材料力学第9章 梁的挠度和刚度计算

第9章平面弯杆弯曲变形与刚度计算9.1挠曲线挠度和转角9.2挠曲线近似微分方程9.3积分法求梁的变形9.4叠加法求梁的变形9.5梁的刚度条件与合理刚度设计9.6用变形比较法解简单超静定梁1、梁的变形特点PxCC1w(x)qw(x)挠度：梁截面形心在垂直于梁的初始轴线方向的位移转角：梁截面相对于变形前的位置转过的角度挠曲线()wwxtandwxdxqq9.1挠曲线挠度和转角平面假设小变形（小挠度）挠曲线：梁弯曲后，梁轴线所成的曲线挠曲线方程2，意义工业厂房钢筋混凝土吊梁600~500][LLf普通机车主轴3.00][q符号给定：正值的挠度向下，负值的向上；正值的转角为顺时针转相，负值的位逆时针转向3，影响变形的因素不计由小变形条件，x%3,10的的影响只有时MQhL4，计算变形的方法积分法、叠加法、能量法、………1、挠曲线近似微分方程zzEIxM)(1xo()()zzMxwxEI挠曲线近似微分方程小变形3221()()(1)wxwxw2()1()zzMxwwxEIM022()0dwxdxM022()0dwxdx9.2挠曲线近似微分方程()wx()()EIwxMxzzEIxM)(1*思考：）（若、xMM2常量若、M11、挠曲线方程（弹性曲线）()()EIwxMx1()()dEIwxMxxC12()(()d)dEIwxMxxxCxC9.3积分法求梁的变形2、边界条件、连续条件PDwxLPABCwxLa0,0xw,0xLw1212,xa0,0xw0,0xwq*注意问题()()EIwxMx什么时候需要分段积分？如何确定极值？PL1L2ABC例9.1求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。弯矩方程()()MxPLx微分方程的积分边界条件、连续条件PLxw()()()EIwxMxPLx211()2EIwPLxC3121()6EIwPLxCxC321(0)06EIwPLC211(0)02EIwPLC2112CPL3216CPL弹性曲线方程最大挠度及最大转角2()(3)6PxwxLxEI2max()2PLLEIqq3max()3PLwwLEIxPLwLq0BA例9.2均布荷载下的简支梁，EI已知，求挠度及两端截面的转角。maxw解：1确定反力2求出弯矩方程2AqlF2BqlF2122qlMxxqxxw3微分方程的积分4边界条件、连续条件21()22qlEIwxMxqxx14311(0)00()0102412EIwDEIwlqlqllClD2124qlC321431116412412qlEIwqxxCqlEIwqxxCxD5梁的转角方程和挠曲线方程332343164241241224qlqlEIqxxqlqlEIwqxxxq6梁的最大挠度：根据对称性4332max215|242122242384llqllqllqlEIwEIwqEI7梁两端的转角303332|241|642424AxBxlqlEIEIqlqlqlEIEIqllqqqq例9.3集中力下的简支梁，EI已知，求挠曲线方程和转角方程，最大挠度及最大转角。FalAB解：1确定反力2求出弯矩方程120,,AyFbMxFxxxalFbMxxFxalxalD3微分方程的积分1122()()FbEIwxMxxlFbEIwxMxxFxalBFaFlAFbFl21122222122FbEIwxClFbEIwxFxaCl积分一次：3111332226166FbEIwxCxDlFbEIwxFxalCxD再积分一次：4边界条件、连续条件12121212()()()()EIwaEIwaCCEIwaEIwaDD1133222(0)001()0660EIwDFbEIwllFlalClD边界条件连续条件积分成数为12221206DDFbCClbl222122222261226FbFbEIwxlbllFbEIwxFxalFblbl322133222661666FbFbEIwxlbxllFbEIwxFxalFblbxl5梁的转角方程和挠曲线方程6最大转角0max2max|6|6616AxBxlBFabEIEIlblFabEIEIlalifabthenFablalEIifabthenFlEIqqqqqqq6最大挠度222122222max13max00262333()9348FbFbwhenwxlbllalbaablbxifabthenxaFbwwxlbEIlifabthenxaFlwEIACEI例、试用积分法求图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求截面的转角和截面的挠度。设常量。