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工程力学教案第一章物体的受力分析静力学：研究物体在力系作用下平衡规律的科学。主要问题：力系的简化；建立物体在力系作用下的平衡条件。本章将介绍静力学公理，工程中常见的典型约束，以及物体的受力分析。静力学公理是静力学理论的基础。物体的受力分析是力学中重要的基本技能。§1.1力的概念与静力学公理一、力的概念力的概念是人们在长期生活和生产实践中逐步形成的。例如：人用手推小车，小车就从静止开始运动；落锤锻压工件时，工件就会产生变形。力是物体与物体之间相互的机械作用。使物体的机械运动发生变化，称为力的外效应；使物体产生变形，称为力的内效应。力对物体的作用效应取决于力的三要素，即力的大小、方向和作用点。力是矢量，常用一个带箭头的线段来表示，在国际单位制中，力的单位牛顿(N)或千牛顿(KN)。二、静力学公理公理1力的平行四边形法则作用在物体上同一点的两个力，可以合成一个合力。合力的作用点仍在该点，合力的大小和方向由这两个力为邻边所构成的平行四边形的对角线确定。其矢量表达式为ＦR=Ｆ1+Ｆ2根据公理1求合力时，通常只须画出半个平行四边形就可以了。如图1-2b、c所示，这样力的平行四边形法则就演变为力的三角形法则。1【说明】：1.FR=F1+F2表示合力的大小等于两分力的代数和2.两力夹角为α，用余弦定理求合力的大小，正弦定理求方向3.可分解力：(1)已知两分力的方向，求两分力的大小(2)已知一个分力的大小和方向，求另一分力大小和方向4.该公理既适用于刚体，又适用于变形体，对刚体不需两力共点公理2二力平衡公理刚体仅受两个力作用而平衡的充分必要条件是：两个力大小相等，方向相反，并作用在同一直线上，如图1－3所示。即Ｆ1＝-Ｆ22它对刚体而言是必要与充分的，但对于变形体而言却只是必要而不充分。如图1－4所示，当绳受两个等值、反向、共线的拉力时可以平衡，但当受两个等值、反向、共线的压力时就不能平衡了。二力构件：仅受两个力作用而处于平衡的构件。二力构件受力的特点是：两个力的作用线必沿其作用点的连线。如图1－5a中的三铰钢架中的BC构件，若不计自重，就是二力构件。公理3加减平衡力系公理在作用于刚体上的已知力系上，加上或减去任一平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用效果。加减平衡力系公理主要用来简化力系。但必须注意，此公理只适应于刚体而不适应于变形体。推论1力的可传性原理3作用于刚体上的力，可以沿其作用线移至刚体内任意一点，而不改变该力对物体的作用效果。力对刚体的效应与力的作用点在其作用线上的位置无关。因此，作用于刚体上的力的三要素是：力的大小、方向、作用线。推论2三力平衡汇交定理若刚体受到同平面内三个互不平行的力的作用而平衡时，则该三个力的作用线必汇交于一点。图1-7公理4作用和反作用定律作用力和反作用力总是大小相等，方向相反，作用线相同，但同时分别作用在两个相互作用的物体上。这个公理表明，力总是成对出现的，只要有作用力就必有反作用力，而且同时存在，又同时消失。公理5刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。这个公理提供了把变形体抽象为刚体模型的条件。4§1.2约束与约束反力在工程实际中，构件总是以一定的形式与周围其他构件相互联结，即物体的运动要受到周围其他物体的限制，如机场跑道上的飞机要受到地面的限制，转轴要受到轴承的限制，房梁要受到立柱的限制。这种对物体的某些位移起限制作用的周围其他物体称为约束，如轴承就是转轴的约束。约束限制了物体的某些运动，所以有约束力作用于物体，这种约束对物体的作用力称为约束力。工程实际中将物体所受的力分为两类：一类是能使物体产生运动或运动趋势的力，称为主动力，主动力有时也叫载荷；另一类是约束反力，它是由主动力引起的，是一种被动力。一、柔性约束（柔索）柔性约束由绳索、胶带或链条等柔性物体构成。只能受拉，不能受压。只能限制沿约束的轴线伸长方向。