数学文化创新题型(高三数学高考中的数学文化)

试卷第1页，总20页2020年4月22日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km/h，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km/h的频率分别为（）A．300，0.25B．300，0.35C．60，0.25D．60，0.35【答案】B【解析】【分析】由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间[8590，的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/kmh的频率．【详解】由频率分布直方图得：在此路段上汽车行驶速度在区间[8590，的频率为0.0650.3，∴在此路段上汽车行驶速度在区间[8590，的车辆数为：0.31000300，行驶速度超过90/kmh的频率为：0.050.0250.35．故选：B．【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠试卷第2页，总20页算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A．8岁B．11岁C．20岁D．35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为𝑎1，则𝑆9=9𝑎1+9×82×3=207，解得𝑎1=11．故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称之为鳖臑，在鳖臑A﹣BCD中，AB⊥平面BCD，且有BD⊥CD，AB＝BD＝1，CD＝2，若该鳖臑的顶点都在一个球面上，则该球的体积为（）A．863B．6C．86D．24π【答案】B【解析】【分析】由题意易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,根据长方体体对角线等于外接球直径,利用公式计算即可.【详解】易得鳖臑外接一个长方体,且外接球与长方体外接球为同一个球,故画出如图所示鳖臑.试卷第3页，总20页设长方体体对角线即外接球直径为D则22221126D,故外接球体积33116666VD.故选：B【点睛】本题主要考查了长方体中三棱锥的外接球问题,注意体对角线等于外接球直径即可.属于基础题型.4．《九章算术》是我国古代数学名著，在《九章算术》中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为()A．12B．122C．22D．222【答案】C【解析】【分析】试卷第4页，总20页由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，画出图形结合图形求出它的表面积。【详解】由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥，如图所示；正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，四棱锥的底面是正方形，且边长为1，其中一条侧棱PD底面ABCD，且侧棱1AD，四棱锥的四个侧面都为直角三角形，且2PAPC，四棱锥的表面积为112212112122222SADSABABCDSSSS底面故选C【点睛】本题考查了利用空间几何体的三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．5．《九章算术》中记载了一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），则该几何体的容积为（）立方寸.（3.14）A．12.656B．13.667C．11.414D．14.354【答案】A【解析】由三视图可得，该几何体是一个圆柱和一个长方体组成的几何体，该几何体试卷第5页，总20页的体积为：211.65.41.63112.6562V.6．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”．某“堑堵”的三视图如图所示，则它的表面积为（）A．2B．422C．442D．642【答案】D【解析】【分析】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，由三视图求出几何元素的长度，由面积公式求出几何体的表面积．【详解】根据题意和三视图知几何体是一个放倒的直三棱柱，底面是一个直角三角形，两条直角边分别是2,斜边是2，且侧棱与底面垂直，侧棱长是2，∴几何体的表面积122222222642.2S故选D．【点睛】本题考查三视图求几何体的表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．7．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的体积为（）试卷第6页，总20页A．3B．2C．3D．2【答案】D【解析】【分析】先将三视图还原成直观图，然后利用体积公式计算即可.【详解】由三视图可知该几何体为底面是腰为2的等腰直角三角形，高为2的直三棱柱，如图：故体积为122222V.故选：D.【点睛】本题考查由几何体的三视图求体积的问题，解题关键是正确将三视图还原成直观图，属于常考题.8．《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》是我国古代数学的重要文献.现拟把这4部著作分给甲、乙、丙3位同学阅读，每人至少1本，则甲没分到《周髀算经》的分配方法共有（）A．18种B．24种C．30种D．36种【答案】B【解析】试卷第7页，总20页分析：先不考虑限制条件，则共有2343CA种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），甲分到2本（包括《周髀算经》），减去即可.详解：先不考虑限制条件，则共有234336CA种方法，若甲分到《周髀算经》，有两种情况：甲分到一本（只有《周髀算经》），此时共有22326CA种方法；甲分到2本（包括《周髀算经》），此时共有326A种方法，则分配方法共有366624种.点睛：本题考查了分组分配的问题，关键在于除去不符合条件的情况，属于基础题9．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.146寸表示115寸146分（1寸=10分）.已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸【答案】C【解析】设晷影长为等差数列na，公差为d，1130.0a，1314.8a，则130.01214.8d，解得9.6d，∴6130.09.6582.0a，∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸，故选C.10．《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为31.5尺，前九个节气日影长度之和为85.5尺，试卷第8页，总20页则谷雨这一天的日影长度（）A．5.5尺B．4.5尺C．3.5尺D．2.5尺【答案】A【解析】【分析】先设等差数列na，首项为1a，公差为d，根据题意有14713931.5aaaad，9193685.5Sad，然后由两式求解.【详解】设等差数列na，首项为1a，公差为d，根据题意得14713931.5aaaad，9193685.5Sad，解得113.5,1ad，所以9185.5aad.故选：A【点睛】本题主要考查了等差数列的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.11．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A．120B．260C．340D．420【答案】D【解析】由题意可知上下两块区域可以相同，也可以不同，则共有5431354322180240420故选D试卷第9页，总20页12．如图，是三世纪汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的弦图.它也被2002年在北京召开的国际数学家大会选定为会徽.正方形ABCD内有四个全等的直角三角形.在正方形内随机取一点，则此点取自中间小正方形（阴影部分）的概率是（）A．14B．125C．34D．2425【答案】B【解析】【分析】根据题干可设小方格的边长为1，进而得到三角形的边长和正方形的边长，再根据几何概型的面积公式得到结果.【详解】根据条件可设小方格的边长为1，则三角形的边长为3和4，由勾股定理得到正方形的边长为5，最中间的小正方形的边长为1，面积为1，故根据几何概型中的面积型的公式得到概率为1=.25SS小正方形大正方形故答案为：B.【点睛】本题考查了几何概型概率的求法；在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．二、填空题13．“方锥”，在《九章算术》卷商功中解释为正四棱锥.现有“方锥”SABCD，其中4AB，SA与平面ABCD所成角的正切值为324，则此“方锥”的外接球表面积为________.试卷第10页，总20页【答案】2899【解析】【分析】如图所示，连接AC，BD相交于O，连接SO，计算得到3SO，在RtOOA中，利用勾股定理计算半径176R，代入球的表面积公式得到答案.【详解】如图所示：连接AC，BD相交于O，连接SO，故SO平面ABCD则32tan4SOSAOAO，解得3SO易知四棱锥SABCD的外接球球心O在直线SO上设外接球半径为R，则在RtOOA中，222(3)(22)RR，解得176R，故所求外接球表面积228928944369SR.故答案为：2899【点睛】本题考查了四棱锥的外接球问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.14．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.如图，在鳖臑PABC中，PA平面ABC，ABBC，且1AP=AC，过点A分别作AEPB于点E，AFPC于点F，连结EF，当AEF的面积最大时，tanBPC__________.试卷第11页，总20页【答案】22【解析】【分析】利用PA平面ABC，根据线面垂直的性质定理可得PABC，结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明出BC⊥平面PAB，进而可以证明出BCAE⊥，再结合已知，利用线面垂直的判定定理可以证明AE⊥平面PBC，因此可以证明出AEPC，最后利用线面垂直定理证明出PC平面AEF，因此得到AEEF，PCAF，且F为PC中点.解法1：设ABx，BCy，利用三角形面积公式可以求出AE的长，在利用PFEPBC∽，求出EF的长，最后求出AEF的面积表达式，利用换元法和配方法求出AEF面积平方的最大值，最后求出tanBPC的值；解法2：设BPC，求出EF、