第21章一元二次方程(培优专题)

新乡市第一中学第21章一元二次方程新乡市一中东校区耿翠玲第1题给出一种运算：对于函数y=xn,规定y′=nxn−1.例如：若函数y=x4,则有y′=4x3.已知函数y=x3,则方程y′=12的解是______.根据题意得3x2=12,即x2=4,解得：x1=2,x2=−2.第2题a,b,c为常数,且(a−c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为0∵(a−c)2=a2+c2−2aca2+c2,∴ac0.在方程ax2+bx+c=0中,△=b2−4ac⩾−4ac0,∴方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.故选B.第3题关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2,x2=1(a,m,b均为常数,a≠0),则方程a(x+m+3)2+b=0的解是_______.∵方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2,x2=1,∴方程a(x+m+3)2+b=0中x+3=−2或x+3=1,解得：x=−5或x=−2.第4题已知关于x的方程x2−2(k−1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围；(2)若|x1+x2|=x1x2−1,求k的值.(1)△=b2−4ac=4(k−1)2−4k2=4k2−8k+4−4k2=−8k+4⩾0,解得,k⩽1/2；(2)依据题意可得,x1+x2=2(k−1),x1·x2=k2,由(1)可知k⩽1/2,∴2(k−1)0,x1+x20,∴−x1−x2=−(x1+x2)=x1·x2−1,∴−2(k−1)=k2−1,解得k1=1(舍去),k2=−3,∴k的值是−3.第5题已知关于x的一元二次方程x2+2x+a−1=0有两根为x1和x2,且x12−x1x2=0,则a的值是()A.a=1B.a=1或a=−2C.a=2D.a=1或a=2解x21−x1x2=0,得x1=0,或x1=x2,①把x1=0代入已知方程,得a−1=0,解得:a=1；②当x1=x2时,△=4−4(a−1)=0,即8−4a=0,解得:a=2.综上所述:a=1或a=2.故选:D.第6题已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A.0＜α＜1B.1＜α＜1.5C.1.5＜α＜2D.2＜α＜3选：C．第7题若一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,请写出一个符合题意的一元二次方程_______________.∵一个一元二次方程的两个根分别是Rt△ABC的两条直角边长,且S△ABC=3,∴一元二次方程的两个根的乘积为：3×2=6,∴此方程可以为：x2−5x+6=0,故答案为：x2−5x+6=0(答案不唯一).第8题设m,n分别为一元二次方程x2+2x−2018=0的两个实数根,则m2+3m+n=_________.∵m为一元二次方程x2+2x−2018=0的实数根,∴m2+2m−2018=0,即m2+2m=2018,∵m,n分别为一元二次方程x2+2x−2018=0的两个实数根,∴m+n=−2,∴m2+3m+n=m2+2m+m+n=2018−2=2016.