搜索
第六章数列6.1数列的概念与简单表示法第六章6.1数列的概念与简单表示法-3-考纲要求1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数.第六章6.1数列的概念与简单表示法-4-1.数列的概念按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项,数列中的每一项都和它的序号有关.排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项).往后各项依次叫做这个数列的第2项,…,第n项,….数列的一般形式可以写成a1,a2,a3,…,an,…,其中an是数列的第n项,我们把上面的数列简记为{an}.第六章6.1数列的概念与简单表示法-5-想一想你知道数列{an}和集合{a1,a2,a3,…,an}的区别吗?答案:数列{an}是表示按照一定顺序排列的一列数,为a1,a2,a3,…,an.而集合{a1,a2,a3,…,an}只表明该集合中有n个元素,数列中的项有顺序,集合中的元素没有顺序.第六章6.1数列的概念与简单表示法-6-2.数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数有限无穷数列项数无限项与项间的大小关系递增数列an+1an其中n∈N*递减数列an+1an常数列an+1=an其他标准摆动数列从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项11第六章6.1数列的概念与简单表示法-7-3.已知Sn,则an=𝑆1(𝑛=1),𝑆𝑛-𝑆𝑛-1(𝑛≥2).4.数列的通项公式如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.通项公式可以看成数列的函数解析式.想一想数列的通项公式是唯一的吗?答案:数列的通项公式不唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可以写为an=(-1)n或an=-1,𝑛为奇数,1,𝑛为偶数.有的数列没有通项公式.第六章6.1数列的概念与简单表示法-8-5.递推公式如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任意一项an与an-1(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式表示,那么这个公式叫做数列的递推公式.它是数列的一种表示法.6.数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看,数列可以看作是一个定义域为正整数集N*的函数,即当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值,而数列的通项公式也就是相应函数的解析式.第六章6.1数列的概念与简单表示法-9-基础自测1.数列1,23,35,47,59,…的一个通项公式是an等于()A.𝑛2𝑛+1B.𝑛2𝑛-1C.𝑛2𝑛-3D.𝑛2𝑛+3答案解析解析关闭由已知得,数列可写成11,23,35,….故通项公式为an=𝑛2𝑛-1.答案解析关闭B第六章6.1数列的概念与简单表示法-10-2.在数列{an}中,已知a1=a,a2=b,an+1+an-1=an(n≥2),则a6等于(D)A.aB.bC.b-aD.a-b第六章6.1数列的概念与简单表示法-11-3.已知数列{an}的通项an=𝑛𝑎𝑛𝑏+𝑐(a,b,c都是正实数),则an与an+1的大小关系是()A.anan+1B.anan+1C.an=an+1D.不能确定答案解析解析关闭an=𝑛𝑎𝑛𝑏+𝑐=𝑎𝑏+𝑐𝑛,∵y=𝑐𝑛是减函数,∴y=𝑎𝑏+𝑐𝑛是增函数,∴anan+1.故选B.答案解析关闭B第六章6.1数列的概念与简单表示法-12-4.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n-n2,则an=.答案解析解析关闭当n=1时,a1=S1=0;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=-2n+2.故an=0,𝑛=1,-2𝑛+2,𝑛≥2,即an=2-2n(n∈N*).答案解析关闭2-2n(n∈N*)第六章6.1数列的概念与简单表示法-13-5.已知数列{an}的通项公式an=1𝑛+𝑛+1,则a2015=,10-3是此数列的第项.答案解析解析关闭a2015=12015+2016=2016−2015=2504−2015;又10-3=10−9=110+9,∴n=9.答案解析关闭2504−20159第六章6.1数列的概念与简单表示法-14-考点一考点二考点三考点一由数列的前几项求数列的通项公式【例1】写出下面各数列的一个通项公式.(1)3,5,7,9,….(2)12,34,78,1516,3132,….(3)23,415,635,863,1099,….答案答案关闭(1)各项减去1后为正偶数,所以an=2n+1.(2)每一项的分子比分母少1,而分母组成数列21,22,23,24,…,所以an=2𝑛-12𝑛.(3)注意到分母分别是1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…为两个连续奇数的积,故所求数列的通项公式为an=2𝑛(2𝑛-1)(2𝑛+1).第六章6.1数列的概念与简单表示法-15-考点一考点二考点三方法提炼1.观察法就是观察数列的特征,找出各项共同的规律,横看“各项之间的关系结构”,纵看“各项与项数n的关系”,从而确定数列的通项公式.2.利用观察法求数列的通项时,要抓住以下几个特征:(1)分式中分子、分母的特征;(2)相邻项的变化特征;(3)拆项后的特征;(4)各项符号特征等,并对此进行归纳、联想.3.注意:根据数列的前n项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法,它蕴含着“从特殊到一般”的思想,由不完全归纳得出的结果是不可靠的,要注意代值检验,对于正负符号变化,可用(-1)n或(-1)n+1来调整.第六章6.1数列的概念与简单表示法-16-考点一考点二考点三举一反三1根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式:(1)-1,7,-13,19,…;(2)0.8,0.88,0.888,….