chap4非确定型决策方法

Chap4非确定型决策方法决策科学与艺术2019/8/29§1风险型决策（Ⅰ）风险型决策问题应具备以下几个条件：1）具有明确的决策目标，例如，获取最大的利润；2）有两个或两个以上的备选方案；3）存在两种或两种以上的自然状态；4）各种自然状态出现的概率是可以估计的（称为主观概率）；5）可以计算出不同备选方案在不同自然状态下的效用值（不失一般性，可以目标函数值取代效用函数值）。2019/8/29一、最大可能法——选择发生概率最大的状态，而不必考虑其他状态（把一个风险型决策问题变成了确定型决策问题）。1.决策规则：在决策时，先选择发生概率为最大的自然状态θ*，然后在该状态下从可行方案集X中选择益损值为最大值的方案。式中，x——决策变量；X——可行方案集，即决策变量的可行域；θ——自然状态变量；Q——状态集；p(θ)——状态θ的概率；f(x,θ)——在状态θ下选择方案x时的益损值。)}(max)(|),({opt),(*ppxfxffΘθXx2019/8/29例5-1：表5-1各方案益损值（万元）自然状态天气情况θ1：有雨θ2：无雨概率p(θ1)=0.7p(θ2)=0.3备选方案x1：露天展销-13-3x2：租馆展销-10-10根据最大可能法，x2即为最优方案。2019/8/292.最大可能法适用场合：风险型决策问题中，当各自然状态中某一状态较其它状态出现的概率大得多，而且其它每个状态下各方案的益损值差别不大时，可采用最大可能法。2019/8/29二、期望值法——以目标函数的数学期望为基础，将不同方案在不同状态下的期望益损值进行比较，选择期望益损值最大或期望损失值最小的方案作为最优方案。期望值法的决策规则为：qjjjXxXxXxxfpxfExfxf1),()(max)],([max)(max)(式中，f(x)——期望益损函数；E[]——表示求[]内随机变量的数学期望。2019/8/29例5-2：企业机器设备的最佳保养周期决策假设企业现有机器n=50台，且修理一台坏机器的成本c1=100元，而每台机器每次保养费成本c2=10元。另外在第t年每台机器损坏的概率为pt，在第t年机器损坏的台数为nt，根据经验pt的值如表5-2所示。决策：过多长时间对机器设备保养一次将使每年单位机器维修成本为最小？表5-2不同使用时间下机器损坏的概率使用时间t（年）12345损坏概率pt0.050.070.100.130.182019/8/29设维修时间间隔为x（年）。当x=T时，每年单位机器维修成本为：每年单位机器维修期望成本为：nt为随机变量，已知它服从二项分布B(n,pt)，E[nt]为第t年内损坏的机器台数的均值，即E[nt]=n*pt，则有：)(1)(211ncncnTTCTtt)][(1)]([211ncnEcnTTCETtt)(1)]([211cpcTTCETtt2019/8/29若要使E[C(T)]为最小而求得最佳保养周期T*，则必须满足以下条件：对T由小到大逐步计算E[C(T)]，满足上述条件的最优方案为x*=T*=3年)]([)]1([TCETCE)]([)]1([TCETCE且，表5-3E[C(T)]计算结果T(年)ptE[C(T)](元)10.050.0515.0020.070.1211.0030.100.2210.6740.130.3511.2550.180.5312.602019/8/29三、期望值—方差法期望值法主要适用于长期决策，它所追求的是长远期望效益。但在短期情况下，决策问题不仅要考虑期望效益，还要考虑短期内期望效益值的波动性期望值—方差法能有效地解决这个问题。2019/8/29期望值—方差法的决策规则——既使期望益损最大，同时又使益损的方差为最小。式中，Var[]——表示求[]内随机变量的方差（variance）；k——风险厌恶系数，标志着决策者对益损期望值的偏离程度的态度。k前的负号表明希望方差为最小。当决策者对收益在均值（数学期望值）以下的跌落特别敏感的话，可以将k值取比1大，即加大方差部分的权重，使取得低收益的几率减小。max{[(,)][(,)]}xXEfxkVarfx2019/8/29四、决策树法决策树法具有直观明了，易于理解，便于分析等特点。但是，如果备选方案和自然状态较多时，决策树就会过于庞大和复杂，这时用决策表和决策矩阵就比较方便。根据所决策的问题是否具有阶段性，可将决策树法分为单级决策树法和多级决策树法。2019/8/2930659515.26085301000-10015050-20025050-3002000-200600-250-3001000-100销售好p=0.4销售中p=0.5销售差p=0.1销售好p=0.4销售中p=0.5销售差p=0.1销售好p=0.4销售中p=0.5销售差p=0.1销售好p=0.4销售中p=0.5销售差p=0.1销售好p=0.4销售中p=0.5销售差p=0.1销售好p=0.4销售中p=0.5销售差p=0.1x1-2产量不变增加产量产量不变增加产量x1-1x3失败p=0.2成功p=0.8成功p=0.6失败p=0.4x3技术引进自行研制x2-2x2-130958530x1x2826382图5-1二级决策树第一级(第一阶段)决策第二级(第二阶段)决策*1x3x*21x*22x3x2019/8/29五、矩阵法矩阵决策法是期望值法的另一种形式，其决策规则与期望值法相同。特点是对多种自然状态、多种方案的优选分析更加简便易行，尤其是便于计算机处理。