九年级数学北师大版课件

九年级数学（上册）第一章证明(二)1.你能证明它们吗等边三角形的判定阳泉市义井中学高铁牛驶向胜利的彼岸八仙过海一个三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.开启智慧ACB600ACB600ACB600你认为有一个角是600的等腰三角形是等边三角形吗？你能证明你的结论吗？一个等腰三角形满足什么条件时便可成为等边三角形？驶向胜利的彼岸命题的证明我能行1定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.证明:∵AB=AC,∠B=600(已知),∴∠C=∠B=600.(等边对等角).∴∠A=600(三角形内角和定理).∴∠A=∠B（等式性质）.∴AC=CB（等角对等边）.∴AB=BC=AC（等式性质）.∴△ABC是等边三角形(等边三角形意义).已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600.求证:△ABC是等边三角形.ACB600几何的三种语言回顾反思1′驶向胜利的彼岸定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.在△ABC中,∵AB=AC,∠B=600(已知).∴△ABC是等边三角形(有一个角是600的等腰三角形是等边三角形).这又是一个判定等边三角形的根据之一.ACB600驶向胜利的彼岸命题的证明我能行2定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.证明:∵∠A=∠B(已知),∴BC=AC,(等角对等边).又∵∠B=∠C(已知),∴AB=AC,(等角对等边).∴AB=BC=AC(等式性质).∴△ABC是等边三角形(等边三角形意义).已知:如图,在△ABC中,∠A=∠B=∠C.求证:△ABC是等边三角形.ACB几何的三种语言回顾反思2′驶向胜利的彼岸定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.在△ABC中,∵∠A=∠B=∠C(已知),∴△ABC是等边三角形(三个角都相等的三角形是等边三角形).这又是一个判定靠边三角形的根据之一.ACB600600600驶向胜利的彼岸命题的猜想我能行31操作:用两个含有300角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能证明你的结论吗？300300300300结论:在直角三角形中,300角所对的直角边等于斜边的一半.能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.由此你想到，在直角三角形中,300角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？300300驶向胜利的彼岸命题的证明我能行4定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知),∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).又∵∠ACB=900,(已知),∴∠ACD=900(平角意义).在△ABC与△ADC中∵BC=DC（作图）,∠ACB=∠ACD（已证）,AC=AC（公共边）,∴△ABC≌△ADC（SAS）.∴△ABD是等边三角形(有一个角600是的等腰三角形是等边三角形)∴BC=BD=AB(等式性质).已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,∠A=300.求证:BC=AB.2121300ABC证明:如图,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.D21几何的三种语言回顾反思3′驶向胜利的彼岸这又是一个判定两条线段成倍分关系的根据之一.定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300.∴BC=AB.(在直角三角形中,300角所对的直角边等于斜边的一半).21ABC300学无止境例题欣赏1这里有一个化归的数学思想——即把问题转化为一个纯数学问题.′驶向胜利的彼岸分析:如图,在△ABC中AB=AC=2a,∠B=∠ACB=150,CD⊥AB于D.求:CD=?解:∵∠B=∠ACB=150(已知),∴∠DAC=∠B+∠ACB=150+150=300(三角形的一个外角,等于和不相邻的两内角的和).∴CD=AC=×2a=a(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).ACBD1501502121例2.已知:如图,等腰三角形的底角为150,腰长为2a.求:腰上的高.含300角的直角三角形隋堂练习2′驶向胜利的彼岸1.已知:如图,在△ABC中,∠ACB＝900,∠A=300,CD⊥AB于D.求证:BD=AB/4.分析:因为∠A=300,所以BC=AB/2.要证明BD=AB/4,只要能使BD=BC/2即可,此时若∠BCD=300就可以了.而由“双垂直三角形”即可求得.你能规范地写出证明过程吗？你的证题能力有所提高吗?ACBD三角形,认识我吗隋堂练习32.已知:如图,点P,Q在BC上,且BP=AP=AQ=QC=a,∠PAQ=600,AH⊥BC于H.(1)求证:AB=AC;(2)试在图中标出各个角的度数;(3)求出图中各线段的长度,并说明理由.′驶向胜利的彼岸胜利属于敢想敢干的人！你能与同学们交流探索证题的全过程吗?ABCPQH反过来怎么样——逆向思维命题:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.是真命题吗?如果是,请你证明它.驶向胜利的彼岸心动不如行动300ABC已知:如图,在△ABC中,∠ACB=900,BC=AB/2.求证:∠A=300.反过来怎么样——逆向思维在△ABD中,∵∠ACB=900(已知),∴AB=AD(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等).又∵BC=AB/2(已知),BC=BD/2(作图),∴AB=BD(等量代换).∴AB=BD=AD(等式性质）.