L14多属性决策2

L14多属性决策2詹文杰（教授/博导）Office:华中科技大学管理学院611室Tel:[phone]Email:[e-mail]学习目标层次分析法(AHP)；加权和法；加权积法；权重的灵敏度分析。14多属性决策14.1层次分析法(AHP)14.2加权和法14.3加权积法14.4权重的灵敏度分析14.1层次分析法(TheAnalyticalHierarchyProcess,简称AHP)层次分析法（TheAnalyticalHierarchyProcess）是美国运筹学家、匹兹堡大学教授T.L.Saaty在20世纪70年代初提出来的。它是处理多目标、多准则、多要素、多层次的复杂问题，进行决策分析、综合评价的一种简单、实用而有效的方法，是一种定性分析与定量分析相结合的方法。AHP的流程图构造判断矩阵B求B的特征向量求B的最大特征值结束一致性检验建立层次分析结构模型修改判断矩阵没有通过AHP的求解步骤步骤1:构造判断矩阵B步骤2:求权重步骤3:一致性检验步骤4:方案排序例1:买车(AHP法确定权)备选车价格(万元)y1油耗(升/百公里)y2舒适度y3x1402510x215183x325106x435158判断矩阵B的含义：相对于某个指标，各个指标重要性两两比较的判断值。bij表示指标i与指标j重要性的比值。B（按1~9标度给定）i与j重要性比较biji与j同等重要1i比j稍重要3i比j重要5i比j明显重要7i比j绝对重要9相邻两级间2,4,6,8判断矩阵B具有如下性质：(1)bii=1;(2)bij与bji互为倒数;(3)完全一致性，即:bik×bkj=bij,其中，(i,j,k=1,…,n)b11…b1nB=(bij)n×n=……bn1…bnn步骤1:构造判断矩阵B步骤1:构造判断矩阵B价格(y1)油耗(y2)舒适度(y3)价格(y1)129油耗(y2)1/217舒适度(y3)1/91/71步骤2:求权重方法一：特征根法方法二：Saaty近似算法根据矩阵理论，一致性矩阵A的最大特征值等于矩阵A的阶数n。以n个事物为元素的向量W是矩阵B对应于n的特征向量，它表示n个事物在总量和中的权重。也就是说，矩阵A的最大特征值n所对应的特征向量即为被比较事物的权重。11111222221212.....................nnnnnnn方法一：特征根法A具有如下性质：①aii＝1②aij与aji互为倒数③完全一致性，即aik×akj=aij,i,j,k=1,…,n方法一：特征根法基本思想：当判断矩阵B为一致性矩阵时，其特征根问题BW=λW的最大特征值所对应的特征向量归一化后即为排序权重向量。结论：求B的重要性权重就可以归结为求B的最大特征值所对应的特征向量。方法二：Saaty近似算法步骤2:求权重(Saaty近似算法)(1)A中每行元素连乘并开n次方:niniiiaaaw...*21(2)wi*规范化:*...***21nii步骤2:求权重(Saaty近似算法)62.2921*31w价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/7152.17121*32w25.017191*33w规范化:w1*+w2*+w3*=4.39w1=w1*/4.39=2.62/4.39=0.6w2=w2*/4.39=1.52/4.39=0.35w3=w3*/4.39=0.25/4.39=0.05步骤3:一致性检验B与A都表示元素重要性比值，但A是按定义构造，而B是由主观判断获得，因此两者数学性质并不完全一致，表现在A具有完全一致性③，从而其判断矩阵的最大特征根λ=n。而B不具备性质③，λ大于n，从而把A推广到B所得的结论也有一定误差。为使特征根法仍能适用，须对误差进行检验，若误差在允许范围内，则对B所求的特征向量可近似表示权重。这一检验环节称一致性检验（相容性检验）。前述A的最大特征值为n，而判断矩阵B的最大特征值λmaxn，可以认为这是B不满足③而产生的结果，B越是不满足③，λmax-n越大，因此，将这一误差值作为衡量A满足完全一致性的程度。max..1nCIn一致性指标(ConsistencyIndex)max1()1niiiBWnw其中步骤3:一致性检验考虑到n越大，判断矩阵B越难满足一致性，所以应对不同阶数的矩阵给予不同的误差限，为此引入随机一致性指标R.I.（1000个样本得到的平均C.I.值）：n12345678910R.I.000.580.961.121.241.321.411.451.49λ’max//3.1164.275.456.627.798.9910.1611.34(1)一致性比率(ConsistencyRatio):C.R.=C.I./R.I.若C.R.0.1，判断矩阵B具有满意一致性;若C.R.≥0.1，判断矩阵B不具有满意一致性，需要重新构造，直到满意为止。步骤3:一致性检验(2)最大特征根检验：λmaxλ’maxmax3.00483..0.0024,12nCInmax0.2300.6480.691.94800.367.1()3.00483122..0.0024..0.1..0.58CICRRIAB1B2B3B＝B111/32B2315B31/21/5111/32BW=3151/21/510.2300.6480.1220.69=1.9480.367例2：对下面判断矩阵B进行一致性检验。故此判断矩阵具有满意一致性。