压杆的稳定性

第八章压杆的稳定性第八章压杆的稳定性2011年2月11日星期五第八章压杆的稳定性第八章压杆的稳定性8.1受压杆件的稳定性问题8.2压杆的稳定性分析、欧拉公式8.3压杆的临界应力、经验公式第八章压杆的稳定性8.1受压杆件的稳定性问题实例：有一钢尺，长l＝300mm,横截面b=20mm,h=0.5mm,弹性模量E=200GPa,[σ]=180MPa。受压力F作用，试确定F的大小。而实际上仅施加很小的力时钢尺就弯了，不能承载了。－如何解释？为何？FFFFlhb[]FA根据强度条件6331801020100.510N1800N第八章压杆的稳定性2008南方雪灾导致电塔倒塌第八章压杆的稳定性前面各章节讨论了构件的强度和刚度问题。本章讨论受压杆件的稳定性问题。稳定性问题的例子平衡形式突然改变丧失稳定性失稳第八章压杆的稳定性构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。倒塌前正在进行悬臂法施工架设桥的中跨第八章压杆的稳定性1917年重架的魁北克桥——增加了“K”型斜撑TheQuebecBridgeoverSt.LawrenceRiver,Canada.Themaximumspanis548m.第八章压杆的稳定性脚手架倒塌1983年10月4日，高54.2m、长17.25m、总重565.4kN的大型脚手架局部失稳坍塌，5人死亡、7人受伤。横杆之间的距离太大2.2m规定值1.7m;地面未夯实，局部杆受力大；与墙体连接点太少；安全因数太低：1.11-1.75规定值3.0。第八章压杆的稳定性2003年10月17日上午8时10分左右，湖北凌志装饰工程有限公司承建的香港路华氏花园综合楼裙楼外装饰幕墙工程，在拆除脚手架过程中，出现脚手架坍塌(脚手架长约70米，高10米），造成1人死亡，14人受伤，其中2人伤势较重。第八章压杆的稳定性塔吊第八章压杆的稳定性2011年2月21日凌晨，浙江省上虞市境内的春晖立交桥发生引桥坍塌。坍塌总长度120米，最高落差7米。事故造成引桥上4辆货车侧翻，3人轻微伤。第八章压杆的稳定性平衡的稳定性稳定平衡不稳定平衡随遇平衡稳定性物体在其原来平衡状态下抵抗干扰的能力小球平衡的三种状态第八章压杆的稳定性载荷小于某一值的状态第八章压杆的稳定性载荷大于某一值的状态第八章压杆的稳定性载荷更大的状态第八章压杆的稳定性crFF微小横向力QcrFFcrFF微小横向力Q稳定平衡不稳定平衡临界状态临界力上界下界稳定的直线平衡状态微弯平衡状态压杆的平衡稳定性第八章压杆的稳定性压杆的平衡稳定性临界压力Pcr当PPcr时，压杆的直线平衡状态是稳定的。当PPcr时，直线平衡状态转变为不稳定的，受干扰后成为微弯平衡状态。使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力，也是在微弯平衡状态下的最小压力。当PPcr当PPcrFFFFcrFFFFcr第八章压杆的稳定性失稳杆件的这种丧失原有直线平衡状态的现象称为失稳。临界载荷从保持杆件直线平衡状态是稳定的“小载荷”过渡到引起杆件失稳的“大载荷”之间，必有一个极限值，载荷一旦超出这一极限，压杆就进入失稳状态，这一极限载荷值就称为临界载荷（或临界压力）。使直线平衡状态是稳定平衡状态的最大压力，也是在微弯平衡状态下的最小压力。第八章压杆的稳定性•早在文艺复兴时期，伟大的艺术家、科学家和工程师达·芬奇对压杆做了一些开拓性的研究工作。第八章压杆的稳定性•数学家欧拉首先导出细长杆屈曲（稳定）载荷公式；•1744年出版的变分法专著中，曾给出细长压杆失稳后弹性曲线的精确描述及压曲载荷的计算公式；•1757年，欧拉(L.Euler)又出版了《关于柱的承载能力》的论著，纠正了1744年专著中关于矩形截面抗弯刚度计算中的错误。第八章压杆的稳定性8.2压杆的稳定性分析、欧拉公式1两端铰支细长杆的临界压力如图所示细长等直杆当压杆在压力F作用下处于临界状态时，杆件发生“微弯”变形，x截面处的弯矩第八章压杆的稳定性MFw杆内的应力不超过材料的比例极限且在小变形的条件下，压杆的挠曲线的近似微分方程为22dwMdxEI由上两式得：22dwFwdxEII是杆横截面的最小惯性矩令2kEIF第八章压杆的稳定性则2220dwkdx即压杆在微弯时的挠度满足上述二阶线性常系数齐次微分方程其通解sincoswAkxBkxA、B为积分常数，A、B和EIFk都是待定值。由约束条件0,0,0xwxlw第八章压杆的稳定性得：0BsinwAkx不能取A=0，sin0klkl是的整数倍，即0,,2,3kl由此得：0,1,2,3,...nknl2222FnkEIl即：2220,1,2,3...nEIFnl只能是第八章压杆的稳定性F取除n=0以外的最小值为临界压力Fcr。22LEIFcr这就是两端为铰支细长压杆的临界压力的计算公式，由压杆成半个正弦波状得到，也称欧拉公式。得到屈曲位移函数其中A为未定常数。这表明屈曲位移是不确定的量。这与开始推导公式时假设压杆处于任意微弯状态是一致的。nxwx=Asinl由nkl第八章压杆的稳定性欧拉公式与精确解曲线精确解曲线理想受压直杆非理想受压直杆cr152.1FFl3.0时，第八章压杆的稳定性可看成杆长为2l，其临界压力为222crEIFl可利用挠曲线相似的特点以两端铰支为基本形式推广而得。