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4．2.3直线与圆的方程的应用用坐标方法解决平面几何问题一般分三步：第一步：建立直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将几何问题转化为代数问题．第二步：通过代数运算，解决代数问题．第三步：把代数运算结果转化为几何问题．本节学习重点：圆的方程的应用．本节学习难点：实际问题向数学模型的转化．[例1]圆拱桥的弓形弧如图，跨度|OA|＝8，弓形的高为2m，在如图所示平面直角坐标系中，求此弧所在圆的方程．[解析]设圆心坐标为(4，b)，圆的半径为r那么圆的方程是(x－4)2＋(y－b)2＝r2由于原点O(0,0)和圆弧最高点(4,2)在圆上解得：b＝－3，r2＝25所以圆的方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.于是得方程组(0－4)2＋(0－b)2＝r2(4－4)2＋(2－b)2＝r2据气象台预报，在S岛正东300公里的A处形成一个台风中心，并以每小时40公里的速度向西北方向移动，在距台风中心250公里以内的地区将受其影响．问从现在起，经过______小时台风将影响S岛，持续时间________小时．[答案]26.6[解析]以A为原点，AS所在直线为x轴建立坐标系如图．则S(－300,0)以S为圆心，250为半径的圆的方程为(x＋300)2＋y2＝2502.由题意台风中心从A处以每小时40公里的速度向西北方向移动．故台风中心的移动轨迹为射线y＝－x(x≤0)，据题意可知，距台风中心250公里以内地区将受其影响．即台风中心移动到线段MN上时，S岛受其影响．所以从现在起约经过2小时，台风将影响S岛，持续时间约6.6小时.由(x＋300)2＋y2＝2502y＝－x得x1＝－150＋2514y1＝150－2514，x2＝－150－2514y2＝150＋2514，N(x1，y1)，M(x2，y2)则AN≈79.8；AM≈344.4；AN40≈2；AM40≈8.6.[例2]已知△AOB中，|OB|＝3，|OA|＝4，|AB|＝5，点P是△ABO内切圆上一点，求以|PA|、|PB|、|PO|为直径的三个圆面积之和的最大与最小值．[分析]三个圆面积之和的最值问题实质上是求|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最值．由于P是△ABO内切圆上的点，若想找到P点坐标必须先从△ABO内切圆的方程入手．[解析]建立如图直角坐标系，则A、B、O三点的坐标分别为A(4,0)、B(0,3)、O(0,0)．故内切圆的方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1.化简为x2＋y2－2x－2y＋1＝0，①又∵|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝(x－4)2＋y2＋x2＋(y－3)2＋x2＋y2＝3x2＋3y2－8x－6y＋25.②由①可知x2＋y2－2y＝2x－1，将其代入②有|PA|2＋|PB|2＋|PO|2＝3(2x－1)－8x＋25＝－2x＋22.设P(x，y)，内切圆半径为r，则r＝12(|OA|＋|OB|－|AB|)＝1.∵x∈[0,2]，故|PA|2＋|PB|2＋|PO|2的最大值为22，最小值为18，三个圆面积之和为π|PA|22＋π|PB|22＋π|PO|22＝π4(|PA|2＋|PB|2＋|PO|2)．∴所求面积的最大值为11π2，最小值为9π2.[例3]已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0，问是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦AB为直径的圆过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由．[解析]设l：y＝x＋m，又圆C的圆心C(1，－2)，由垂径定理知，AB中点N是两直线x－y＋m＝0与y＋2＝－(x－1)的交点，即N－m＋12，m－12，点C到直线l的距离|CN|＝|3＋m|2，由条件知，|AN|＝|NO|，|AC|＝3，|AN|2＋|NC|2＝|AC|2，∴m＝1或m＝－4.∴所求直线l的方程是x－y＋1＝0和x－y－4＝0.一、选择题1．若直线3x＋4y＋k＝0与圆x2＋y2－6x＋5＝0相切，则k的值等于()A．1或－19B．10或－10C．