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一、指数幂1．分数指数幂：(1)定义：一般地，给定正实数a，对于任意给定的整数m，n(m，n互素)，存在唯一的正实数b，使得bn＝am，我们把b叫作a的mn次幂，记作，它就是分数指数幂．b＝amn(2)规定：分数指数幂与根式的关系①正分数指数幂的根式形式：amn＝(a0)；②负分数指数幂的根式形式：a－mn＝(a0，m，n∈N＋且n1)；③0的分数指数幂：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂．nam1amn没有意义2．指数幂的运算性质：若a，b0，m，n∈R，则(1)aman＝；(2)(am)n＝；(3)(ab)n＝.am＋namnanbn三、指数函数的图象和性质函数y＝ax(a0，且a≠1)图象0a1a1图象特征在x轴，过定点上方(0,1)[动漫演示更形象，见配套课件]函数y＝ax(a0，且a≠1)性质定义域值域单调性函数值变化规律当x＝0时，当x0时，；当x0时，当x0时，；当x0时，(0，＋∞)减函数增函数y＝1y10y10y1y1R1．(教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为()A．－9B．7C．－10D．9解析：原式＝(26)12－1＝7.答案：B[小题能否全取]2．(教材习题改编)函数y＝0.3|x|(x∈R)的值域是()A．(0，＋∞)B．{y|y≤1}C．{y|y≥1}D．{y|0＜y≤1}解析：∵|x|≥0，∴00.3|x|≤0.30.∴0y≤1.答案：D3．已知函数f(x)＝4＋ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是()A．(1,5)B．(1,4)C．(0,4)D．(4,0)解析：当x＝1时，f(x)＝5.答案：A4．若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则实数a的值为________．解析：∵a2－3a＋3＝1，∴a＝2或a＝1(舍)．答案：25．若函数y＝(a2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a的取值范围是________．解析：由题意知0a2－11，即1a22，得－2a－1或1a2.答案：(－2，－1)∪(1，2)1.分数指数幂与根式的关系：分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而简化计算过程．2．指数函数的单调性是由底数a的大小决定的，因此解题时通常对底数a按0a1和a1进行分类讨论．指数式的化简与求值[例1]化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1)21111332265...().ababab；(2)2790.5＋0.1－2＋2102723－3π0＋3748.[自主解答](1)原式＝111133221566·ababab＝a111326·b115236＝1a.(2)原式＝25912＋10.12＋642723－3＋3748＝53＋100＋916－3＋3748＝100.指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．1．计算：(1)(0.027)13－－17－2＋27912－(2－1)0；(2)1412·1312332(4).0.1()abab解：(1)原式＝27100013－(－1)－217－2＋25912－1＝103－49＋53－1＝－45.(2)原式＝412·432100·a32·ab－132ab－132＝425.[例2](2012·四川高考)函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象可能是()[答案]D[自主解答]法一：当0a1时，函数y＝ax－1a是减函数，且其图象可视为是由函数y＝ax的图象向下平移1a个单位长度得到的，结合各选项知选D.法二：因为函数y＝ax－1a(a0，且a≠1)的图象必过点(－1,0)，所以选D.1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．2．(1)函数y＝e|lnx|－|x－1|的图像大致为()(2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________．解析：(1)由y＝e|lnx|－|x－1|＝1，x≥1，x＋1x－1，0x1，可判断图像为D.(2)曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b如图所示，由图像可得：如果|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b应满足的条件是b∈[－1,1]．答案：(1)D(2)[－1,1]指数函数的性质及应用[例3]已知函数f(x)＝3x－13|x|.