柔性约束对物体的约束反力是：作用在接触点，方向沿着柔体的中心线背离物体。通常用FＴ表示。见图1-8二、刚性约束当两物体接触面之间的摩擦力小到可以忽略不计时，可将接触面视为理想光滑的约束。这时，不论接触面是平面或曲面，都不能限制物体沿接触面切线方向的运动，而只能限制物体沿着接触面的公法线指向约束物体方向的运动。因此，光滑接触面对物体的约束反力是：通过接触点，方向沿着接触面公法线方向，并指向受力物体。这类约束反力也称法向反力，通常用ＦN表示。见图1-95三、光滑圆柱形铰链约束1.连接铰链两构件用圆柱形销钉连接且均不固定，即构成连接铰链，其约束反力用两个正交的分力Ｆx和Ｆy表示。见图1-102.固定铰链支座如果连接铰链中有一个构件与地基或机架相连，便构成固定铰链支座，其约束反力仍用两个正交的分力Ｆx和Ｆy表示。见图1-1163.活动铰链支座在桥梁、屋架等工程结构中经常采用这种约束。在铰链支座的底部安装一排滚轮，可使支座沿固定支承面移动，这种支座的约束性质与光滑面约束反力相同，其约束反力必垂直于支承面，且通过铰链中心。见图1-12四、固定端约束固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物体在约束处的转动。所以，固定端A处的约束反力可用两个正交的分力ＦＡＸ、ＦＡＹ和力矩为MＡ的力偶表示。见图1-137五、球铰链支座球铰链是一种空间约束，它能限制物体沿空间任何方向移动，但物体可以绕其球心任意转动。球铰链的约束反力可用三个正交的分力ＦＡＸ、ＦＡＹ、ＦＡＺ表示。见图1-14§１.３受力图在工程实际中，常常需要对结构系统中的某一物体或部分物体进行力学计算。这时就要根据已知条件及待求量选择一个或几个物体作为研究对象，然后对它进行受力分析。即分析物体受那些力的作用，并确定每个力的大小、方向和作用点。为了清楚地表示物体的受力情况，需要把所研究的物体（称为研究对象）从与它相联系的周围物体中分离出来，单独画出该物体的轮廓简图，使之成为分离体，在分离体上画上它所受的全部主动力和约束反力，就称为该物体的受力图。画受力图是解平衡问题的关键，画受力图的一般步骤为：（１）据题意确定研究对象，并画出研究对象的分离体简图。（２）在分离体上画出全部已知的主动力。（３）在分离体上解除约束的地方画出相应的约束反力。画受力图时要分清内力与外力，如果所取的分离体是由某几个物体组成的物体系统时，通常将系统外物体对物体系统的作用力称为外力，而系统内物体间相互作用的力称为内力。内力总是以等值、共线、反向的形式存在，故物体系8统内力的总和为零。因此，取物体系统为研究对象画受力图时，只画外力，而不画内力。例1-1重量为G的均质杆AB，其B端靠在光滑铅垂墙的顶角处，A端放在光滑的水平面上，在点D处用一水平绳索拉住，试画出杆AB的受力图。例1-2AB杆A处为固定铰链连接，B处置于光滑水平面，并由钢绳拉着，钢绳绕过滑轮C，画出AB杆的受力图。9例1-3如图1-15a所示，水平梁AB用斜杆CD支承，A、C、D三处均为光滑铰链连接。匀质梁AB重G1，其上放一重为G2电动机。若不计斜杆CD自重，试分别画出斜杆CD和梁AB（包括电动机）的受力图。10解(1)斜杆CD的受力图取斜杆CD为研究对象，由于斜杆CD自重不计，并且只在C、D两处受铰链约束而处于平衡，因此斜杆CD为二力构件。斜杆CD的约束反力必通过两铰链中心C与D的连线，用FC和FD表示。如图1-15b所示。(2)梁AB的受力图取梁AB（包括电动机）为研究对象，梁AB受主动力G1和G2的作用。在D处为铰链约束，约束反力F'D与FD是作用与反作用的关系，且F'D=-FD。A处为固定铰链支座约束，约束反力用两个正交的分力FAx和FAy表示，方向可任意假设。如图1－15c所示。例1-4画出图示构架受力图。分析可知，CD为二力构件，AB为三力构件，可对A点约束力进行分解，也可用三力平衡汇交定理确定其方向。11例1-5如图所示，复合横梁ABCDE的A端为固定端支座，B处为连接铰链，C处为活动铰链支座。已知作用于梁上的主动力有载荷集度为q的均布载荷和力偶矩为T的集中力偶。