－1或－19D．－1或19[答案]A[解析]方程x2＋y2－6x＋5＝0配方得：|3×3＋4×0＋k|32＋42＝2，得k＝1或k＝－19.2．圆x2＋y2＝4上的点到直线x－y＝3的距离的最大值是()[答案]CA．2－22B．2＋22C．2＋322D.322－2[解析]圆心(0,0)到直线x－y－3＝0的距离加半径即所求．即2＋|－3|2＝2＋322.故选C.[点评]与圆有关的最值问题较多，常见的有以下几个方面：(1)动点P到圆的切线长最短一般用勾股定理转化为二次函数求解．(2)P为⊙C内一定点，过点P的直线l与⊙C相交弦中最长的为直径，该直径的两端点中，一个是圆上点到点P距离的最大值点，一个是最小值点．最短弦为以P为中点的弦(即与该直径垂直的弦)．如图，弦AB与直径EF垂直，MN是过P的任一弦，中点为Q，显然CPCQ，从而ABMN；又EP＝EC＋CP＝MC＋CPMP，可知E点是⊙C上到P点距离最大的点；又PF＝CF－CP＝CN－CPPN，知F点是⊙C上到点P距离最小的点，D为⊙C上任一点，则r－|PC|≤|DP|≤r＋|PC|.(3)直线l与⊙C相离，⊙C上任一点P到l的距离取值范围是[d－r，d＋r]．其中d是C到l的距离．(4)点P(x，y)在⊙C上运动，求①yx；②yx－1；③y＋2x－3；④x＋y；⑤x－2y；⑥x2＋y2；⑦(x－1)2＋(y＋2)2的最大(小)值，其中①②③转化为⊙C上动点到定点的斜率一般可用数形结合法、代数法(Δ)，几何法(d≤r)来解；④⑤可转化为直线在y轴上截距，用数形结合法或代数法、几何法求解；⑥⑦可转化为圆上动点到定点的距离问题求解．例如：已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为________．解析：∵点P在直线3x＋4y＋8＝0上，如下图，C点坐标为(1,1)，S四边形PACB＝2S△PAC＝|AP|·|AC|＝|AP|∵|AP|2＝|PC|2－|AC|2＝|PC|2－1.＝2·12·|AP|·|AC|∴当|PC|最小时，|AP|最小，四边形PACB的面积最小．|PC|的最小值为C(1,1)到直线3x＋4y＋8＝0的距离d＝3.∴|AP|≥22∴四边形PACB面积的最小值为22.试一试解决下列各题(1)由y轴上动点P，向⊙C：(x－3)2＋(y＋1)2＝1引切线，则切线长的最小值为________．(2)已知⊙C：(x＋1)2＋(y－2)2＝4，点P(0,1)，Q是⊙C上动点，则|PQ|的取值范围是________．(3)已知⊙C：x2＋y2＝9，点P(1,1)，过点P的所有直线中，直线l被⊙C截得弦长最短，则l的方程为____________．(4)实数x，y满足x2＋y2－4x＋2y＝0，那么y－1x＋1的取值范围是________，x＋y的取值范围是________．答案：(1)22；(2)[2－2，2＋2]；(3)x＋y－2＝0；(4)[－3－102，－3＋102]；[1－10，1＋10]二、填空题3．已知圆C：(x－1)2＋y2＝1，以M(4,4)为圆心，且与圆C外切的圆M的方程是____________________．[答案](x－4)2＋(y－4)2＝16[解析]设所求圆半径为r则r＋1＝(4－1)2＋(4－0)2∴r＝4故所求圆方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16.4．已知O为坐标原点，圆x2＋y2＋x－6y＋c＝0与直线x＋2y－3＝0的两个交点为P、Q，若OP⊥OQ，则c＝______.[答案]35y2－20y＋12＋c＝0①∵直线与圆相交于两不同点，∴Δ＝400－20(12＋c)0，∴c8，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝0.②[解析]由x2＋y2＋x－6y＋c＝0x＋2y－3＝0消去x得，由①知y1＋y2＝4，y2y1＝12＋c5，∴x1x2＝(3－2y1)(3－2y2)＝9－6(y1＋y2)＋4y1y2＝45c－275.代入②式中得45c－275＋12＋c5＝0，∴c＝3.三、解答题5．设AB是圆x2＋y2＝1的一条直径，以AB为直角边，B为直角顶点逆时针方向作等腰直角三角形ABC，当AB变动时，求C点的轨迹．[解析]设C(x，y)．∵AB为⊙O：x2＋y2＝1的直径，O为原点．AB⊥BC，∴OB⊥BC.又△ABC是以B为直角顶点的直角三角形∴|BC|＝|AB|＝2，|OB|＝1，∴|OC|＝5故无论B在圆上怎样变动，始终有|OC|＝5∴C点轨迹方程是x2＋y2＝5.它是一个圆．