哈尔滨工业大学理论力学第七版第II篇-第3章-碰撞

第三章碰撞碰撞：两个或两个以上相对运动的物体在瞬间接触，速度发生突然改变的力学现象实例：锤锻、打桩、球的弹射与反跳、火车车厢挂钩的联接。飞机着陆、飞船对接与溅落本章只讨论在一定简化条件下两个物体间的碰撞问题第三章碰撞§3-1碰撞的分类·碰撞问题的简化§3-2用于碰撞过程的基本定理§3-3质点对固定面的碰撞·恢复因数§3-4碰撞问题举例§3-5碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用·撞击中心§3-1碰撞的分类·碰撞问题的简化1.碰撞的分类碰撞时两物体间的相互作用力，称为碰撞力。对心碰撞偏心碰撞正碰撞斜碰撞----碰撞力的作用线通过两物体的质心。否则称为偏心碰撞（1）两个物体相碰时，按其相处位置，可分为----碰撞时各自质心的速度均沿着公法线。否则称为斜碰撞对心正碰撞对心斜碰撞光滑碰撞非光滑碰撞（2）两个物体相碰时，按其接触处有无摩擦，可分为完全弹性碰撞弹性碰撞（3）两个物体相碰撞时，按物体碰撞后变形的恢复程度（或能量有无损失），可分为塑性碰撞2.对碰撞问题的两点简化设榔头重10N，以v1=6m/s的速度撞击铁块，碰撞时间=1/1000s,碰撞后榔头以v2=1.5m/s的速度回跳。求榔头打击铁块的力的平均值。Ivmvm12sN65.7;)65.1(10IIg碰撞力的变化大致情况如图所示。平均打击力，是榔头重的765倍。N7650/*IF以榔头打铁为例说明碰撞力的特征：以榔头为研究对象，根据动量定理可见，即使是很小的物体，当运动速度很高时，瞬时力可以达到惊人的程度。有关资料介绍，一只重17.8N的飞鸟与飞机相撞，如果飞机速度是800km/h，（对现代飞机来说，这只是中等速度），碰撞力可高达3.56105N，即为鸟重的2万倍！这是航空上所谓“鸟祸”的原因之一。害的一面：鸟祸、机械、仪器及其它物品由于碰撞损坏等。利的一面：利用碰撞进行工作，如锻打金属，用锤打桩等。研究碰撞现象，就是为了掌握其规律，以利用其有利的一面，而避免其危害。由于碰撞时碰撞力极大而碰撞时间极短，在研究一般的碰撞问题时，通常做如下两点简化：（1）在碰撞过程中，由于碰撞力非常大，重力、弹性力等普通力远远不能与之相比，因此这些普通力的冲量忽略不计；（2）由于碰撞过程非常短促，碰撞过程中，速度变化为有限值，物体在碰撞开始和碰撞结束时的位置变化很小，因此在碰撞过程中，物体的位移忽略不计。§3-2用于碰撞过程的基本定理碰撞过程中有机械能的损失，难以用力的功来计算，因此一般采用动量定理和动量矩定理的积分形式来确定力的作用和运动变化的关系。1.用于碰撞过程的动量定理—冲量定理由于碰撞过程时间短、碰撞力变化规律复杂，因此只分析碰撞前、后运动的变化。ItFvmvmt0d称为碰撞冲量，普通力的冲量忽略不计I对于质点：)()(iieiiiiiIIvmvm对于质点系：niiinieiniiiniiiIIvmvm1)(1)(1101)(niiiInieiniiiniiiIvmvm1)(11冲量定理：质点系在碰撞开始和结束时动量的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量的主矢。)(eiCCIvmvm2.用于碰撞过程的动量矩定理—冲量矩定理nieiinieiOOFrFMLt1)(1)()(ddnieiinieiiOIrtFrL1)(1)(ddd对上式积分niteiiOOIrLL10)(12d碰撞过程简化假设（2），作用点矢径是恒量nieiOnieiiniteiiOOIMIrIrLL1)(1)(10)(12)(dnieiOnieiiniteiiOOIMIrIrLL1)(1)(10)(12)(d冲量矩定理：质点系在碰撞开始和结束时对点O的动量矩的变化，等于作用于质点系的外碰撞冲量对同一点的主矩。3.刚体平面运动的碰撞方程用于碰撞过程的质点系相对于质心的动量矩定理：)()(12eiCCCIMLL碰撞前后质点系相对于质心C的动量矩的变化，等于外碰撞冲量对质心的矩的矢量和（对质心的主矩）对于平行于其质量对称面运动的平面运动刚体，有CCJL)()(12eiCCCIMJJ上式不计普通力的冲量矩。)()(12)(eiCCCeiCCIMJJIvmvm刚体平面运动的碰撞方程。§3-3质点对固定面的碰撞·恢复因数设一小球（可视为质点）沿铅直方向落到水平的固定平面上第一阶段：开始接触至变形达到最大。该阶段中，小球动能减小,变形增大。设碰撞冲量为，则应用冲量定理在y轴投影式1)(0Imv1I第二阶段：由弹性变形开始恢复到脱离接触。该阶段中，小球动能增大，变形（弹性）逐渐恢复。设碰撞冲量为，则：2I20Ivm12IIvv碰撞过程分为两个阶段：vv牛顿在研究正碰撞时发现，对于给定材料，碰撞结束与碰撞开始的速度大小的比值几乎是不变的，该比值称为恢复因数。evv恢复因数由实验测定12ghv22ghv12hhvve各种材料的恢复因数，可查阅书中表3-1。一般地，0e1——弹性碰撞e=1理想情况——完全弹性碰撞e=0极限情况——非弹性碰撞或塑性碰撞12IIvve恢复因数又等于正碰撞的两个阶段中作用于物体的碰撞冲量大小的比值。