2其他支座下细长压杆的临界压力一端固定一端自由压杆第八章压杆的稳定性一端固定一端铰支压杆挠曲线有一拐点C，且拐点在距铰支端约为0.7l处，故有220.7crEIFl两端固支压杆距上、下两端各为l/4处各有一个拐点，这两点处的弯矩等于零。222crEIFl故有第八章压杆的稳定性对于不同支座约束情况的细长压杆的临界压力计算公式可统一地写为22crEIFll表示把压杆折算成两端铰支的长度，称为相当长度。称为长度系数，它反映了杆端不同支座情况对临界压力的影响。第八章压杆的稳定性0.50.721.0临界压力公式压杆简图两端固定一端固定一端铰支一端固定一端自由两端铰支支座情况22EIl222EIl220.7EIl220.5EIl第八章压杆的稳定性有一钢尺，长l＝300mm,横截面b=10mm,h=1mm,弹性模量E=200GPa,[σ]=180MPa。受压力F作用，试确定F的大小。显然FFFFlhb2293392262001010101103001012crEIFl18.3N讨论1800NcrFA约小100倍！杆件先发生失稳现象！第八章压杆的稳定性8.3压杆的临界应力、经验公式1临界应力压杆处于临界状态时，近似认为压杆横截面上的轴向正应力临界压力Fcr与压杆的横截面面积A之比，该正应力称为临界应力，以表示。cr即22crcrFEIAlA式中，2,IiAi为截面的惯性半径，是一个与截面形状和尺寸有关的几何量。第八章压杆的稳定性则22222crEiElli令iL则22Ecr称为压杆的柔度或长细比。为欧拉公式的另一种形式，222crcrFEIAlAIiA第八章压杆的稳定性2欧拉公式的适用范围欧拉公式是根据压杆挠曲线的近似微分方程22dMdxEI导出的。所以，欧拉公式只能在应力不超过材料的比例极限P时才适用，即pcrE22或pE2令ppE22Ecr第八章压杆的稳定性则欧拉公式的适用范围可表示为p满足p的压杆称为大柔度杆。3临界应力的经验公式工程中除细长压杆外，还有很多柔度小于P的压杆，它们受压时也会发生失稳。bacr式中，a和b是与材料性质相关的常数。时，一般采用经验公式sP第八章压杆的稳定性s时scr其中bass若是脆性材料bbab通常把柔度()sb的压杆称为小柔度杆，()sPb的压杆称为中柔度杆。第八章压杆的稳定性临界应力总图大柔度压杆，按欧拉公式计算临界应力；中柔度杆，按经验公式计算其临界应力；小柔度压杆，按强度问题计算。大柔度杆中柔度杆小柔度杆第八章压杆的稳定性8.4例题分析例8.1试求图示三种不同杆端约束压杆的临界压力。材料为Q235钢，E=200GPa，l=300mm，b=12mm，h=20mm。第八章压杆的稳定性先求横截面的最小惯性半径解：)(46.33212123minminmmbhhbAIi（1）一端固定、一端自由的压杆，长度系数22300173.43.46liQ235钢，100,p,p故329222332012200101223001015.810()15.8()crEIFLNkN第八章压杆的稳定性（2）两端铰支的压杆，17.8646.33001iLQ235钢，100,p故30423561.6,1.12ssab,sp3041.1286.7207(MPa)crab65·2071020121049.7(KN)crcrFA长度系数第八章压杆的稳定性（3）两端固定的压杆，0.505300433616346sL...i.属小柔度杆，应按强度问题计算，即235MPacrs66·2351020121056.4()crsFAKN长度系数第八章压杆的稳定性例8.2工字型发动机连杆，尺寸如图，材料为45号优质碳钢，350MPa,280MPa,210GPa,spE求连杆的临界压力。第八章压杆的稳定性解：在xy平面，即运动平面内，简化如图，长度系数11在xz平面，简化如图，长度系数20.5第八章压杆的稳定性（1）计算连杆的柔度44331040.72412221213622121mmIz44331041.122612121224121mmIy255222621224mmA连杆在xy平面内的柔度8.64552/1040.7750141111AILiLzzxy连杆在xz平面内的柔度4.57552/1041.15805.042222AILiLyyxz,xyxz故连杆在xy平面内容易失稳。第八章压杆的稳定性64.8xy连杆在xy平面内容易失稳。（2）计算连杆材料的,ps86102801021069ppE查表得优质碳钢的a=461MPa,b=2.58MPa,于是46135043.022.58ssab,sxyp故4612.7564.8552163kNcrFabA第八章压杆的稳定性例8.3图示结构，AB为圆截面杆，直径d=80mm，BC为正方形截面杆，边长a=80mm。可各自独立变形，材料均为Q235钢，E=210GPa。已知l=2m，若规定工作载荷不得超过临界压力的一半，求该结构所能承受的最大载荷。第八章压杆的稳定性（1）AB杆，一端固定、一端铰支，7.0mmdddAIi20446424pABiL105201025.17.03（2）BC杆，两端铰支，142128023.112IaimmAa3121086.623.1BCpLi解：第八章压杆的稳定性可见AB杆的柔度大，AB杆的临界压力就是整个结构的临界压力，由欧拉公式计算AB杆的临界压力，有4232223802101064945KN0.7310crEIFL故AB杆最大工作载荷为945472.5KN22crAB