2014届高三数学一轮复习专讲专练(基础知识+小题全取+考点通关+课时检测)：2.4函数的奇偶性与周

[知识能否忆起]一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是偶函数关于对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)是奇函数关于对称f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)y轴原点二、周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个，那么这个就叫做f(x)的最小正周期．f(x＋T)＝f(x)最小的正数最小正数A．y＝sinxB．y＝x3C．y＝exD．y＝lnx2＋1[小题能否全取]1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是()答案：D解析：四个选项中的函数的定义域都是R.y＝sinx为奇函数．幂函数y＝x3也为奇函数．指数函数y＝ex为非奇非偶函数．令f(x)＝lnx2＋1，得f(－x)＝ln－x2＋1＝lnx2＋1＝f(x)．所以y＝lnx2＋1为偶函数．A．－13B.13C.12D．－12解析：∵f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝13，且f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝13.答案：B2．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()答案：B3．(教材习题改编)已知定义在R上的奇函数f(x)，满足f(x＋4)＝f(x)，则f(8)的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：∵f(x)为奇函数且f(x＋4)＝f(x)．∴f(0)＝0，T＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.4．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝________.解析：法一：由题意知f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x2－x＋12－x－a＝－x2x＋12x－a，即x－12(x＋a)＝x＋12(x－a)恒成立，所以a＝12.法二：因为f(x)的定义域为xx≠－12且x≠a，又因为奇函数定义域关于原点对称，所以a＝12.答案：125．定义在R上的函数f(x)既是奇函数，又是以2为周期的周期函数，则f(1)＋f(4)＋f(7)＝________.解析：据题意f(7)＝f(－1＋8)＝－f(1)，∴f(1)＋f(7)＝0，又f(4)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(4)＋f(7)＝0.答案：01.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；反之亦然；(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0；(4)利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．2．若函数满足f(x＋T)＝f(x)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．[例1](2013·福州质检)设Q为有理数集，函数f(x)＝1，x∈Q，－1，x∈∁RQ，g(x)＝ex－1ex＋1，则函数h(x)＝f(x)·g(x)()A．是奇函数但不是偶函数B．是偶函数但不是奇函数C．既是奇函数也是偶函数D．既不是偶函数也不是奇函数[自主解答]∵当x∈Q时，－x∈Q，∴f(－x)＝f(x)＝1；当x∈∁RQ时，－x∈∁RQ，∴f(－x)＝f(x)＝－1.综上有，对任意x∈R，都有f(－x)＝f(x)，故函数f(x)为偶函数．∵g(－x)＝e－x－1e－x＋1＝1－ex1＋ex＝－ex－11＋ex＝－g(x)，∴函数g(x)为奇函数．∴h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝f(x)·[－g(x)]＝－f(x)g(x)＝－h(x)，∴函数h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数．∴h(1)＝f(1)·g(1)＝e－1e＋1，h(－1)＝f(－1)·g(－1)＝1×e－1－1e－1＋1＝1－e1＋e，h(－1)≠h(1)，∴函数h(x)不是偶函数．[答案]A利用定义判断函数奇偶性的方法(1)首先求函数的定义域，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要条件；(2)如果函数的定义域关于原点对称，可进一步判断f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)是否对定义域内的每一个x恒成立(恒成立要给予证明，否则要举出反例)．[注意]判断分段函数的奇偶性应分段分别证明f(－x)与f(x)的关系，只有对各段上的x都满足相同的关系时，才能判断其奇偶性．1．判断下列函数的奇偶性．(1)f(x)＝1－x2＋x2－1；(2)f(x)＝3x－3－x；(3)f(x)＝4－x2|x＋3|－3；(4)f(x)＝x2＋2，x0，0，x＝0，－x2－2，x0.解：(1)∵由x2－1≥0，1－x2≥0，得x＝±1，∴f(x)的定义域为{－1,1}．又f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即f(x)＝±f(－x)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)∵f(x)的定义域为R，∴f(－x)＝3－x－3x＝－(3x－3－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．(3)∵由4－x2≥0，|x＋3|－3≠0，得－2≤x≤2且x≠0.