2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取)：3.4函数y=sin(ωx+φ)的图象及三

[知识能否忆起]一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时AT＝f＝1T＝ωx＋φφ2πωω2π二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：xωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φω三、函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤法一法二[动漫演示更形象，见配套课件][小题能否全取]1．函数y＝sinx2的图象的一条对称轴的方程是()A．x＝0B．x＝π2C．x＝πD．x＝2π解析：由x2＝π2＋kπ得x＝π＋2kπ(k∈Z)．故x＝π是函数y＝sinx2的一条对称轴．答案：C2．(教材习题改编)已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析：最小正周期为T＝2ππ3＝6；由2sinφ＝1，得sinφ＝12，φ＝π6.答案：A3．(2012·安徽高考)要得到函数y＝cos(2x＋1)的图象，只要将函数y＝cos2x的图象()A．向左平移1个单位B．向右平移1个单位C．向左平移12个单位D．向右平移12个单位解析：∵y＝cos(2x＋1)＝cos2x＋12，∴只要将函数y＝cos2x的图象向左平移12个单位即可．答案：C4．函数y＝sin2x－π3在区间－π2，π上的简图是()解析：令x＝0得y＝sin－π3＝－32，排除B，D.由f－π3＝0，fπ6＝0，排除C.答案：A5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A0，ω0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.解析：观察函数图象可得周期T＝2π3，则T＝2π3＝2πω，所以ω＝3.答案：31.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A0，ω0，|φ|π)中的参数的方法：在由图像求解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A＝M－m2，k＝M＋m2，ω由周期T确定，即由2πω＝T求出，φ由特殊点确定．2．由y＝sinx的图像变换到y＝Asin(ωx＋φ)的图像，两种变换的区别：先相位变换再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位；而先周期变换(伸缩变换)再相位变换，平移的量是|φ|ω(ω0)个单位．原因在于相位变换和周期变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是于ωx加减多少值．[例1](2012·山东高考)已知向量m＝(sinx,1)，n＝3Acosx，A2cos2x(A0)，函数f(x)＝m·n的最大值为6.(1)求A；(2)将函数y＝f(x)的图像向左平移π12个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图像，求g(x)在0，5π24上的值域．[自主解答](1)f(x)＝m·n＝3Asinxcosx＋A2cos2x＝A32sin2x＋12cos2x＝Asin2x＋π6.因为A0，由题意知A＝6.(2)由(1)f(x)＝6sin2x＋π6.将函数y＝f(x)的图像向左平移π12个单位后得到y＝6sin2x＋π12＋π6]＝6sin2x＋π3的图像；再将得到图像上各点横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到y＝6sin4x＋π3的图像．因此g(x)＝6sin4x＋π3.因为x∈0，5π24，所以4x＋π3∈π3，7π6，故g(x)在0，5π24上的值域为[－3,6]．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的作法(1)五点法：用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换法：由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．3.已知函数f(x)＝3sin12x－π4，x∈R.(1)画出函数f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图；(2)将函数y＝sinx的图象作怎样的变换可得到f(x)的图象？解：(1)列表取值：xf(x)00π0－3012x－π4π232π52π72π92ππ232π2π3描出五个关键点并用光滑曲线连接，得到一个周期的简图．(2)先把y＝sinx的图象向右平移π4个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到f(x)的图象．[例2](2011·江苏高考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．[自主解答]由图可知：A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，所以T＝π，ω＝2πT＝2，又函数图象经过点π3，0，所以2×π3＋φ＝π，则φ＝π3，故函数的解析式为f(x)＝2sin2x＋π3，所以f(0)＝2sinπ3＝62.[答案]62若本例函数的部分图象变为如图所示，试求f(0)．解：由图知A＝5，由T2＝5π2－π＝3π2，得T＝3π，∴ω＝2πT＝23.此时y＝5sin23x＋φ.将最高点坐标π4，5代入y＝5sin23x＋φ，得5sinπ6＋φ＝5，∴π6＋φ＝2kπ＋π2，∴φ＝2kπ＋π3(k∈Z)．