2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：2.12导数的应用(一

[知识能否忆起]一、利用导数研究函数的单调性二、利用导数研究函数的极值1．极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都x0点的函数值，称为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值为函数的极大值．2．极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都x0点的函数值，称为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．3．极值：与统称为极值，与统称为极值点．小于点x0f(x0)大于点x0极大值极小值极大值点极小值点[小题能否全取]答案：A1．(教材习题改编)函数f(x)＝1＋x－sinx在(0,2π)上是()A．增加的B．减少的C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增解析：当x∈(0,2π)时，f′(x)＝1－cosx0，∴f(x)在(0,2π)上递增．2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图像如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：极小值点应有先减后增的特点，即f′(x)0→f′(x)＝0→f′(x)0.由图像可知只有1个极小值点．答案：A3．(2012·辽宁高考)函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为()A．(－1,1]B．(0,1]C．[1，＋∞)D．(0，＋∞)解析：函数y＝12x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，y′＝x－1x＝x－1x＋1x，令y′≤0，则可得0x≤1.答案：B4．(2012·陕西高考)设函数f(x)＝xex，则()A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的极小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的极小值点解析：求导得f′(x)＝ex＋xex＝ex(x＋1)，令f′(x)＝ex(x＋1)＝0，解得x＝－1，易知x＝－1是函数f(x)的极小值点．答案：D5．已知a0，函数f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是单调增函数，则a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a在x∈[1，＋∞)上f′(x)≥0，则f′(1)≥0⇒a≤3.答案：31.f′(x)0与f(x)为增函数的关系：f′(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件．2．可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，即f′(x0)＝0是可导函数f(x)在x＝x0处取得极值的必要不充分条件．例如函数y＝x3在x＝0处的导数为0，但x＝0不是极值点．此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点．运用导数解决函数的单调性问题[例1](2012·山东高考改编)已知函数f(x)＝lnx＋kex(k为常数，e＝2.71828…是自然对数的底数)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行．(1)求k的值；(2)求f(x)的单调区间．[自主解答](1)由f(x)＝lnx＋kex，得f′(x)＝1－kx－xlnxxex，x∈(0，＋∞)，由于曲线y＝f(x)在(1，f(1))处的切线与x轴平行，所以f′(1)＝0，因此k＝1.(2)由(1)得f′(x)＝1xex(1－x－xlnx)，x∈(0，＋∞)，令h(x)＝1－x－xlnx，x∈(0，＋∞)，当x∈(0,1)时，h(x)0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)0.又ex0，所以x∈(0,1)时，f′(x)0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)0.因此f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．求可导函数单调区间的一般步骤和方法(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求f′(x)，令f′(x)＝0，求出它在定义域内的一切实数根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f′(x)在各个开区间内的符号，根据f′(x)的符号判定函数f(x)在每个相应小开区间内的增减性．1．已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在a使函数f(x)为R上的单调递减函数，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－2＜x＜2.∴函数f(x)的单调递增区间是(－2，2)．(2)若函数f(x)在R上单调递减，则f′(x)≤0对x∈R都成立，即[－x2＋(a－2)x＋a]ex≤0对x∈R都成立．∵ex＞0，∴x2－(a－2)x－a≥0对x∈R都成立．∴Δ＝(a－2)2＋4a≤0，即a2＋4≤0，这是不可能的．故不存在a使函数f(x)在R上单调递减．[例2](2012·江苏高考)若函数y＝f(x)在x＝x0处取得极大值或极小值，则称x0为函数y＝f(x)的极值点．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．(1)求a和b的值；(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．运用导数解决函数的极值问题[自主解答](1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故－2是g(x)的极值点．当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故1不是g(x)的极值点．所以g(x)的极值点为－2.求函数极值点的步骤(1)确定函数的定义域；(2)解方程f′(x)＝0；(3)对于方程f′(x)＝0的每一个解x0，分析f′(x)在x0左、右两侧的符号(即f(x)的单调性)，确定极值点：①若f′(x)在x0两侧的符号“左正右负”，则x0为极大值点；②若f′(x)在x0两侧的符号“左负右正”，则x0为极小值点；③若f′(x)在x0两侧的符号相同，则x0不是极值点．2．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点．(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由．解：(1)f′(x)＝ax＋2bx＋1，由题意得f′(1)＝0，f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0，a2＋4b＋1＝0，解得a＝－23，b＝－16.(2)由(1)知f(x)＝－23lnx－16x2＋x，∴f′(x)＝－23x－x3＋1＝－x2－3x＋23x＝－13·x－1x－2x.又∵x0，∴0x1时，f′(x)0,1x2时，f′(x)0，x2时，f′(x)0，∴函数f(x)在(0,1)和(2，＋∞)上是减少的，在(1,2)上是增加的，∴x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.函数单调性与极值的综合问题[例3](2012·兰州调研)已知实数a0，函数f(x)＝ax(x－2)2(x∈R)有极大值32.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求实数a的值．[自主解答](1)f(x)＝ax3－4ax2＋4ax，f′(x)＝3ax2－8ax＋4a.令f′(x)＝0，得3ax2－8ax＋4a＝0.∵a≠0，∴3x2－8x＋4＝0，∴x＝23或x＝2.∵a0，∴当x∈－∞，23或x∈(2，＋∞)时，f′(x)0.∴函数f(x)的单调递增区间为－∞，23和(2，＋∞)；∵当x∈23，2时，f′(x)0，∴函数f(x)的单调递减区间为23，2.(2)∵当x∈－∞，23时，f′(x)0；当x∈23，2时，f′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)0，∴f(x)在x＝23时取得极大值，即a·2323－22＝32.∴a＝27.1．求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯，可使问题直观且有条理，减少失分的可能．2．如果一个函数在给定定义域上的单调区间不止一个，这些区间之间一般不能用并集符号“∪”连接，只能用“，”或“和”字隔开．3．函数f(x)＝x2＋ax＋1(a∈R)．(1)若f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为12，求实数a的值；(2)若f(x)在x＝1处取得极值，求函数f(x)的单调区间与极值．解：(1)f′(x)＝2xx＋1－x2－ax＋12＝x2＋2x－ax＋12，若f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为12，则f′(1)＝12.所以f′(1)＝3－a4＝12，得a＝1.(2)因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，即1＋2－a＝0，a＝3，∴f′(x)＝x2＋2x－3x＋12.因为f(x)的定义域为{x|x≠－1}，所以有：x(－∞，－3)－3(－3，－1)(－1,1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－－0＋f(x)极大值极小值由表可知，f(x)的单调递增区间是(－∞，－3)，(1，＋∞)，单调递减区间是(－3，－1)，(－1,1)．极大值为f(－3)＝－6，极小值为f(1)＝2.导数是解决函数问题的重要工具，利用导数解决函数的单调性问题、求函数极值、最值及解决生活中的最优化问题，是高考考查的热点，在解答题中每年必考，常与不等式、方程结合考查，试题难度较大，因此对该部分知识要加大训练强度，提高解题能力．