答案答案关闭(1)符号问题可通过(-1)n或(-1)n+1表示,其各项的绝对值的排列规律为:后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6,故通项公式为an=(-1)n(6n-5).(2)将数列变形为89(1-0.1),89(1-0.01),89(1-0.001),…,∴an=891-110𝑛.第六章6.1数列的概念与简单表示法-17-考点一考点二考点三考点二由递推公式求数列的通项公式【例2】已知数列{an}满足:a1=1,2n-1an=an-1(n∈N,n≥2).(1)求数列{an}的通项公式;(2)这个数列从第几项开始各项均小于11000?第六章6.1数列的概念与简单表示法-18-考点一考点二考点三解:(1)an=𝑎𝑛𝑎𝑛-1·𝑎𝑛-1𝑎𝑛-2·…·𝑎3𝑎2·𝑎2𝑎1·a1=12𝑛-1·12𝑛-2·…·122·121=121+2+…+(𝑛-1)=12(𝑛-1)𝑛2,∴an=12𝑛(𝑛-1)2.(2)当n≤4时,(𝑛-1)𝑛2≤6,an=12(𝑛-1)𝑛2≥164,当n≥5时,(𝑛-1)𝑛2≥10,an=12(𝑛-1)𝑛2≤11024.∴从第5项开始各项均小于11000.第六章6.1数列的概念与简单表示法-19-考点一考点二考点三方法提炼由a1和递推关系求通项公式,可观察其特点,一般常利用“累加法”“累乘法”等.(1)已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),可以用“累加法”,即an-an-1=f(n),an-1-an-2=f(n-1),…,a3-a2=f(3),a2-a1=f(2).所有等式左右两边分别相加,代入a1得an.(2)已知a1且𝑎𝑛𝑎𝑛-1=f(n)(n≥2),可以用“累乘法”,即𝑎𝑛𝑎𝑛-1=f(n),𝑎𝑛-1𝑎𝑛-2=f(n-1),…,𝑎3𝑎2=f(3),𝑎2𝑎1=f(2),所有等式左右两边分别相乘,代入a1得an.第六章6.1数列的概念与简单表示法-20-考点一考点二考点三举一反三2根据下列条件,分别确定数列{an}的通项公式.(1)a1=1,an=𝑛-1𝑛an-1(n≥2);(2)已知数列{an}满足an+1=an+3n+2,且a1=2,求an;(3)a1=1,an+1=3an+2.第六章6.1数列的概念与简单表示法-21-考点一考点二考点三解:(1)∵an=𝑛-1𝑛an-1(n≥2),∴an-1=𝑛-2𝑛-1an-2,…,a2=12a1.以上(n-1)个式子相乘得an=a1·12·23·…·𝑛-1𝑛=𝑎1𝑛=1𝑛.(2)∵an+1-an=3n+2,∴an-an-1=3n-1(n≥2),∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=𝑛(3𝑛+1)2(n≥2).当n=1时,a1=12×(3×1+1)=2符合上式,∴an=32n2+𝑛2.第六章6.1数列的概念与简单表示法-22-考点一考点二考点三(3)∵an+1=3an+2,∴an+1+1=3(an+1),∴𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+1=3,∴数列{an+1}为等比数列,公比q=3.又a1+1=2,∴an+1=2·3n-1,∴an=2·3n-1-1.第六章6.1数列的概念与简单表示法-23-考点一考点二考点三考点三已知数列的前n项和求通项公式【例3】已知数列{an}的前n项和为Sn,求下列条件下数列的通项公式an.(1)Sn=2·5n-2;(2)S1=1,Sn+1=3Sn+2.答案答案关闭(1)当n=1时,a1=S1=2×5-2=8.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2·5n-2-2·5n-1+2=8·5n-1.∴当n=1时也适合an,故an=8·5n-1.(2)∵S1=1,∴a1=1.∵S2=3S1+2,∴a2=4.∵Sn+1=3Sn+2,Sn=3Sn-1+2(n≥2),∴an+1=3an(n≥2).∴数列{an}从第二项起构成等比数列,首项为a2,公比为3.∴an=4·3n-2.故数列{an}的通项公式为an=1,𝑛=1,4·3𝑛-2,n≥2.第六章6.1数列的概念与简单表示法-24-考点一考点二考点三方法提炼1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是an=𝑆1,n=1,𝑆𝑛-𝑆𝑛-1,n≥2.当n=1时,a1若适合an=Sn-Sn-1,则n=1的情况可并入n≥2时的通项an;当n=1时,a1若不适合Sn-Sn-1,则用分段函数的形式表示.2.转化思想是数学中最基本、最常用的一种解题策略,数列中的转化更是层出不穷,如Sn和an的转化.第六章6.1数列的概念与简单表示法-25-考点一考点二考点三举一反三3数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an+1=13Sn(n=1,2,3,…),求an.答案答案关闭∵an+1=13Sn,∴an=13Sn-1(n≥2).∴an+1-an=13(Sn-Sn-1)=13an(n≥2).∴an+1=43an(n≥2).又a1=1,a2=13S1=13a1=13,∴{an}是从第二项起,公比为43的等比数列.an=1343𝑛-2.∴an=1,𝑛=1,1343𝑛-2,n≥2.第六章6.1数列的概念与简单表示法-26-1231.在数列{an}中,若a1=12,an=11-𝑎𝑛-1(n≥2,n∈N*),则a2013=()A.12B.-1C.-12D.-2答案解析解析关闭∵a1=12,an=11-𝑎𝑛-1(n≥2,n∈N*),∴a2=2,a3=-1,a4=12.∴{an}是以3为周期的数列.∴a2013=a670×3+3=a3=-1.答案解析关闭B第六章6.1数列的概念与简单表示法-27-1232.数列的前n项为:32,1,710,917,…,则an=.答案解析解析关闭将数列统一为32,55,710,917,…,对于分子3,5,7,9,…,是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为bn=2n+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…,即数列{n2},可得分母的通项公式为cn=n2+1,因此可得它的一个通项公式为an=2𝑛+1𝑛2+1.答案解析关闭2𝑛+1𝑛2+1第六章6.1数列的概念与简单表示法-28-1233.已知数列{an}满