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11.4离散型随机变量及其分布列第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-2-1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念,了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程,并能进行简单的应用.第十一章11.4离散型随机变量及其分布列1.随机试验:一般地,一个试验如果满足下列条件:(1)试验可以在相同的条件下重复进行;(2)试验所有可能的结果是明确的,并且不止一个;(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验的结果会出现哪一个,这种试验就是一个随机试验.2.随机变量:在随机试验中,随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.-3-第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-4-想一想如何区分随机变量与函数?答案:随机变量和函数都是一种映射,随机变量把试验结果映为实数,函数把实数映为实数.在两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域,可以把随机变量的取值范围称为随机变量的值域.不同的是:函数的自变量是实数,而随机变量的自变量是试验结果.第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-5-3.离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量.随机变量通常用大写字母X,Y,Z等表示,也可以用希腊字母ξ,η等表示.4.一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.第十一章11.4离散型随机变量及其分布列5.离散型随机变量的分布列具有如下性质:(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)∑𝑖=1𝑛𝑝𝑖=1.一般地,离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和.6.两点分布:若随机变量X的分布列为X01P1-pp则称这样的分布列为两点分布列.如果随机变量X的分布列为两点分布列,就称X服从两点分布.-6-第十一章11.4离散型随机变量及其分布列7.超几何分布:在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件“X=k”发生的概率P(X=k)=C𝑀𝑘C𝑁-𝑀𝑛-𝑘C𝑁𝑛,𝑘=0,1,2,…,𝑚,其中𝑚=min{𝑀,𝑛},且𝑛≤𝑁,𝑀≤𝑁,𝑛,𝑀,𝑁∈𝐍∗,称随机变量X服从超几何分布.随机变量X的分布列为X01…i…mP𝐶M0𝐶N-Mn-0𝐶Nn𝐶M1𝐶N-Mn-1𝐶Nn…𝐶Mi𝐶N-Mn-i𝐶Nn…𝐶Mm𝐶N-Mn-m𝐶Nn-7-第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-8-答案解析基础自测1.抛掷两颗骰子,所得点数之和记为X,那么X=4表示的随机试验结果是()A.两颗都是4点B.两颗都是2点C.一颗是1点,另一颗是3点D.一颗是1点,另一颗是3点,或者两颗都是2点解析关闭由于抛掷一颗骰子,可能出现的点数是1,2,3,4,5,6这6种情况之一,而X表示抛掷两颗骰子所得点数之和,所以X=4=1+3=2+2,表示的随机试验结果是:一颗是1点,另一颗是3点,或者两颗都是2点.答案解析关闭D第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-9-2.(2013广东高考)已知离散型随机变量X的分布列为X123P35310110则X的数学期望E(X)=()A.32B.2C.52D.3答案解析解析关闭E(X)=1×35+2×310+3×110=1510=32.答案解析关闭A第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-10-答案解析解析关闭显然A,B满足分布列的两个性质;对于D,有11×2+12×3+…+1(𝑛-1)·𝑛+1𝑛=1-12+12-13+…+1𝑛-1-1𝑛+1𝑛=1.又1(𝑛-1)·𝑛∈(0,1)且1𝑛∈(0,1),n∈N*,所以它也满足分布列性质;C中,由于P为实数,不妨取P=3,显然1-P=-20不满足概率的非负性.答案解析关闭C3.设ξ是一个离散型随机变量,则下列不一定能成为ξ的概率分布列的一组数是()A.0,0,0,1,0B.0.1,0.2,0.3,0.4C.P,1-P(P为实数)D.11×2,12×3,…,1(𝑛-1)·𝑛,1𝑛(n∈N*)第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-11-答案解析解析关闭η可能取值为0,1,2,且P(η=0)=14,P(η=1)=1+14=12,P(η=2)=14.答案解析关闭η012P1412144.在一个口袋中装有黑、白两个球,从中随机取一球,记下它的颜色,然后放回,再取一球,又记下它的颜色,写出这两次取出白球数η的分布列为.第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-12-答案解析解析关闭由分布列的性质得9𝑐2-c≥0,3-8𝑐≥0,9𝑐2-c+3-8c=1.解得c=13.答案解析关闭135.若X的分布列为X01P9c2-c3-8c则常数c=.第十一章11.4离散型随机变量及其分布列考点一随机变量【例1】下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量?并说明理由.(1)上海国际机场候机室中2015年10月1日的旅客数量;(2)2015年某天济南至北京的某次列车到北京站的时间;(3)2015年5月1日到10月1日期间所查酒驾的人数;(4)体积为1000cm3的球的半径长.-13-答案答案关闭(1)候机室中的旅客数量可能是:0,1,2,…,出现哪一个结果是不确定的,因此是随机变量.(2)某次济南至北京的列车,到达终点的时间每次都是随机的,可能提前,可能准时,亦可能晚点,故是随机变量.(3)在2013年5月1日到10月1日期间,所查酒驾的人数是随机变化的,因此也是随机变量.(4)体积为1000cm3的球的半径长为定值,故不是随机变量.考点一考点二考点三考点四第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-14-方法提炼1.