2019/8/29益损矩阵F与概率向量P的乘积为期望益损值向量：)()()(2121212222111211rqrqrrqqTxfxfxfpppfffffffffFP其中，fij=f(xi,θj)挑选出f(xi)中的最大值，它所对应的方案即为最佳方案：)}(,),(),({max)(21*rxxfxfxfxf2019/8/29六、灵敏度分析（稳定性分析/敏感性分析）考察自然状态的概率和（或）后果的益损值的数据变动是否影响最优方案的选择，通过分析找到最优方案变动的临界点。希望所作出的最优方案对这些数据变动的反应是不敏感的。2019/8/29例5-3：农作物种植选择表5-4例5-3的决策表目标函数变量益损值f(x,θ)（万元）期望益损值f(x)(万元)自然状态年内雨水情况θ1：雨水多θ2：雨水少概率p(θ1)=0.7p(θ2)=0.3备选方案x1：种植农作物甲50-2029*x2：种植农作物乙-1510019.52019/8/29自然状态的概率变动对最优方案的影响：表5-5例5-3中p(θ)=0.6时的决策表目标函数变量益损值f(x,θ)（万元）期望益损值f(x)(万元)自然状态年内雨水情况θ1：雨水多θ2：雨水少概率p(θ1)=0.6p(θ2)=0.4备选方案x1：种植农作物甲50-2022x2：种植农作物乙-1510031*2019/8/29计算上例中雨水状态的转折概率设p代表“雨水多”这一状态出现的概率，(1-p)为“雨水少”状态出现的概率。计算两个方案的期望益损值，并令其相等：解得：p=0.65，即为转折概率。当p0.65时，种植农作物甲是最优方案；当p0.65时，种植农作物乙是最优方案。当p值在0.65附近时，决策者应当对这一概率值仔细研究，避免由于概率估计的失误，造成决策的失误。100)1()15()20()1(50pppp2019/8/29§2风险型决策（Ⅱ）贝叶斯法为了使概率估计值更加准确，在能够获得后验信息的情况下，可用后验信息来调整先验概率值，得到后验概率分布。后验概率分布可以通过贝叶斯公式对先验概率分布进行修正而获得。2019/8/29用贝叶斯公式计算在调查结果y发生的条件下，自然状态θi发生的概率，以此来修正θi的先验概率p(θi)。贝叶斯公式：式中，p(θi|y)为各自然状态θi发生的先验概率分布p(θi)(i=1,…,q)的修正值，即后验概率分布。qiiiiiipyppypyp1)()()()()(一、贝叶斯公式2019/8/29二、举例(例5-4)某自动化生产设备在生产过程中有两种状态θ1：正常；θ2：不正常。根据已往经验可知先验概率分布为p(θ1)=0.9，p(θ2)=0.1。另外根据已往经验可知：正常情况下该设备生产出的产品的合格率为80％，不正常时产品的合格率仅为30％。试在以下几种情况下修正状态变量θ的概率分布：（1）从某时刻生产的产品中抽出一件发现是正品；（2）从某时刻生产的产品中抽出一件发现是次品。2019/8/29（1）抽出1件正品将从某时刻生产的产品中抽出一件正品这一试验结果记作y1，则根据题意有：p(y1|θ1)=0.8；p(y1|θ2)=0.3由贝叶斯公式修正θ1和θ2的概率分布为：96.01.03.09.08.09.08.0)()()()()(21111111iiipyppypyp04.01.03.09.08.01.03.0)()()()()(21122112iiipyppypyp2019/8/29（2）抽出1件次品记该试验结果为y2，由题意有：p(y2|θ1)=1-0.8=0.2；p(y2|θ2)=1-0.3=0.7由贝叶斯公式修正θ1和θ2的概率分布为：72.01.07.09.02.09.02.0)()()()()(21211221iiipyppyp|yp28.01.07.09.02.01.07.0)()()()()(21222222iiipyppypyp2019/8/29§3不定型决策不定型决策相对于风险型决策来说，由于相关概率无从知道，因此所作出的决策在很大程度上取决于决策者的决策经验、决策偏好、对自然状态的判断、心理素质和对风险的态度等因素，其决策结果带有较大的主观性。2019/8/29典型不定型决策示例——鸡蛋煎饼打蛋方案2019/8/29设：1）做成有6个鸡蛋的煎饼的结果最理想，为100分；2）由于一个坏鸡蛋污染了原来已打出的好鸡蛋，使煎饼做不成，结果最差，为0分；3）煎饼中少一个鸡蛋，扣15分；浪费一个好鸡蛋扣20分；多洗1个碗，扣10分。2019/8/29各方案结果量化分值方案第6个鸡蛋的质量状态稍有异样，但仍是好的确实已变质（1）直接打入大碗中1000（2）先打入小碗中9075（3）直接扔掉65852019/8/29一、乐观法1.决策规则：先在每个行动方案对应的各种后果中选取益损值最大的后果，然后，比较这些后果的益损值，选取其中的最大者所对应的方案作为最优方案。即，决策规则为“最大—最大规则”（max-max规则），可表示为：)(max)},(max{max)(*xfxfxfMXxΘXx2019/8/29例5-5：新建商场决定假日的供应水平例5-5的有关数据目标函数变量成本c(x,θ)（万元）fM(x)自然状态变量：顾客数（人）θ1=2000θ2=2500θ3=3000θ4=3500备选供应方案x15101825-5*x287823-7x321181221-12x430221915-152019/8/292.乐观法适用场合以激励效用为关键目标；处于绝处求生状态；评估竞争对手时；决策前景看好；决策实力雄厚；……。2019/8/29二、悲观法1.决策规则：“最大—最小规则”（max-min规则），即先在每个行动方案对应的各种后果中选取益损值最小的后果，然后从中选择最大者所对应的方案为最优方案。)(max)},(min{max)(*xfxfxfmXxΘXx2019/8/29例5