正弦定理精品教案

1．1.1正弦定理一、教材分析本节选自人民教育出版社必修五第一章《解三角形》的第一节内容，三角形是最基本的几何图形，三角中的数量关系是最基本的数量关系，有着极其广泛的应用。它既是初中解直角三角形在高中知识下的直接延拓，也是对高中坐标和圆等相关知识的综合运用，是日常生活和工业生产中解决实际问题的重要工具。二、学情分析对高一学生来说，他们已经学习过平面几何、解直角三角形、三角函数、向量等知识，有了一定的观察、分析和解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用，还存在一定困难，这一阶段的学生也已经有了一定的推理能力，但大部分学生逻辑推理不严密，而且有部分学生自觉性较差，不爱动手，还有部分学生计算能力较弱。三、教学目标知识与技能：引导学生发现正弦定理，探索证明正弦定理的方法；能简单运用正弦定理解三角形，初步解决某些与测量和几何计算有关的实际问题。过程与方法：通过对正弦定理的探究，培养学生发现数学规律的数学方法和思维能力，增强学生间的合作交流能力；通过对定理的证明和应用，培养学生独立解决问题的能力。情感态度与价值观：通过本节学习和运用实践，体会数学的科学价值、应用价值，学习用数学的思维方式解决问题、认识世界,进而领会数学的人文价值、美学价值，不断提高自身的文化修养。教学重点：正弦定理的内容，正弦定理的证明及基本应用。教学难点：正弦定理的探索及证明，已知两边和其中一边的对角，解三角形时，判断解的个数的问题。四、教法根据学生特点，以学生的发展为本，遵照学生的认识规律，教师应该设置一些趣味性的例题、习题，并加以适当引导、激发学生学习热情、提高学生的学习主动性和能动性，带领学生进行知识间的前后联系，让学生多参与分析问题、解决问题，从而体验思维的快乐、成功的喜悦。本节课，我将采用探究、引导式课堂教学模式，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为主线，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和证明”为探究内容，为学生提供自由表达想法的机会，让学生通过个人、小组等活动，在知识形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力和发散性的数学思维。五、学法：指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，采取个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己所学知识应用于对任意三角形性质的探究。让学生在问题情景中学习，观察，类比，思考，探究，概括，动手尝试相结合，体现学生的主体地位，增强学生由特殊到一般的数学思维能力，形成了实事求是的科学态度，增强了锲而不舍的求学精神。六、教学过程（一）创设情境，布疑激趣问题（一）多媒体播放：《嫦娥奔月》的视频。引发思考：明月高悬，仰望星空，我们会有无限遐想，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？我们如何测出地球与月亮的距离呢？问题（二）“工人师傅的一个三角形的模型坏了，只剩下如右图所示的部分，∠A=47°,∠B=53°,AB长为1m,想修好这个零件，但他不知道AC和BC的长度是多少好去截料，你能帮师傅这个忙吗？”【设计意图】激发学生的学习热情和学习兴趣，从而进入今天的学习课题。（二）探寻特例，推广一般，提出、证明猜想1．激发学生思维，从自身熟悉的特例（直角三角形）入手进行研究，发现正弦定理。回忆一下直角三角形的边角关系?ABCcbasinacA两等式间有联系吗？sinsinabcABsin1CsinsinsinabcABC思考:对一般的三角形,这个结论还能成立吗?2.定理的推导sinbcB【设计意图】“兴趣是最好的老师”。我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生的学习兴趣和求知欲，引导学生把实际问题转化为直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出猜测性的结论。培养学生从特殊到一般的思想意识和创造性思维能力。2．那结论对任意三角形都适用吗？指导学生分小组用刻度尺、量角器、计算器等工具对一般三角形进行验证。