九年级数学培优讲义与测试

第1/97页第一讲一次函数和反比例函数知识点、重点、难点函数(0)ykxbk称为一次函数，其函数图像是一条直线。若0b时，则称函数ykx为正比例函数，故正比例函数是一次函数的特殊情况。当0k时，函数ykxb是单调递增函数，即函数值y随x增大（减小）而增大（减小）；当0k，ykxb是递减函数，即函数值y随x增大（减小）而减小（增大）。函数(0)kykx称为反比例函数，其函数图像是双曲线。当0k且0x时，函数值y随x增大（减小）而减小（增大）；当0k且0x，函数值y随x增大（减小）而减小（增大），也就是说：当0k时，反比例函数kyx分别在第一或第三象限内是单调递减函数；当0k时，函数kyx分别在第二或第四象限内是单调递增函数。若111222(0),(0).ykxbkykxbk当12kk时，12bb时，两面直线平行。当12kk时，12bb时，两面直线重合。当12kk时，两直线相交。当121kk时，两直线互相垂直。求一次函数、反比例函数解析式，关键是要待定解析式中的未知数的系数；其次，在解题过程中要重视数形相结合。例题精讲例1：在直角坐标平面上有点(1,2)A、(4,2)B、(1,)Cc，求c为何值时ACBC取最小值。解显然，当点C在线段AB内时，ACBC最短。设直线AB方程为ykxb，代入(1,2)A、(4,2)B得242,kbkb解得456,5kb所以线段AB为46(14),55yxx代入(1,)Cc，得4621.555c例2：求证：一次函数211022kkyxkk的图像对一切有意义的k恒过一定点，并求这个定点。解由一次函数得(2)(21)(10),kykxk整理得(21)2100xykxy。因为等式对一切有意义的k成立，所以得第2/97页2102100,xyxy解得12519,5xy当125x，195y时，一次函数解析式变为恒等式，所以函数图像过定点1219,55.例3：已知m、n、c为常数，220mn，并且(1)(1),mfxnfxcx求()fx。解用1x代换原方程中的x，得(1)()(1).mfxnfxcx○1用1x代换原方程中的x，得()()(1).mfxnfxcx○2m○2n○1得22()().mfxnfxmcxncxmcnc因为220mn，所以22()cmnxmnfxmn，所以()ccfxxmnmn.例4:如图，设111()(1),fxmxxmxmmm因为当1m时，10,()mfxm为递增函数，()fx在0,1上的最小值为11(1).1.fmmmm所以1(0)(1).()(1)(01).fmgmmfmm因此1()gmm在1,上为递减函数；()gmm在0,1上为递增函数，故()gm的最大值为(1)1.g例5：画函数242xyx的图像。解0x，0x，240x，2,x将整个数轴分为四段讨论（见图）并定义域为2x的一切实数。2,2,2,2,xxyxx2;20;022xxxx例6：一次函数(1)ykxkk图像交x轴于A点，将此直线沿直线yx翻折交y轴于B点，这两条直线相交于P点，且四边形OAPB的面积为3，求k的值。第3/97页解设点P坐标为'(,),tt又OAP与OBP是翻折而成，所以OAPS面积是四边形OAPB的一半等于32。设0y代入,ykxk得1,x点A为(1,0).由1131,222OAPSOAPCt得3,t即点(3,3).p因点33,kk3.2kP在ykxk上，代入得A卷一、填空题1.设21(2)kykx是反比例函数，则k；其图像经过第象限时；当0x时，y随x增大而。2.两个一次函数312,yx33,2yx的图像与y轴所围成的三角形面积是。3.等腰三角形一个底角的度数记作y，顶角的度数记作x，将y表示成x的函数是，其中x的取值范围是。4.如果函数12ay的图像与直线32yx平行，则a。5.已知四条直线3ymx、1y、3y、1x所围成的车边形的面积是12，则m。6.一次函数ykxb的图像经过点(1,2)p且与x轴交于点A，与y轴交于点B。若5sin,5PAO则线段OB的长为。7.已知一次函数ykxb中，若x的值每增加4，y的值也相应增加8，则k。8.如果把函数2yx的图像向下平移两个单位，再向左平移一个单位，那么得到的是的图像。9.已知一次函数24(31)(21)3,nynnx则n的值为。10.若直线(1)5ymxm不经过第二象限，则m的取值范围是。二、解答题11.求证：不论k为何值，一次函数(21)(3)(11)0kxkyk的图像恒过一定点。12.某商人将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可以销售100件，现在他想采用提高售出价的办法来增加利润．已知这种商品每提高价1元（每件），日销售量就要减少10件，那么他要使每天获利最大．应把售出价定为多少元？第4/97页B卷一、填空题1.函数1(1)(0,01)yaxxaxa的最小值为。2.如图，正比例函数yx和(0)yaxa的图像与反比例函数(0)kykx的图像分别交于A点和C点。若直角三角形AOB和直角三角形COD的面积分别为1S和2S，则1S与2S的大小关系是。3.点(4,0)A、(2,0)B是平面直角坐标系中的两定点，C是122yx图像上的动点，则满足上述条件的直角三角形ABC或画出个。4.直线0(0,0)axbycabac经过象限。