∴f(x)的定义域为[－2,0)∪(0,2]，∴f(x)＝4－x2|x＋3|－3＝4－x2x＋3－3＝4－x2x，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(4)f(x)的定义域为R，关于原点对称，当x0时，f(－x)＝－(－x)2－2＝－(x2＋2)＝－f(x)；当x0时，f(－x)＝(－x)2＋2＝－(－x2－2)＝－f(x)；当x＝0时，f(0)＝0，也满足f(－x)＝－f(x)．故该函数为奇函数．(2)(2012·烟台调研)设偶函数f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(2)＝0，则不等式fx＋f－xx0的解集为()A．(－2,0)∪(2，＋∞)B．(－∞，－2)∪(0,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－2,0)∪(0,2)[例2](1)(2012·上海高考)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________.[自主解答](1)∵y＝f(x)＋x2是奇函数，且x＝1时，y＝2，∴当x＝－1时，y＝－2，即f(－1)＋(－1)2＝－2，得f(－1)＝－3，所以g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.(2)∵f(x)为偶函数，∴fx＋f－xx＝2fxx0.∴xf(x)0.∴x0，fx0或x0，fx0.又f(－2)＝f(2)＝0，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，故x∈(0,2)或x∈(－∞，－2)．[答案](1)－1(2)B本例(2)的条件不变，若n≥2且n∈N*，试比较f(－n)，f(1－n)，f(n－1)，f(n＋1)的大小．解：∵f(x)为偶函数，所以f(－n)＝f(n)，f(1－n)＝f(n－1)．又∵函数y＝f(x)在(0，＋∞)为减函数，且0n－1nn＋1，∴f(n＋1)f(n)f(n－1)．∴f(n＋1)f(－n)f(n－1)＝f(1－n)．函数奇偶性的应用(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式．抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性关于f(x)的方程，从而可得f(x)的解析式．(2)已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数．常常采用待定系数法：利用f(x)±f(－x)＝0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字母的值．(3)奇偶性与单调性综合时要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2．(1)(2011·安徽高考)设f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)＝2x2－x，则f(1)＝()A．－3B．－1C．1D．3(2)已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调增加，则满足f(2x－1)f13的x取值范围是()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23解析：(1)法一：∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：设x0，则－x0，∵f(x)是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.(2)由题意f(|2x－1|)f13，又∵f(x)在[0，＋∞)上单调增加，∴|2x－1|13.解得13x23.答案：（1）A（2）A[例3](2012·山东高考)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当－3≤x－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335B．338C．1678D．2012[自主解答]由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338.[答案]B1．周期性常用的结论：若f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)f(x＋a)＝1fx，则T＝2a；(3)f(x＋a)＝－1fx，则T＝2a.2．周期性与奇偶性相结合的综合问题中，周期性起到转换自变量值的作用，奇偶性起到调节符号作用．3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x)．当x∈[0,2]时，f(x)＝2x－x2.(1)求证：f(x)是周期函数；(2)当x∈[2,4]时，求f(x)的解析式．解：(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是周期为4的周期函数．(2)∵x∈[2,4]，∴－x∈[－4，－2]，∴4－x∈[0,2]，∴f(4－x)＝2(4－x)－(4－x)2＝－x2＋6x－8.又∵f(4－x)＝f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝－x2＋6x－8，即f(x)＝x2－6x＋8，x∈[2,4]．抽象函数是高中数学的难点，大多数同学感觉找不着头绪，对抽象函数的研究往往要通过函数的性质来体现，如函数的奇偶性、单调性和周期性．利用赋值法将条件进行转化是解决抽象函数问题的重要策略．下面从5个不同的方面来探寻一些做题的规律．1．抽象函数的定义域抽象函数的定义域是根据已知函数的定义域，利用代换法得到不等式(组)进行求解．[典例1]已知函数y＝f(x)的定义域是[0,8]，则函数g(x)＝fx2－12－log2x＋1的定义域为________．[解析]要使函数有意义，需使0≤x2－1≤8，x＋10，2－log2x＋1≠0，即1≤x2≤9，x－1，x≠3，则1≤x3，所以函数的定义域为[1,3)．[答案][1,3)[题后悟道]函数y＝f(g(x))的定义域的求法，常常通过换元设t＝g(x)，根据函数y＝f(t)的定义域，得到g(x)的范围，从而解出x的范围．在求函数的定义域时要兼顾函数的整体结构，使得分式、对数等都要有意义．[典例2]已知定义在R上的单调函数f(x)满足：存在实数x0，使得对于任意实数x1，x2，总有f(x0x1＋x0x2)＝f(x0)＋f(x1)＋f(x2)恒成立．求