试画出梁整体ABCD和其AB部分与BCD部分的受力图。12解(1)取整体ABCD为研究对象作用于梁上的主动力有均布载荷q及D端力偶矩为T的集中力偶。在固定端支座A处的约束反力有正交分力RＡx和RＡy，以及力偶矩为MＡ的集中力偶，它们的方向可以任意假设。在活动铰链支座C处作用有约束反力RC，方向指向梁。(2)取梁AB部分为研究对象在后段作用有均布载荷q，在固定端支座A处作用有约束反力RＡx和RＡy，以及力偶矩为MＡ的集中力偶。在连接铰链B处的约束反力有正交分力NBx和NBy，方向可以任意假设。(3)取梁BCD部分为研究对象在梁CD段作用有均布载荷q，在D端作用有力偶矩为T的集中力偶。在活动铰链支座D处作用有约束反力RC，方向指向梁，在连接铰链C处的约束反力为N'Bx和N'By，根据作用反作用定律，N'Bx＝NBx，N'By＝NBy。例1-6活动梯子置于光滑水平面上，由AC和BC两杆组成，用铰链A和绳子DE连接，人的重量为G，画出整体及AC、BC杆的受力图。13例1-7画出图示AB、BC杆及整体受力图。14例1-8画出图示BD、AE杆受力图。1516本章重点及难点1.提出了静力学的基本概念：力、平衡、刚体。2.力是物体之间的相互机械作用。力的三要素是力的大小、方向和作用点。力是矢量。3.静力学公理是研究静力学的基础。公理1（力的平行四边形法则）说明力的运算符合矢量运算法则，是力系合成与分解的基础。公理2（二力平衡公理）是昀基本的力系平衡条件。公理3（加减平衡力系公理）是力系等效代换和简化的主要依据。公理4（作用和反作用定律）是研究物体系受力分析的基础。公理5（刚化原理）提供了把变形体抽象为刚体模型的条件。4.作用于物体上的力可分为主动力与被动约束反力。约束反力是限制被约束物体运动的力，它作用于物体的约束接触处，其方向与物体被限制的运动方向相反。常见的约束类型有：17(1)柔性约束只能承受沿柔索的拉力。(2)光滑接触面约束只能承受位于接触点的法向压力。(3)光滑圆柱形铰链约束通常用两个正交的约束反力表示。(4)固定端约束通常用两个正交的约束反力与一个力偶表示。(5)球铰链通常用三个正交的约束反力表示。5.受力图在解除约束的分离体简图上，画出它所受的全部外力的简图，称为受力图。画受力图时应注意：只画受力，不画施力；只画外力，不画内力；解除约束后，才能画上约束反力。第二章基本力系本章将介绍解析法研究汇交力系的简化与平衡，力矩的计算与合力矩定理，力偶系的性质、简化与平衡。§2.1汇交力系简化与平衡的解析法(力在直角坐标轴上的投影合力投影定理等)各力的作用线汇交于一点的力系称为汇交力系。用力的平行四边形法则可以求得两力的合力，用此法则也可以求得多个汇交力的合力。对于包含n个汇交力的力系F1，F2，...，Fn，所合成的合力FR即为FR＝F1+F2+…+Fn＝ΣF(2-1)一.力在直角坐标轴上的投影1.一次投影法若已知力F与直角坐标系oxyz三轴间的正向夹角分别为α、β、γ，如图2-1(a)、(b)，则力F在这三个轴上的投影可表示为Fx=FcosαFy=Fcosβ18(2-2)Fz=Fcosγ可以看出，力与投影轴正向夹角为锐角时，其投影为正；力与投影轴正向夹角为钝角时，其投影为负。故力在直角坐标轴上的投影是代数量。应当注意，在直角坐标系中，分力的大小和投影的绝对值相等，但投影是代数量，分力是失量。2.二次投影法可以先求出力在此坐标轴的分力Fxy，然后再求力F在三个直角坐标轴投影，如图2-1(c)，于是力F在这三个轴上的投影分别为：19Fx=FsinγcosψFy=Fsinγsinψ(2-3)Fz=Fcosγ若为平面力，则只须直接向x、y轴投影即可。3.合力投影定理将式(2-1)两边分别向三个直角坐标轴上投影，有FRx＝F1x+F2x+...+Fnx＝ΣFxFRy＝F1y+F2y+...+Fny＝ΣFy(2-4)FRz＝F1z+F2z+...+Fnz＝ΣFz即合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。