∴f(x)＝5sin23x＋π3，f(0)＝5sinπ3＝532.确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A0，ω0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2；“第五点”时ωx＋φ＝2π(如例2)．3．(2012·陕西师大附中模拟)若三角函数f(x)的部分图象如图，则函数f(x)的解析式，以及S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)的值分别为()A．f(x)＝12sinπx2＋1，S＝2012B．f(x)＝12cosπx2＋1，S＝2012C．f(x)＝12sinπx2＋1，S＝2012.5D．f(x)＝12cosπx2＋1，S＝2012.5解析：根据已知图象，可设f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋1(ω0，A0)，由T＝4得2πω＝4，∴ω＝π2，A＝fx最大值－fx最小值2＝1.5－0.52＝12，又f(0)＝12sinφ＋1＝1，∴sinφ＝0，得φ＝0，∴f(x)＝12sinπx2＋1.又f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1.5＋1＋0.5＋1＝4，∴S＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝503×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝503×4＝2012，故选A.答案：A(2)(2012·长春调研)函数y＝cos(ωx＋φ)(ω0,0φπ)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，A、B分别为最高点、最低点，且AB＝22，则该函数图象的一条对称轴为()A．x＝2πB．x＝π2C．x＝2D．x＝1解析：由y＝cos(ωx＋φ)为奇函数知φ＝kπ＋π2，其中k∈Z.又0φπ，所以φ＝π2，则y＝cosωx＋π2＝－sinωx.由AB＝22知T22＋22＝22，所以T＝4＝2πω，得ω＝π2，y＝－sinπx2.结合选项知当x＝1时，y＝－sinπ×12＝－1，此时函数y＝－sinπx2取得最小值，因此该函数图象的一条对称轴为x＝1.答案：D[例3](2013·海宁模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2)．(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的增区间；(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域．[自主解答](1)由图象知A＝2，由T2＝2π得T＝4π，所以ω＝12.∴f(x)＝2sin12x＋φ，∴f(0)＝2sinφ＝1，又∵|φ|π2，∴φ＝π6，∴f(x)＝2sin12x＋π6，由f(x0)＝2sin12x0＋π6＝2，∴12x0＋π6＝π2＋2kπ，x0＝4kπ＋2π3，k∈Z，又(x0,2)是y轴右侧的第一个最高点，∴x0＝2π3.(2)由－π2＋2kπ≤12x＋π6≤π2＋2kπ，k∈Z得－4π3＋4kπ≤x≤2π3＋4kπ，所以f(x)的增区间为－4π3＋4kπ，2π3＋4kπ，k∈Z.(3)∵－π≤x≤π，∴－π3≤12x＋π6≤2π3，∴－32≤sin12x＋π6≤1，∴－3≤f(x)≤2，所以f(x)的值域为[－3，2]．利用三角函数图象与x轴的相邻两个交点之间的距离为三角函数的12个最小正周期，可求解参数ω的值，利用图象的最高点、低点为三角函数最值点，可求解参数A的值．在求函数值域时，由定义域转化成ωx＋φ的范围，即把ωx＋φ看作一个整体，再结合三角函数的图象求解．3．函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(其中A0，ω0，－πφπ)在x＝π4处取得最大值2，其图像中相邻的两个最低点之间的距离为π.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数fx＋π6的单调递减区间和对称中心．解：(1)由题意知f(x)的最小正周期T＝2πω＝π，∴ω＝2.∵f(x)在x＝π4处取得最大值2，∴A＝2，且2cos2×π4＋φ＝2，∴cos(π2＋φ)＝1，即sinφ＝－1.∵－πφπ，∴φ＝－π2，∴f(x)＝2cos2x－π2＝2sin2x，即f(x)＝2sin2x.(2)由(1)得fx＋π6＝2sin2x＋π6＝2sin2x＋π3，由2kπ＋π2≤2x＋π3≤2kπ＋3π2得kπ＋π12≤x≤kπ＋7π12，k∈Z，∴函数fx＋π6的单调递减区间为kπ＋π12，kπ＋7π12(k∈Z)．由2x＋π3＝kπ得x＝kπ2－π6，k∈Z，∴函数fx＋π6的对称中心为kπ2－π6，0(k∈Z)．函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的图象的平移和伸缩变换以及根据图象确定A、ω、φ问题是高考的热点，题型多样，难度中低档，主要考查识图、用图的能力，同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力．“大题规范解答——得全分”系列之(三)由三角函数图象确定解析式的答题模板[典例](2012湖南高考·满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)x∈R，ω0，0ωπ2的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝fx－π12－fx＋π12的单调递增区间．[动漫演示更形象，见配套光盘][教你快速规范审题]1．审条件，挖解题信息观察条件―→函数