权价格的下限1.欧式看涨期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产在T时刻，组合A的价值为：组合B的价值为ST。由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：),max(XST)(tTrXeTTSXS),max(()rTtcXeS()rTtcSXe)0,max()(tTrXeSc（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限我们只要将上述组合A的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为()rTtDXe()max(,0)rTtcSDXe2.欧式看跌期权价格的下限（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产组合D：金额为的现金在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X），组合D的价值为X：由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格限为：()rTtpSXe()rTtpXeS()max(,0)rTtpXeS()rTtXe我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：可见，欧式期权的下限实际上就是其内在价值。()rTtDXe（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限()max(,0)rTtpDXeS二、提前执行美式期权的合理性（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性1.无收益美式看涨期权考虑如下两个组合：组合A：一份美式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产CASE1:不提前执行期权（即到期执行）在T时刻，组合A的现金变为X，组合A的价值为max（ST，X）。而组合B的价值为ST，可见，组合A在T时刻的价值一定大于等于组合B。这意味着，如果不提前执行，组合A的价值一定大于等于组合B。()rTtXeCASE2:提前执行期权（在期执行）若在时刻提前执行，则提前执行看涨期权所得盈利等于，此时现金金额变为，其中表示T-时段的远期利率。因此，若提前执行的话，在时刻组合A的价值为：，而组合B的价值为。由于，因此。这就是说,若提前执行美式期权的话，组合A的价值将小于组合B。XSˆ()rTXerˆˆ()rTSXXeS0ˆ,rTˆ()rTtXeX0tτTrlrsrˆ比较CASE1和CASE2，得出如下结论：无收益资产条件下，提前执行美式看涨期权并不体现优势。因此，同一种无收益标的资产的美式看涨期权和欧式看涨期权的价值是相同的，即：C=c根据上式，我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：]0,max[)(tTrXeSC•2.无收益美式看跌期权•我们考察如下两种组合：组合A：一份美式看跌期权加上一单位标的资产组合B：金额为的现金•若不提前执行，则到T时刻，组合A的价值为max（X，ST），组合B的价值为X，因此组合A的价值大于等于组合B。•若在时刻提前执行，则组合A的价值为X（X－Sτ＋Sτ），组合B的价值为，因此组合A的价值也高于组合B。)(tTrXe)(ˆtTrXe由上分析可知，若不提前执行，当看跌期权到期时：是实值状态时（STX），A组合价值＝X＝B组合价值。是虚值状态时（STX）,ST＝A组合价值B组合价值＝X。若提前执行，总有X＝A组合价值B组合价值＝结论：是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。如果预期期权到期可能为实值状态即当SX时要考虑提前执行，反之，则应持有到期。另外若预期远期利率r上升，根据前面提前执行情况分析，应当考虑提前执行该无收益美式看跌期权。美式期权的下限为：SXP)(ˆtTrXe（二）提前执行有收益资产美式期权的合理性1.看涨期权•由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。•我们假设在期权到期前：•标的资产有n个除权日，t1，t2……，tn为除权前的瞬时时刻；•在这些时刻之后的收益分别为D1，D2，……，Dn，•在这些时刻的标的资产价格分别为S1，S2，……Sn。•由于在无收益的情况下，不应提前执行美式看涨期权，我们可以据此得到一个推论：在有收益情况下，只有在除权前的瞬时时刻提前执行美式看涨期权方有可能是最优的。因此我们只需推导在每个除权日前提前执行的可能性。•我们先来考察在最后一个除权日（tn）提前执行的条件。如果在tn时刻提前执行期权，则期权多方获得Sn-X的收益。若不提前执行，则标的资产价格将由于除权降到Sn-Dn。•根据前式，在tn时刻期权的价值（Cn）:•因此，如果：•即：,则在tn提前执行是不明智的。•相反，如果,则在tn提前执行有可能是合理的。