(1)当是锐角三角形时,结论是否还成立呢?ABCD如图:作AB上的高是CD,根椐三角形的定义,得到.sinsinbcAEBCBC同理,作有sinsinsinabcABCsin,sinCDaBCDbAsinsinaBbA所以sinsinabAB得到BACabcE(2)当是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?ABCBACbcaD【设计意图】让学生体验数学实验，自己进行实验后，体会数学实验中归纳和演绎推理的两个侧面。3．让学生总结实验结果，得出猜想：（1）文字叙述正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等.（2）结构特点（3）方程的观点正弦定理实际上是已知其中三个,求另一个.能否运用向量的方法来证明正弦定理呢?和谐美、对称美.正弦定理:CcBbAasinsinsin在锐角三角形中.的夹角为与，的夹角为与，的夹角为与ABjCBjACjC90A9090由向量加法的三角形法则ABCBACABjCBjACjABjCBACjj得的数量积两边同取与,)90cos()90cos(90cosAABjCCBjACj定义）（根据向量的数量积的CcAaAcCasinsinsinsin即在锐角三角形中，可得垂直于点作过同理,sinsin,BbCcCBjCCcBbAasinsinsin也有jBACabc，于垂直作单位向量证明：过点ACjA在钝角三角形中ABCj的夹角为与的夹角为与则垂直的单位向量作与过点设CBjABjjACAA,90090AC90具体证明过程课下完成!【设计意图】引导学生分析问题、解决问题应多方位、多角度去看、去思考，这样才可以不断的使学生对结论的认识从感性逐步上升到理性。思考是否还有其他的方法来证明正弦定理，布置课后练习。提示：做三角形的外接圆构造直角三角形，或用坐标法来证明。（三）归纳总结，简单应用1．让学生用文字叙述正弦定理，引导学生发现定理具有对称、和谐美，提升对数学美的享受。2．正弦定理的内容，讨论可以解决哪几类有关三角形的问题。（1）已知三角形的任意两边与其中一边的对角；（2）已知三角形的任意两个角与一边。3．运用正弦定理求解本节课引入的实际问题。（四）讲解例题，巩固定理例1.在△ABC中，已知A=32°,B=81.8°,a=42.9cm.解三角形.【分析】例1简单，结果为唯一解。如果已知两角和一边，可利用正弦定理来解三角形。例2.在△ABC中,已知a=20cm,b=28cm,A=40°,解三角形.【分析】例2较难，要使学生明白，利用正弦定理求角时有两种可能。要求学生熟悉掌握已知两边和其中一边的对角时，解三角形的各种情形。如何判断三角形解的个数：（在讲解例题2之前，把该问题交由学生观察、分析、讨论、得出结论。教师再利用几何画板演示，给学生形成更加直观的印象）900A90AabsinAa=bsinAbsinAabababab无解一解两解一解无解一解AC条件图形解的个数总结ACBBCAACDB2B1CADABCD（五）课堂练习，提高巩固1.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.(1)A=45°,C=30°,c=10cm(2)A=60°,B=45°,c=20cm2.在△ABC中,已知下列条件,解三角形.(1)a=20cm,b=11cm,B=30°(2)c=54cm,b=39cm,C=115°学生板演，老师巡视，及时发现问题，并解答。【设计意图】通过学生独立解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验成功的喜悦，变“要我学”为“我要学”的主动学习。（六）小结反思，提高认识今天，同学们主要学到了那些知识和方法？你对此有何体会？1．用向量证明了正弦定理，体现了数形结合的数学思想。2．它表述了三角形的边与对角的正弦值的关系。3．定理证明分别从直角、锐角、钝角出发，运用分类讨论的思想。【设计意图】通过学生自己总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。（七）布置作业：1.预习下一节内容；2.课本P10习题1.1A组第1、2题七、板书设计八、课后反思：赞可夫说“人具有一种欣赏美和创造美的深刻而强烈的需要”。这些美好的形态可以激发学生学习兴趣，集中注意力，增强观察力，诱发丰富联想，提高思维能力，有美产生的愉悦心理体验，是学生追求真知的支柱和动力。在教学中，老师要善于引导，让学生去发现美、体验美，激发美好的情感，产生对美的向往和追求。