∴△ABD是等边三角形(等边三角形意义).∴∠B=600(等边三角形意义).∴∠A=300(直角三角形两锐角互余).驶向胜利的彼岸心动不如行动300ABCD证明:如图,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.几何的三种语言回顾反思4′驶向胜利的彼岸这是一个通过线段之间的关系来判定一个角的具体度数(300)的根据之一.定理:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.在△ABC中∵∠ACB=900,BC=AB/2(已知),∴∠A=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).ABC300成功者的摇篮试一试P1421.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?DACBEFDACBEF(1)(2)GA成功者的摇篮试一试P1421.如图(1):四边形ABCD是一张正方形纸片,E,F分别是AB,CD的中点,沿着过点D的折痕将A角翻折,使得A落在EF上(如图(2)中A1),折痕交AE于点G,那么∠ADG等于多少度?你能证明你的结论吗?DACBEF(2)GA1答:∠ADG等于150.证明:∵DF=DC/2(中点意义),A1D=AD=CD(正方形各边都相等),∴DF=A1D/2(等量代换).∴∠DA1F=300(在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300).又∵AD∥EF(中点意义),∴∠A1DA=∠DA1F=300(两直线平行,内错角相等).∴∠ADG=∠A1DA/2=150(角平分线意义).●●300回味无穷等边三角形的判定:定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.定理:三个角都相等的三角形是等边三角形.特殊的直角三角形的性质:定理:在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半.定理:在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么它所对的锐角等于300.老师提醒:反证法还认识你吗?小结拓展知识的升华独立作业P9习题1.31,2,3题.祝你成功！习题1.3独立作业1驶向胜利的彼岸1.已知:如图,△ABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证:△ADE是等边三角形.证明1:∵△ABC等边三角形(已知),∴∠A＝∠B=∠A＝600(已知),又∵DE∥BC(已知),∴∠1=∠B=600,∠2=∠C=600(两直线平行,同位角相等).∴∠A=∠1=∠2(等量代换).∴△ADE是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).BECDAF12习题1.3独立作业2驶向胜利的彼岸2.房梁的一部分如图所示,其中BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m,点D是AB的中点,DE⊥AC,垂足为E.求:BC,DE的长.解:∵BC⊥AC,∠A=300,AB=7.4m(已知),∴BC=AB/2=7.4÷2＝3.7(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半),又∵AD=AB/2=7.4÷2＝3.7(中点意义),∴DE=AD/2=3.7÷2＝1.85(在直角三角形中,如果有一个锐角等于300,那么它所对的直角边等于斜边的一半).答:BC=3.7m,DE=1.85m.老师提示:对于含300角的直角三角形边之间,角之间的关系要作为常识去认可.BECDA300习题1.3独立作业2驶向胜利的彼岸1.已知:如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的△DEF,△DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形.证明(1):∵△ABC是等边三角形(已知),又∵EF∥BC,DE∥AC(已知),∴∠E＝600(三角形内角和定理).同理,∠D=600,∠F＝600.BECDAF∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600).4213∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等).5∴∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换).∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).习题1.3独立作业2驶向胜利的彼岸1.已知:如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的△DEF,△DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也都是等边三角形.请同学们来证明(2)中的结论.BECDAF42135习题1.3独立作业2驶向胜利的彼岸1.已知:如图,△ABC是等边三角形,过它的三个顶点分别作对边的平行线,得到一个新的△DEF,△DEF是等边三角形吗?你还能找到其它的等边三角形吗?请证明你的结论.答:(1)△DEF是等边三角形;(2)△ABE,△ACF,△BCD也是等边三角形.证明(1):∵△ABC是等边三角形(已知),又∵EF∥BC,DE∥AC(已知),∴∠E＝600(三角形内角和定理).同理,∠D=600,∠F＝600.BECDAF∴∠1＝∠2=∠3＝600(等边三角形的三个角都相等并且每个角都等于600).4213∴∠4＝∠2＝600,∠5＝∠1＝600(两直线平行,内错角相等).5∴∠D＝∠E=∠F＝600(等量代换).∴△DEF是等边三角形(三个角相等的三角形是等边三角形).结束寄语•严格性之于数学家,犹如道德之于人.•证明的规范性在于：条理清晰，因果相应,言必有据.这是初学证明者谨记和遵循的原则.下课了!