随机变量从本质上讲就是以随机试验的每一个可能结果为自变量的一个函数,即随机变量的取值实质上是试验结果对应的数,虽然预先知道这些数的所有可能取值,但是不知道究竟是哪一个值.2.离散型随机变量必须能够“一一列出”,这说明试验的结果是有限的,而连续型随机变量可取某一区间内的一切值,无法对其中的值一一列举.这点是区别于非离散型随机变量的关键.3.所谓的随机变量就是试验结果和实数之间的一个对应关系,随机变量是将试验的结果数量化,变量的取值对应随机试验的某一个随机事件.写随机变量表示的结果,要看三个特征:(1)可用数来表示;(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值;(3)在试验之前不能确定取值.4.连续型变量可转化为离散型随机变量.考点一考点二考点三考点四第十一章11.4离散型随机变量及其分布列举一反三1下列变量中,离散型随机变量的个数有()(1)下期竞技节目中过关的人数;(2)某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差;(3)在郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50m有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上将电线铁塔进行编号,其中某一电线铁塔的编号;(4)江西九江市长江水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位.A.0B.1C.2D.3-15-考点一考点二考点三考点四答案解析解析关闭(1)是离散型随机变量.因为过关人数可以一一列出.(2)不是离散型随机变量.因为实际测量值与规定值之间的差值无法一一列出.(3)是离散型随机变量.因为电线铁塔为有限个,其编号从1开始可一一列出.(4)不是离散型随机变量.因为水位在(0,29]这一范围内变化,对水位值我们不能按一定次序一一列出.答案解析关闭B第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-16-考点二离散型随机变量的分布列的性质及应用【例2】如图所示,A,B两点5条连线并联,它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为ξ,则P(ξ≥8)=.答案解析解析关闭解法一:由已知得,ξ的取值为7,8,9,10,∵P(ξ=7)=𝐶22𝐶21C53=15,P(ξ=8)=𝐶22𝐶11+𝐶22𝐶21C53=310,P(ξ=9)=𝐶21𝐶21𝐶11C53=25,P(ξ=10)=𝐶22𝐶11C53=110,∴ξ的概率分布列为ξ78910P1531025110∴P(ξ≥8)=P(ξ=8)+P(ξ=9)+P(ξ=10)=310+25+110=45.解法二:P(ξ≥8)=1-P(ξ=7)=1-𝐶22𝐶21C53=45.答案解析关闭45考点一考点二考点三考点四第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-17-方法提炼(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值,此时要注意检验,以保证每个概率值均为非负数.(2)求随机变量在某个范围内的取值概率时,根据分布列,将所求范围内随机变量对应的取值概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式.考点一考点二考点三考点四第十一章11.4离散型随机变量及其分布列举一反三2设随机变量ξ的分布列为P𝜉=𝑘5=ak(k=1,2,3,4,5),则常数a的值为.-18-答案答案关闭11545考点一考点二考点三考点四第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-19-答案答案关闭解:由题意可知X服从两点分布,则P(X=0)=C62C112=311,P(X=1)=1-311=811.所以X的分布列为X10P811311考点三两点分布【例3】一个盒子中装有5个白色玻璃球和6个红色玻璃球,从中摸出两球.当两球全为红色玻璃球时,记为X=0;当两球不全为红色玻璃球时,记为X=1.试求X的分布列.考点一考点二考点三考点四第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-20-方法提炼两点分布是一种特殊的分布,随机变量只能取0,1.因为两点分布只有两个对立结果,所以,只需求出其中的一个概率,便可求得另一个概率.考点一考点二考点三考点四第十一章11.4离散型随机变量及其分布列举一反三3若离散型随机变量X的分布列为X01Pa2a22,则P(X=1)=.-21-考点一考点二考点三考点四答案解析解析关闭由𝑎2+𝑎22=1,得a2+a-2=0,a=-2(舍)或a=1.∴P(X=1)=12.答案解析关闭12第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-22-考点一考点二考点三考点四考点四超几何分布【例4】一袋中装有10个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数;(2)从袋中任意摸出3个球,记得到白球的个数为X,求随机变量X的分布列.答案答案关闭(1)记“从袋中任意摸出2个球,至少得到1个白球”为事件A,设袋中白球个数为x,则P(A)=1-C10-𝑥2C102=79,解得x=5.故白球有5个.(2)X服从超几何分布,其中N=10,m=5,n=3.其中P(X=k)=C5𝑘C53-𝑘C103,k=0,1,2,3,于是可得其分布列为X0123P112512512112第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-23-方法提炼1.在超几何分布中,只要知道N,M和n,就可以根据公式,求出X取不同值m时的概率P(X=m),从而列出X的分布列.2.一旦掌握了X的分布列,就可以算出相应事件的概率.考点一考点二考点三考点四第十一章11.4离散型随机变量及其分布列-24-举一反三450张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有一张中奖的概率大于0.5,n至少为多少?答案答案关闭解:设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”,则X服从超几何分布,其中N=50,M=2.于是,由至少有一张中奖票的概率大于0.5,得P(X≥1)=C21C48𝑛-1C50𝑛+C22C48𝑛-2C50𝑛0.5,解得n≥15.即n至少为15.考点一考点二考点三考点四第十一章11.4离散型随机变量及其分布列1.若离散型随