若小球与固定面发生斜碰撞vvttvv假设不计摩擦，两物体只在法线方向发生碰撞nvnv恢复因数定义为nnvve由于不计摩擦，两物体在切线方向的投影相等tantannnvv即有tantannnvvetantannnvve对于实际材料有e1,则有：当碰撞物体表面光滑时，应有在不考虑摩擦的一般情况下，碰撞前后的两个物体都在运动，此时恢复因数定义为nrnrvve式中分别为碰撞后和碰撞前两物体接触点沿接触面法线方向的相对速度nrnrvv,§3-4碰撞问题举例例如：两物体对心正碰撞，质量分别为m1和m2，恢复因数为e碰撞前：碰撞结束：（沿质心连线）（1）分析碰撞结束时两质心的速度。)(,2121vvvv21,vv研究对象：两物体组成的质点系。由冲量定理，得：(1)22112211vmvmvmvm(2)2112vvvve列出补充方程：（分别以两物体为研究对象，应用动量定理可得出。具体地对于第一阶段：对于第二阶段：222211122111)(,)()(,)(IvvmIvvmIvvmIvvm2112112212vvvvvvvvvvvvIIe对于两物体正碰撞的情况，恢复系数等于两物体在碰撞结束与碰撞开始时，质心的相对速度大小的比值。)()1()()1(21211222121211vvmmmevvvvmmmevv联立(1),(2)式，解得：对于完全弹性碰撞（e=1）：)(2;)(221211222121211vvmmmvvvvmmmvv122121,,vvvvmm则若(碰撞后两物体交换速度)对于塑性碰撞（e=0）：21221121mmvmvmvv对于一般情况（0e1）：2211,vvvv（2）正碰撞过程中的动能损失碰撞开始：碰撞结束：2222112222211121212121vmvmTvmvmT则动能损失：))((21))((21)(21)(212222211111222222121121vvvvmvvvvmvvmvvmTTT)()1()()1(21211222121211vvmmmevvvvmmmevv由正碰撞结束时两质心的速度公式知：)()1(;)()1(21211222121211vvmmmevvvvmmmevv代入上式中，得：)]())[(()1(212212212121vvvvvvmmmmeT22122121212121))(1()(2)(vvemmmmTTTvvevv又系统动能没有损失,可以利用机械能守恒定律求碰撞后的速度。021TTT221212121)()(2vvmmmmTTT1212122112121211121)(2TmmmmmvmvmmmmT(a)对于完全弹性碰撞（e=1）：(b)对于塑性碰撞（e=0）：若第二个物体在塑性碰撞开始时静止，即v2=0，则2212212121))(1()(2vvemmmmTTT在这种塑性碰撞过程中损失的动能与两物体的质量比有关1)当m2m1时，△T≈T1，质点系在碰撞开始时的动能几乎完全损失在碰撞过程中，适用于锻压金属。在工程中采用比锻锤重很多倍的砧座。2)当m2m1时，△T≈0，适用于打桩，碰撞结束时桩获得较大的动能克服阻力前进，因此在工程中应选取比桩重得多的锤打桩。又如用锤子钉钉子。(c)对于弹性碰撞（0e1）：021TTT(恒为正值）1212122112121211121)(2TmmmmmvmvmmmmT解：碰撞开始时，锤速，桩速塑性碰撞后，ghv2102vghmmmvvv221121根据动能定理,计算下沉过程中,泥土对桩的平均阻力R。[例]打桩机。锤：m1，下落高度h；桩：m2，下沉。两者塑性碰撞。求碰撞后桩的速度和泥土对桩的平均阻力。)()()2(2021212121221121mmghmgmgmRRgmgmghmmmmm由于右端前两项远比第三项小,往往可以略去,于是上式可写为：)(2121mmghmR§3-5碰撞冲量对绕定轴转动刚体的作用·撞击中心1.定轴转动刚体受碰撞时角速度的变化设刚体绕固定轴z转动，转动惯量为JZ，受到外碰撞冲量的作用。由冲量矩定理在z轴上的投影式，有：nieizzzIMLL1)(12)(nieizzzIMJJ1)(12)(zeizJIM)()(122.支座的反碰撞冲量·撞击中心OxIOyII设刚体有质量对称面，绕垂直此平面的固定轴Oz转动，并设图示平面图形是刚体的质量对称面，则质心C在此图形上。由冲量定理，有OyyCyCyOxxCxCxIImvvmIImvvm若在图示位置发生碰撞，则有，即0CyCyvvyOyxCxCxOxIIIvvmI)(yOyxCxCxOxIIIvvmI)(若（1）；（2）0yI)(CxCxxvvmI则有，即：如果外碰撞冲量作用在物体质量对称面内，并且满足（1）、（2），则轴承反碰撞冲量等于零，即轴承处不发生碰撞。0OyOxII由（1）；即要求外碰撞冲量与y轴垂直，即I必须垂直于支点O与质心C的连线。0yIKI由（2）)()(12mavvmICxCxxzeizJIM)()(12而IJlImaz则maJlz解得---满足此式的点K成为撞击中心结论：当外碰撞冲量作用于物体质量对称面内的撞击中心，且垂直于轴承中心与质心的连线时，在轴承处不引起碰撞冲量。[例]均质杆质量M，长2a，可绕通过O点且垂直于图面的轴转动，杆由水平位置无初速落下，撞到一固定物块。设恢复因数为e，求碰撞后杆的角速度，碰撞时轴承的碰撞冲量及撞击中心的位置。解：碰撞开始时，由动能定理：02121OJmgaag231碰撞结束时：agee2312求得：OxIOyII)(12IlJJOOagelmalJIO23)1(34)(221根据冲量定理，得：0)(12OyOxIIIaam