xCDAB/2l/2l/2lw解：1确定反力2求出弯矩方程21210,22133,8222lMxqxxlllMxqlxx3微分方程的积分211221()0,22133(),8222lEIwxMxqxxlllEIwxMxqlxx31122210,62133,16222lEIwqxCxlllEIwqlxCx4111322210,242133,48222lEIwqxCxDxlllEIwqlxCxDx8BqlF4边界条件、连续条件122123()()()0222()()22lll4114222233123411342210242210482302116216111,,1638411,4832llqCDlqlCDlCDlqCqlCCqlDqlCqlDql33123243413342110,61621313,162482211110,2416384213113,482483222lEIwqxqlxlllEIwqlxqlxlEIwqxqlxqlxlllEIwqlxqlxqlx5梁的转角方程和挠曲线方程33133342442110061611613114824832113148821128AACEIEIwqqlqlEIlEIylqllqllqlqlyylqlEIqq在小变形条件下，材料服从虎克定律,sFM几个载荷共同作用的变形===各个载荷单独作用的变形之和叠加原理9.4叠加法求梁的变形内力0,,qPM与外力成线性关系LBAmaxwxwqqlBA1CwxwqBA2Cwxwql+=1Cq2Cq例9.4简支梁的EI已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和支座B的转角。43115,38424CBqlqlwEIEIq载荷分解如图均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时4322,163CBqlqlwEIEIq叠加41231219384724CCCBBBql1Cwwq+=例9.5简支梁的EI已知，用叠加法求梁跨中截面的位移和两端截面的转角。44133115/25384768/22448CABqlqlwEIEIqlqlEIEIqq载荷分解如图对称均布载荷单独作用时集中力偶单独作用时233220/2/224384CABwqlqlEIEIqqABC/2l/2lx/2qABx2Cww1CqABx/2q/2q叠加41233312333125768348384128748384128CCCBAABBBql例用叠加原理求A点转角和C点挠度。载荷分解如图查简单载荷变形表=+PABqABqPABCaaEIPaPA42qEIqaqA33q4524qCqLwEI36PCPawEIAAAqqPP=+BBBCaa叠加qAPAAqqqEIPaPA42qEIqaqA33qEIqLyqC2454EIPayPC63)43(122qaPEIa435246CqaPawEIEIPqabABCLqLPLa,43,BBwq求：PABC()BPw)(PBqAqBCcqq()Bqw)(qBqCqw()BcqqqqPABC()BPw)(PBqAqBC()Bqw)(qBq43435186256BCCqaqaqLwqwqbqbEIEIEIq33276256BCqaqLqqEIEIqq22BqLPEIq33BPLwPEICqwcqq323271552562256BBBqLPLqLqPEIEIEIqqq44435113092563768BBBqLqLqLwqwqwPEIEIEIAqBCcwqc()Bqw)(qBqPABC()BPw)(PBq逐段刚性法：研究前一段梁时，暂将后面的各段梁视为刚体，前一段梁末端截面的位移为后一段梁提供一个刚体位移；在研究后一段梁时，将已变形的前一段梁的挠曲线刚性化，再将各段梁的变形叠加在前一段梁的所提供的刚性位移上，从而得到后一段梁的总位移9.6用逐段刚性法求阶梯悬臂梁自由端的挠度和转角Cw0Bw1bw0Bw0Bq1BqBq把变形后的AC刚性化把未变形CB刚性化F/2lFFABCFABCABCacb22323/2/2/2322216/2/2/25322296CCFlFllFlEIEIEIFlFllqlwEIEIEIq求AC的变形时，CB刚化AC变形引起CB的变形20303167248BCBCCFlEIlqlwwEIqqq求CB的变形，把变形后的AC刚化，此时CB可看成以C为固定端的悬臂梁221331/228/2324BBFlFlEIEIFlqlwEIEIq1bw0Bw0Bq1BqBq把变形后的AC刚性化FBCcB截面的位移等于AC段变形引起CB的刚性位移和CB自身弯曲引起的位移2220133301351681673482416BBBBBBFlFlFlEIEIEIqlqlql9.7用逐段刚性法求解简支外伸梁的挠度CDAB/2l/2la1F2FCDAB1F2F1Fa0Bq1Cw1FCB2Cwacb把未变形BC刚性化把变形后的AB刚性化21212/2/22/236316BFllllFalEIlEIFalFlEIEIq求AB的变形时，把BC刚化AB变形引起BC的变形22121316CBFalFalwaEIEIq求BC的变形，把变形后的AB刚化，此时BC可看成以B为固定端的悬臂梁1F