5.一个三角形以(0,0)A、(1,1)B及(9,1)C为三个顶点，一条与x轴相垂直的直线将该三角形划分成面积相等的两部分，则此直线的解析式为。6.已知函数3yx及4,yx则以这两个函数图像的交点和坐标原点为顶点的三角形的面积为。7.双曲线kyx与一次函数4,ykx的图像有两个不同的交点，则k的取值范围是。8.已知反比例函数(0)kykx，当0x时y随x的增大而增大，则一次函数142ykxk的图像经过象限。9.已知实数x、y满足43120,xy则22axy的取值范围是。10.一次函数21544myx与233myx的图像在第四象限内交于一点，则整数m。二、解答题11.设直线2(1)yx与直线2(5)yx相交于点A，它们与x轴的交点为,BC，求ABC中BC边上的中线所在的直线方程。12.已知函数()(2)23fxmxm，(1)求证：无论m取何实数，此函数图像恒过某一定点；(2)当x在12x内变化时，y在45y内，求实数m的值。13.若对于满足02x的一切实数x，函数(2)37ykxk的值恒大于0，求实数k的取值范围。14．A、B两厂生产某商品的产量分别为60吨与100吨，供应三个商店。甲店需45吨，乙店需75吨，丙店需40吨。从A厂到三商店每吨运费分别为10元、5元、6元，从B厂到三商第5/97页店每吨运费分别为4元、8元、15元，如何分配使总运费最省？C卷一、填空题1．函数3yxb与2yax的图像关于直线yb对称则a，b。2．三个一次函数11ykxb、22ykxb、33ykxb在同一直角坐标系中的图像如图所示，分别为直线1l、2l、3l，则1k、2k、3k的大小关系是。3.已知函数(2)31,yaxa当自变量x的取值范围为35x时，有y既能取到大于5的值，又能取到小于3的值，则实数a的取值范围是。4．已知abc，则函数yxaxbxc的最小值是。5．一次函数()yfx满足()87fffxx，则()fx。6．已知0abc并且,abbccapcab则一次函数(1)yPx的图像一定通过象限。7.已知一次函数yaxb(a为整数）的图像经过点(98，19)，它与x轴的交点为(p，0)，与y轴的交点为(0，q).若P为质数，q为正整数，则适合上述条件的一次函数的个数是个。8.把函数1yx的图像沿x轴向平移个单位，再沿y轴向平移个单位，得到12xyx的图像。9.方程224620xyxy表示成两个一次函数是。10.一次函数yaxb的图像经过点(10，13），它在x轴上的截距是一个质数，在y轴上的截距是一个正整数，则这样的函数有个。二、解答题11.如图，设直线(1)10kxky与坐标轴所构成的直角三角形的面积是kS，求1231999.SSSS12.在直角坐标系中有一个矩形ABCD，点B与坐标原点重合，BA在y轴的正半轴上，BC在x轴的正半轴上，点P在CD边上，直线3ykx经过点P，且与x轴交于点Q。若10BABC，24,BABCADP的面积是PQC的5倍，求直线的解析式。第6/97页13.在相距为L的两个车库里，分别有1m、2m辆汽车，拟在A、B两个车库之间设修理站以检修车辆。若每辆车的运费与距离成正比例，要使全部汽车都检修一次所需要的总运费最小，修理站应设在何处？14.已知直线1:4Lyx和点(6,4),P，在直线1L上求一点Q，使过PQ的直线与直线1L以及x轴在第一象限内围成的三角形的面积最小。第二讲一元二次方程的解法知识点、重点、难点例题精讲第7/97页例1：解方程2(21)32120.xx例2：解方程22140.xx例3：解关于x的方程2()2()0.abcxaxabc例4：已知首项系数不相等的两个关于x的二次方程222(1)(2)(2)0axaxaa222(1)(2)(2)0bxbxbb及（,ab是正整数）有一个公共根，求2bbaabab的值。第8/97页例5：若二次方程2220xpxq有实根，其中p、q为奇数。证明：此方程的根是无理数。例6：解关于x的方程：2222(1)2()0.xtxtxtt习题A卷一、填空题1.设方程22(1)(1)30mxmx，当m时，是一元一次方程；当m时，是一元二次方程。2.方程33(1)(1)2xx，用方法较简捷，其根是。3.用公式法解23412xx，其根是。4.将方程22730xx化成()()0axmxn的形式，可得。5.若1x是方程20axbxc的一个根，则abc。6.若方程22(1)230mxxmm有一个根为0，则m。7.关于x的方程222440cxbxb，则x。8.若a是方程20xbxa的根，则ab。第9/97页9.已知473x，则2421xxx的值是。10.如果对于任意两个实数a、b，定义*2abab，解方程：2*(2)2*10xx，可得x。二、解答题11.用公式法解2(1)2(2)0.mxmxm12.若方程210xbx与方程20xxb至少有一个相同的实数根，求实数b的值。B卷一、填空题1.解方程2573115840xx，则x。2.解方程210xx，则x。3.当m时，方程2(21)()220xcmx有一个根是1。4.已知13xx，则432316317xxxx。5.已知b、c为方程20xbxc的两个根，且0,0cb，则b，c。6.若28103是方程20xaxb的一个根，其中a、b为有理数，则ab。7.若1、112是一元二次方程220axbx的两个根，则a