第二章“平面向量”教材分析及教学建议

天津市第二十中学高中数学必修四1第二章《平面向量》教材分析天津市第二十中学高一数学备课组一、地位与作用向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点。所以向量的学习有助于学生体会数学与实际生活的联系，认识数学内容的内在联系，发展运算能力和推理能力。二、内容与课程学习目标本章主要包括平面向量的实际背景及基本概念、平面向量的线性运算、平面向量的基本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容．通过本章学习，应引导学生：1．通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示．2．通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义．3．通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义．4．了解向量的线性运算性质及其几何意义．5．了解平面向量的基本定理及其意义．6．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．7．会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算．8．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．9．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义．10．体会平面向量的数量积与向量投影的关系．11．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．12．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．13．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具，发展运算能力和解决实际问题的能力．天津市第二十中学高中数学必修四2三、教学内容与课时安排本章共安排了5个小节及2个选学内容，大约需要12个课时，具体分配如下（仅供参考）：2．1平面向量的实际背景及基本概念2课时2．2向量的线性运算2课时2．3平面向量的基本定理及坐标表示2课时2．4平面向量的数量积2课时2．5平面向量应用举例2课时小结2课时本章知识结构如下：1．第一节包括向量的物理背景与概念、向量的几何表示、相等向量与共线向量．天津市第二十中学高中数学必修四3教科书首先从位移、力等物理量出发，抽象出既有大小、又有方向的量——向量，并说明向量与数量的区别．然后介绍了向量的几何表示、有向线向量的长度（模）、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量、相等向量、相反向量等基本概念．例1.给出下列命题：①ba，则a一定不与b共线；②若DCAB，则A、B、C、D四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD中，一定有DCAB；④若向量a与任意向量b平行，则0a；⑤若ba，cb，则ca.其中所有正确命题的序号为.例2.根据下列各小题的条件，分别判断四边形ABCD的形状.（1）DCAB；（2）DCAB且BDAC（3）DCAB且ADAB.2．第二节有向量加法运算及其几何意义、向量减法运算及其几何意义、向量数乘运算及其几何意义等内容．教科书先讲了向量的加法、加法的几何意义、加法运算律；再用相反向量与向量的加法定义向量的减法，把向量的减法与加法统一起来，并给出向量减法的几何意义；然后通过向量的加法引入了实数与向量的积的向量数乘运算的定义，给出了数乘运算的运算律；最后介绍了两个向量共线的条件和向量线性运算的运算法则．天津市第二十中学高中数学必修四4FEDCBA例3.化简：（1）BCCDDB;（2）FABCCDDFAB.（3）BDACCDAB.例4.如图，已知任意四边形ABCD，E为AD的中点，F为BC的中点，求证：DCABEF2.例5.如图，已知△OBC中，点A是BC边的中点，OBOD32，OA与DC交于点E，设aOA，bOB；（1）用a和b表示向量OC、DC.（2）若OAOE，求实数λ的值.DCBAOE天津市第二十中学高中数学必修四5dcNMDCBA3．第三节包括平面向量基本定理、平面向量的正交分解及坐标表示、平面向量的坐标运算、平面向量共线的坐标表示．平面向量基本定理是平面向量正交分解及坐标表示的基础．教科书首先通过一个具体的例子给出平面向量基本定理，同时介绍了基底、夹角、两个向量垂直的概念；然后在平面向量基本定理的基础上，给出了平面向量的正交分解及坐标表示，向量加、减、数乘的坐标运算和向量坐标的概念，最后给出平面向量共线的坐标表示．坐标表示使平面中的向量与它的坐标建立起了一一对应的关系，这为通过“数”的运算处理“形”的问题搭起了桥梁．例6.如图，在□ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知cAM，dAN，试以c，d为基底表示AB和AD.例7.向量(,12)OAk，(4,5)OB，(10,)OCk，当k为何值时，A、B、C三点共线.例8.（1）求点A(3,5)关于坐标原点O的对称点A的坐标.（2）求点A(3,5)关于点P(1,2)的对称点A的坐标.4．第四节包括平面向量数量积的物理背景及其含义、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．教科书从学生熟知的功的概念出发，引出了平面向量数量积的概念及其几何意义，接着介绍了向量数量积的性质、运算律及坐标表示．向量数量积把向量的长度和三角函数联系了起来，这样为解决有关的几何问题提供了方便，特别能有效地解决线段的垂直问题．天津市第二十中学高中数学必修四6例9.已知a、b、c是三个非零向量，则下列问题中真命题的个数为（）①ababa∥b；②a、b反向baba；③bababa；④cbcaba.A.1B.2C.3D.4例10.