(1)若f(x)＝2，求x的值；(2)判断x0时，f(x)的单调性．[自主解答](1)当x≤0时，f(x)＝3x－3x＝0，∴f(x)＝2无解．当x0时，f(x)＝3x－13x，令3x－13x＝2，∴(3x)2－2·3x－1＝0，∴3x＝1±2.∵x0,3x1，∴3x＝1－2(舍)．∴3x＝1＋2.∴x＝log3(1＋2)．(2)当x0，f(x)＝3x－13x.∵y＝3x在(0，＋∞)上单调递增，y＝13x在(0，＋∞)上单调递减．∴f(x)＝3x－13x在(0，＋∞)上单调递增．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．3．(1)(2012·福州质检)已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则()A．abcB．acbC．cabD．bca(2)(2012·上海高考)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)．若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则a的取值范围是________．解析：(1)由0.20.6,0.41，并结合指数函数的图象可知0.40.20.40.6，即bc；因为a＝20.21，b＝0.40.21，所以ab.综上，abc.(2)结合函数图象求解．因为y＝eu是R上的增函数，所以f(x)在[1，＋∞)上单调递增，只需u＝|x－a|在[1，＋∞)上单调递增，由函数图象可知a≤1.答案：(1)A(2)(－∞，1][典例]函数y＝14x－12x＋1在x∈[－3,2]上的值域是________．[常规解法]y＝14x－12x＋1＝12x2－12x＋1＝12x－122＋34，因为x∈[－3,2]，所以14≤12x≤8.当12x＝12时，ymin＝34；当12x＝8时，ymax＝57.所以函数y的值域为34，57.[答案]34，571．解答本题可利用换元法，即令t＝12x，把函数化为y＝t2－t＋1，其中t∈14，8，然后求在这个闭区间上的二次函数的最大值和最小值即可确定函数的值域．2．对于含ax、a2x的表达式，通常可以令t＝ax进行换元，但换元过程中一定要注意新元的范围，换元后转化为我们熟悉的一元二次关系．[巧思妙解]因为x∈[－3,2]，若令t＝12x，则t∈14，8.则y＝t2－t＋1＝t－122＋34.当t＝12时ymin＝34；当t＝8时，ymax＝57.答案为34，57.针对训练若0a1，函数y＝a2x＋2ax－1在[－1,1]上的最大值是14，则a的值为________．解析：令t＝ax(0a1)，则原函数化为y＝(t＋1)2－2(t0)．因为0a1，x∈[－1,1]，所以t＝ax∈a，1a，此时f(t)在a，1a上为增函数．所以f(t)max＝f1a＝1a＋12－2＝14.所以1a＋12＝16，所以a＝－15或a＝13.又因为a0，所以a＝13.答案：13教师备选题（给有能力的学生加餐）1．设y1＝40.9，y2＝80.44，y3＝12－1.5，则()A．y3y1y2B．y2y1y3C．y1y2y3D．y1y3y2解析：利用幂的运算性质可得y1＝21.8，y2＝21.32，y3＝21.5，再由y＝2x是增函数可知选D.答案：D解题训练要高效见“课时跟踪检测（十）”2．已知实数a，b满足等式12a＝13b，下列五个关系式：①0ba；其中不可能成立的关系式有()A．1个B．2个C．3个D．4个②ab0；③0ab；④ba0；⑤a＝b解析：函数y1＝12x与y2＝13x的图象如图，答案：B由12a＝13b得ab0或0ba或a＝b＝0.3．(2012·北京朝阳期末)函数y＝x2，x0，2x－1，x≥0，的图像大致是()解析：当x0时，函数的图像是抛物线，当x≥0时，只需把y＝2x的图像在y轴右侧部分向下平移1个单位即可，故大致图像为B.答案：B4．函数y＝|2x－1|在区间(k－1，k＋1)内不单调，则k的取值范围是()答案：CA．(－1，＋∞)B．(－∞，1)C．(－1,1)D．(0,2)解析：由于函数y＝|2x－1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k－1，k＋1)内不单调，所以有k－10k＋1，解得－1k1.5．求函数y＝a2x－2ax－1(a0，a≠1)的单调区间和值域解：y＝(ax－1)2－2(a0，a≠1)，设u＝ax.∵y＝(u－1)2－2在u∈[1，＋∞)时是关于u的增函数，在u∈(－∞，1)时是关于u的减函数，∴当ax≥1时，原函数的单调性与u＝ax的单调性相同；当ax1时，原函数的单调性与u＝ax的单调性相反．若a1，ax≥x≥0；axx0，∴在[0，＋∞)上，函数y＝a2x－2ax－1是增函数；在(－∞，0)上，函数y＝a2x－2ax－1是减函数．若0a1，ax≥x≤0；axx0，∴在(0，＋∞)上，函数y＝a2x－2ax－1是增函数；在(－∞，0]上，函数y＝a2x－2ax－1是减函数．∵ax0，∴函数值域是[－2，＋∞)．