max1()1niiiBWnw步骤3:一致性检验(Saaty近似算法)njjjjaaaS...11(1)A中每列元素求和:(2)计算λmax的值nnSwSwSw...2211max(3)与临界值λ’max比较:n12345678910R.I.000.580.961.121.241.321.411.451.49λ’max//3.1164.275.456.627.798.9910.1611.34步骤3:一致性检验(Saaty近似算法)价格油耗舒适度价格129油耗1/217舒适度1/91/71S1=1+1/2+1/9=1.61S2=2+1+1/7=3.14S3=9+7+1=17W1=0.6W2=0.35W3=0.05λmax=∑(WixSi)=0.61.61+0.353.14+0.0517=2.91503.116步骤4:方案排序备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)x1402510x215183x325106x435158步骤4:方案排序(属性值0-1处理)备选车价格(万元)y1(w1=0.6)油耗(升/百公里)y2(w2=0.35)舒适度y3(w3=0.05)综合评价值(Ci)x1001.00000.0500x21.00.466700.7633x30.61.00000.42860.7314x40.20.66670.71430.3890方案排序：x2x3x4x1例3(9.3):设某高校拟从三个候选人中选一人担任中层领导，候选人的优劣用六个属性去衡量，这六个属性是：①健康状况；②业务知识；③书面表达能力；④口才；⑤道德水平；和⑥工作作风。关于这六个属性的重要性，有关部门设定的属性重要性矩阵B为：①②③④⑤⑥①111411/2②112411/2③11/21531/2④1/41/41/511/31/3⑤111/3311⑥222311权重的本征向量属性值的AHP法三个候选人分别记作X、Y、Z；设在各属性下比较的结果（称为比较矩阵）如下。属性的最大本征值属性值的调整调整前调整后结果例4：某省轻工部门有一笔资金欲投资生产轻工产品。现拟定三个投资方案:(1)生产某种家用电器；(2)生产某种紧俏产品；(3)生产传统产品。评价和选择投资方案的准则是：风险程度、资金利润率和转产难易程度。经初步分析认为：若投资用来生产家用电器，其优点是资金利润率高，但因竞争厂家多，故所冒风险也大，且今后若要转产其他产品也较困难。若资金用来生产传统产品，情况正好相反，即其优点是所冒风险小，今后若要转产也较方便，但资金利润却很低。生产紧俏产品的投资方案，其优缺点则介于上述两种方案之间。因此，对上述三种投资方案不能立即作出评价与决策。1.建立层次分析结构模型AB1B2B3Wi0C.R.=C.I./R.I.B111/320.230B23150.6480.004/0.58=0.007＜0.10B31/21/510.122选择合理投资方向A风险小B1家用电器C1利润高B2易转产B3紧俏产品C2传统产品C32.构造判断矩阵，进行层次单排序及一致性检验。B1C1C2C3Wi0C.R.C111/31/50.105C2311/30.2580.022/0.58=0.038＜0.10C35310.637B2C1C2C3Wi0C.R.C11270.592C21/2150.3330.008/0.58=0.014＜0.10C31/71/510.075B3C1C2C3Wi0C.R.C111/31/70.081C2311/50.1880.035/0.58=0.06＜0.10C37510.731属性值的层次分析法：0.230×0.105+0.648×0.592+0.122×0.0810.230×0.022+0.648×0.008+0.122×0.035层次B要素B层总排序值单排序值层次C要素B1B2B3综合重要度0.2300.6480.122C1C2C30.1050.2580.6370.5920.3330.0750.0810.1880.7310.4180.2980.284C.I.0.0220.0080.0350.015R.I.0.580.580.580.583.层次总排序及一致性检验。C.R.=C.I/R.I.=0.015/0.58=0.0250.1改进的1~9标度--Ax标度Ax标度赋值因素i与j相比较的重要程度等级901同等重要91/81.3161稍微重要92/81.7321重要94/83明显重要96/85.1962强烈重要98/89极端重要14.2加权和法采用加权和法的关键在于确定指标体系并设定各最低层指标的权系数：有了指标体系就可以设法利用统计数据或专家打分给出属性值表；有了权系数，具体的计算和排序就十分简单了。正因为此，以往的各种实际评估过程中总要把相当大的精力和时间用在确定指标体系和设定权上。njijjizwC114.2加权和法一般加权和法求解步骤:（1）属性值规范化：得Zij(i=1,…,m;j=1,…,n);（2）确定各指标的权重系数：Wj(j=1,…,n);（3）求各方案的综合值：根据方案综合值的大小对方案排序。),...,1(;1mizwCnjijji例2:用加权和法求解研究生院排序问题。指标方案人均专著C1（本/人）生师比C2科研经费C3（万元/年）逾期毕业率C4（%）A10.1550004.7A20.2740002.2A30.61012603.0A40.3430003.9A52.822841.2例2:用加权和法求解研究生院排序问题。（1）进行数据预处理；（2）设决策人设定的各属性权重分别为:0.2,0.3,0.4,0.1；（3）计算各方案的综合值，见下表：方案集X中各方案的排序为：35421xxxxx解：指标方案人均专著z1生师比z2科研经费z3逾期毕业率z4方案综合值Cix10.03571.01.00.00.7074x20.07140.83330.80.53190.6375x30