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第1讲任意角、弧度制及任意角的三角函数最新考纲1.了解任意角的概念和弧度制的概念；2.能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.端点(2)分类按旋转方向不同分为、、.按终边位置不同分为和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}.正角负角零角象限角2.弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.半径长(2)公式角α的弧度数公式|α|＝lr(弧长用l表示)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝弧长公式弧长l＝扇形面积公式S＝＝180π°|α|r12lr12|α|r23.任意角的三角函数三角函数正弦余弦正切定义设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么叫做α的正弦，记作sinα叫做α的余弦，记作cosα叫做α的正切，记作tanα各象限符号Ⅰ＋＋＋Ⅱ＋－－Ⅲ－－＋Ⅳ－＋－yxyx三角函数线有向线段为正弦线有向线段为余弦线有向线段为正切线MPOMAT诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，反之亦然.()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)若α∈0，π2，则tanα＞α＞sinα.()(5)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等.()×××√×2.下列与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋94π(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z)D.kπ＋5π4(k∈Z)解析与9π4的终边相同的角可以写成2kπ＋9π4(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确.答案C3.(2016·杭州模拟)如图所示，在直角坐标系xOy中，射线OP交单位圆O于点P，若∠AOP＝θ，则点P的坐标是()A.(cosθ，sinθ)B.(－cosθ，sinθ)C.(sinθ，cosθ)D.(－sinθ，cosθ)解析由三角函数的定义知xP＝cosθ，yP＝sinθ，故选A.答案A4.函数y＝2cosx－1的定义域为________.解析∵2cosx－1≥0，∴cosx≥12.由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影所示).∴x∈2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z).答案2kπ－π3，2kπ＋π3(k∈Z)5.(人教A必修4P10A6改编)一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角大小为________弧度.答案π3考点一象限角与三角函数值的符号【例1】(1)若角α是第二象限角，则α2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第一或第三象限角D.第二或第四象限角(2)如果sinα·tanα＜0且sinα＋cosα∈(0，1)，那么角α的终边在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限当k为奇数时，α2是第三象限角.(2)∵sinα·tanα＜0，∴cosα＜0，(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα∈(0，1)，∴sinαcosα＜0，∴sinα＞0，∴α为第二象限.答案(1)C(2)B解析(1)∵α是第二象限角，∴π2＋2kπ＜α＜π＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπ＜α2＜π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；规律方法(1)已知θ所在的象限，求θn或nθ(n∈N*)所在象限的方法是：将θ的范围用不等式(含有k)表示，然后两边同除以n或乘以n，再对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限.(2)象限角的判定有两种方法：一是根据图象，其依据是终边相同的角的思想；二是先将此角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与此角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限来判断此角是第几象限角.(3)由角的终边所在的象限判断三角函数式的符号，需确定各三角函数的符号，然后依据“同号得正，异号得负”求解.【训练1】(1)设θ是第三象限角，且cosθ2＝－cosθ2，则θ2是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)(2016·德州模拟)若tanα＞0，则()A.sin2α＞0B.cosα＞0C.sinα＞0D.cos2α＞0解析(1)由θ是第三象限角，知θ2为第二或第四象限角，∵cosθ2＝－cosθ2，∴cosθ2≤0，综上知θ2为第二象限角.(2)由tanα＞0可得α的终边在第一象限或第三象限，此时sinα与cosα同号，故sin2α＝2sinαcosα＞0，故选A.答案(1)B(2)A考点二三角函数的定义【例2】已知角θ的终边经过点P(－3，m)(m≠0)且sinθ＝24m，试判断角θ所在的象限，并求cosθ和tanθ的值.解由题意得，r＝3＋m2，∴sinθ＝m3＋m2＝24m.∵m≠0，∴m＝±5.故角θ是第二或第三象限角.当m＝5时，r＝22，点P的坐标为(－3，5)，∴cosθ＝xr＝－322＝－64，tanθ＝yx＝5－3＝－153.当m＝－5时，r＝22，点P的坐标为(－3，－5).∴cosθ＝xr＝－322＝－64，tanθ＝yx＝－5－3＝153.综上可知，cosθ＝－64，tanθ＝－153或cosθ＝－64，tanθ＝153.规律方法利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量：角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x，纵坐标y，该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在象限不同).【训练2】(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ等于()A.－45B.－35C.35D.45(2)(2016·商丘一模)已知锐角α的终边上一点P(sin40°，1＋cos40°)，则α等于()A.10°B.20°C.70°D.80°解析(1)取终边上一点(a，2a)，a≠0，根据任意角的三角函数定义，可得cosθ＝±55，故cos2θ＝2cos2θ－1＝－35.(2)由题意可知sin40°＞0，1＋cos40°＞0，点P在第一象限，OP的斜率tanα＝1＋cos40°sin40°＝1＋2cos220°－12sin20°cos20°＝cos20°sin20°＝sin70°cos70°＝tan70°，由α为锐角，可知α为70°.故选C.答案(1)B(2)C考点三扇形弧长、面积公式的应用【例3】已知一扇形的圆心角为α(α0)，所在圆的半径为R.(1)若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；(2)若扇形的周长是一定值C(C0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？解(1)设弧长为l，弓形面积为S弓，则α＝60°＝π3，R＝10，l＝π3×10＝10π3(cm)，S弓＝S扇－S△＝12×10π3×10－12×102×sinπ3＝503π－5032＝50π3－32(cm2).(2)扇形周长C＝2R＋l＝2R＋αR，∴R＝C2＋α，∴S扇＝12α·R2＝12α·C2＋α2＝C2α2·14＋4α＋α2＝C22·14＋α＋4α≤C216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C216.规律方法涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示.弧长和扇形面积公式：l＝|α|R，S＝12|α|R2＝12lR.【训练3】(2016·烟台三中模拟)已知扇形的周长为4cm，当它的半径为______cm和圆心角为________弧度时，扇形面积最大，这个最大面积是________cm2.解析设扇形圆心角为α，半径为r，则2r＋|α|r＝4，∴|α|＝4r－2.∴S扇形＝12|α|·r2＝2r－r2＝－(r－1)2＋1，∴当r＝1时，(S扇形)max＝1，此时|α|＝2.答案121[思想方法]1.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关，而与角α终边上点P的位置无关.若角α已经给出，则无论点P选择在α终边上的什么位置，角α的三角函数值都是确定的.如有可能则取终边与单位圆的交点.其中|OP|＝r一定是正值.2.三角函数值的符号是重点，也是难点，在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.3.在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.[易错防范]1.注意易混概念的区别：象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角.第一类是象限角，第二、第三类是区间角.2.角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用.3.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.