已知5,4ba，当a与b分别满足以下条件时，求a与b的数量积（1）a∥b；（2）ba；（3）a与b的夹角为30º。例11.已知a、b都是非零向量，且ba3与ba57垂直，ba4与ba27垂直，求ba,.例12.平面内有向量7,1OA，1,5OB，1,2OP，点M为直线OP上的一个动点.（1）当MBMA取最小值时，求OM的坐标；（2）当点M满足（Ⅰ）的条件和结论时，求cosAMB的值.天津市第二十中学高中数学必修四7例13.已知向量))42tan(,2cos2(xxa，))42tan(),42sin(2(xxb，令baxf)(.求函数()fx的最大值，最小正周期，并写出()fx在[0，π]上的单调区间.例14.设向量)sin,(cosxxm，)cos22,sin22(xxn.若nmxf)(.（1）求()fx的单调递增区间；（2）若3(,)2πθπ，且()1fθ，求5sin()12πθ的值.5．第五节包括平面几何中的向量方法、向量在物理中的应用举例．由于向量来源于物理，并且兼具“数”和“形”的特点，所以它在物理和几何中具有广泛的应用．本节通过几个具体的例子说明了它的应用．6．为了拓展学生的知识面，使学生了解向量及向量符号的由来，向量的运算（运算律）与几何图形形式的关系，本章安排了两个“阅读与思考”：向量几向量符号的由来，向量的运算（运算律）与图形性质．四、教学建议1.引导学生用数学模型的观点看待向量内容在向量概念的教学中，要利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情景，例如物理中的力、速度、加速度，力的合成与分解，物体受力做功等，通过这些实例是学生了解向量的物理背景、几何背景，引导学生认识向量作为描述现实问题的数学模型的作用．同时还要通过解决一些实际问题或几何问题，使学生学会用向量这一数学模型处理问题的基本方法．天津市第二十中学高中数学必修四82.加强向量与相关知识的联系性，使学生明确研究向量的基本思路向量既是代数的对象，又是几何的对象．作为代数对象，向量可以运算，而且正是因为有了运算，向量的威力才得到充分的发挥；作为几何对象，向量可以刻画几何元素（点、线、面），利用向量的方向可以与三角函数发生联系，通过向量运算还可以描述几何元素之间的关系（例如直线的垂直、平行等），另外，利用向量的长度可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题．教学中，教师应当充分关注到向量的这些特点，引导学生在代数、几何和三角函数的联系中学习本章知识．值得特别注意的是，在本章的教学之初，应引导学生通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路，在学完本章内容后，还要引导学生反思，重新概括研究思路，这样可以使学生体会数学中研究问题的思想方法，提升学生的数学思维水平．3．引导学生认真体会向量法的思想实质向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合，因而向量方法是几何研究的一个有效的强有力工具．教学中应当通过实例，引导学生认真体会通过建立向量及其运算（运算律）与几何图形之间的关系，利用向量的代数运算研究几何问题的基本思想，掌握向量法的“三步曲”：（1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；（3）把运算结果“翻译”成几何关系．其中，由于向量的数量积集距离和角这两个刻画几何元素（点、线、面）之间度量关系的基本量于一身，因而它在解决几何问题中的作用更大，应当通过适当的问题引起学生的注意．五、备选练习1.下列说法中，正确的个数有()①零向量可以与任何向量平行，也可以与任何向量垂直；②若向量e的模等于1，则e为单位向量；③所有的单位向量都相等；A．0个B．1个C．2个D．3个2.设O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量OA相等的向量的个数有()A．4个B．3个C．2个D．1个天津市第二十中学高中数学必修四9BCA3.已知2,1ab，则ab的取值范围是()A．[1,2]B．[1,3]C．[1,2]D．[1,3]4.下列等式错误的是()A．0aaB．aa0C．0a0D．00a5.已知向量(1,2),(2,3),(3,4)abc，则用,ab表示c为()A．cabB．2cabC．2cabD．2cab6.已知向量(1,2)a，(,1)xb，2uab，2vab，且uv，则x()A．1B．1C．12D．127.设,,abc为非零向量，下列等恒成立的个数有()①()()abccab②[()()]0bcacabc③22()()ababab④3322()()ababaabbA．1个B．2个C．3个D．4个8.如图，在等腰ABC△中，AB=AC=1，30B，则向量AB在向量AC上的投影等于()A．1B．1C．12D．129.在等腰RtABC△中，90A，(1,2),(,)ABACmn，则BC()A．(0,4)或(2,0)B．(0,4)或(2,0)C．(0,4)D．(2,0)10.如图,向量ab等于.11.已知向量a，b不共线，且kab与kab共线，则实数k.12.若(1,3),(3,5)abab，则a；b.2e1eba天津市第二十中学高中数学必修四10ABCDNMABCDEFMN13.已知在梯形ABCD中，AB∥DC，且A、B、D三点的坐标分别为(0,0)、(2,0)、(1,1)，则顶点C的横坐标的取值范围是.14.若向量,ab满足2,1ab，且()1aab，则向量,ab的夹角的大小为.15.设向量,,abc满足abc0，()abc，ab，1a，则c.16.点(2,0),(3,0)AB，动点(,)Pxy满足2PAPBx，则点P的轨迹方程为.17.已知(2,1)a，(1,)b，若a与b的夹角为锐角，则的取值范围是.18.已知(cos,sin),(cos,sin)(,(0,))2ab，且abab，则tantan.19.如图，在平行四边形ABCD，ADa，ABb，M为AB的中点，点N在DB上，且DNtNB