同样，对于任意在ti时刻不能提前执行有收益资产的美式看涨期权条件是：]0,max[)(ntTrnnnnXeDScCXSXeDSntTrnnn)(]1[)(ntTrneXD]1[)(ntTrneXD提前执行期权]1[)(1iittrieXD上式等价于假定现行股票价格与X很接近，要使上式不满足即（可以提前执行），股票红利收益率必须高于或近似于无风险利率，但实际情况并不总是如此。因此：在大多数情况下，只用考虑最后除权日tn的提前执行可能性。实际上，只有当tn时刻标的资产价格足够大时，提前执行美式看涨期权才是合理的。由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：1[]niiDXrtt]0,max[)(tTrXeDScC1[]niiDXrtt2.看跌期权•由于提前执行有收益资产的美式期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。•通过同样的分析，我们可以得出美式看跌期权不能提前执行的条件是：•由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：]1[],1[)()(1niitTrnttrieXDeXD)0,max(SXDP三、期权价格曲线的形状（一）看涨期权价格曲线我们先看无收益资产的情况。看涨期权价格的上限为S，下限为。期权价格下限就是期权的内在价值。当内在价值等于零时，期权价格就等于时间价值。时间价值在时最大；当S趋于0和时，时间价值也趋于0，此时看涨期权价值分别趋于0和。特别地，当S=0时，C=c=0。()rTtSXe()max[,0]rTtSXe()rTtSXe＝•此外，r越高、期权期限越长、标的资产价格波动率越大，则期权价格曲线以0点为中心，越往右上方旋转，但基本形状不变，而且不会超过上限，如下图所示：期权价格线时间价值（二）看跌期权价格曲线1.欧式看跌期权价格曲线我们先看无收益资产看跌期权的情形。欧式看跌期权的上限为，下限为。当时，它就是欧式看跌期权的内在价值，也是其价格下限，当时，欧式看跌期权内在价值为0，其期权价格等于时间价值。当S=时，时间价值最大。当S趋于0和时，期权价格分别趋于和0。特别地，当S=0时，。)(tTrXe]0,max[)(SXetTr0)(SXetTr0)(SXetTr)(tTrXe)(tTrXe)(tTrXep•r越低、期权期限越长、标的资产价格波动率越高，看跌期权价值以0为中心越往右上方旋转，但不能超过上限，如下图所示：看跌期权价格Xe-r(T-t)上限欧式看跌期权价格下限、内在价值时间价值0Xe-r(T-t)S2.美式看跌期权价格曲线对于无收益标的资产来说，美式看跌期权上限为X，下限为X－S。但当标的资产价格足够低时，提前执行是明智的，此时期权的价值为X－S。因此当S较小时，看跌期权的曲线与其下限或者说内在价值X－S是重合的。当S=X时，期权时间价值最大。其它情况与欧式看跌期权类似，如下图所示。美式看跌期权价格曲线x上限美式看跌期权价格下限、内在价值时间价值0xs四、看涨期权与看跌期权之间的平价关系（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系1.无收益资产的欧式期权•考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权+一单位标的资产)(tTrXe•在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：（1）•这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。•如果式（1）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（1）成立。SpXectTr)(2.有收益资产欧式期权•在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：)(tTrXeDSpXeDctTr)((2)（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系1.无收益资产美式期权•由于Pp,从式（1）中我们可得：•对于无收益资产看涨期权来说，由于c=C，因此：•即（3）SXecPtTr)(SXeCPtTr)()(tTrXeSPC•再考虑以下两个组合：•组合A：一份欧式看涨期权加上金额为X的现金•组合B：一份美式看跌期权加上一单位标的资产•如果美式期权没有提前执行，则在T时刻组合B的价值为max(ST,X)，而此时组合A的为因此组合A的价值大于组合B。•如果美式期权在时刻提前执行，则在时刻，组合B的价值为X，而此时组合A的价值。•因此组合A的价值也大于组合B。XXeXSXeXStTrTtTrT)()(),max()0,max(＝()()max(,0)rTrTSXXeXeX－•因此：•又由于c=C，我们有：即•结合式（3），我们可得：（4）•这就是美式看涨期权和看跌期权的平价关系。SPXcXSPC)(tTrXeSPCXS2.有收益资产美式期权•同样，我们只要把组合A的现金改为D+X，就可得到有收益资产美式期权必须遵守的不等式：•S–D-XC-PS–D-Xe-r（T-t）(5)