高考数学压轴题突破训练:函数1.甲乙两公司生产同一种新产品,经测算,对于函数8xxf,12xxg,及任意的0x,当甲公司投入x万元作宣传时,乙公司投入的宣传费若小于xf万元,则乙公司有失败的危险,否则无失败的危险;当乙公司投入x万元作宣传时,甲公司投入的宣传费若小于xg万元,则甲公司有失败的危险,否则无失败的危险.设甲公司投入宣传费x万元,乙公司投入宣传费y万元,建立如图直角坐标系,试回答以下问题:(1)请解释0,0gf;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m(2)甲、乙两公司在均无失败危险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问此时各应投入多少宣传费?(3)若甲、乙分别在上述策略下,为确保无失败的危险,根据对方所投入的宣传费,按最少投入费用原则,投入自己的宣传费:若甲先投入121a万元,乙在上述策略下,投入最少费用1b;而甲根据乙的情况,调整宣传费为2a;同样,乙再根据甲的情况,调整宣传费为2b,,如此得当甲调整宣传费为na时,乙调整宣传费为nb;试问是否存在limnna,nnblim的值,若存在写出此极限值(不必证明),若不存在,说明理由.2.已知三次函数cbxaxxxf23)(在y轴上的截距是2,且在),2(),1,(上单调递增,在(-1,2)上单调递减.(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;(Ⅱ)若函数)ln()1()2(3)()(mxmxxfxh,求)(xh的单调区间.3.已知函数155)(2xxx)(Rx,函数)(xfy的图象与)(x的图象关于点)21,0(中心对称。(1)求函数)(xfy的解析式;(2)如果)()(1xfxg,)2,)](([)(1nNnxgfxgnn,试求出使0)(2xg成20070328立的x取值范围;(3)是否存在区间E,使0)(xfxE对于区间内的任意实数x,只要Nn,且2n时,都有0)(xgn恒成立?4.已知函数:)(1)(axRaxaaxxf且(Ⅰ)证明:f(x)+2+f(2a-x)=0对定义域内的所有x都成立.(Ⅱ)当f(x)的定义域为[a+21,a+1]时,求证:f(x)的值域为[-3,-2];(Ⅲ)设函数g(x)=x2+|(x-a)f(x)|,求g(x)的最小值.5.设()fx是定义在]1,0[上的函数,若存在*x)1,0(,使得()fx在],0[*x上单调递增,在]1,[*x上单调递减,则称()fx为]1,0[上的单峰函数,*x为峰点,包含峰点的区间为含峰区间.对任意的]1,0[上的单峰函数()fx,下面研究缩短其含峰区间长度的方法.(1)证明:对任意的21,xx)1,0(,21xx,若)()(21xfxf,则),0(2x为含峰区间;若)()(21xfxf,则)1,(1x为含峰区间;(2)对给定的)5.00(rr,证明:存在21,xx)1,0(,满足rxx212,使得由(1)所确定的含峰区间的长度不大于r5.0;6.设关于x的方程0222axx的两根分别为、,函数14)(2xaxxf(1)证明)(xf在区间,上是增函数;(2)当a为何值时,)(xf在区间,上的最大值与最小值之差最小7.已知函数31()(,)3fxxaxbabR在2x处取得的极小值是43.(1)求()fx的单调递增区间;(2)若[4,3]x时,有210()3fxmm恒成立,求实数m的取值范围.8.已知二次函数),,0(1)(2Rbabxaxxf设方程f(x)=x有两个实数根x1、x2.(Ⅰ)如果4221xx,设函数f(x)的对称轴为x=x0,求证x0—1;(Ⅱ)如果201x,且f(x)=x的两实根相差为2,求实数b的取值范围.9.函数)(xf的定义域为R,并满足以下条件:①对任意Rx,有0)(xf;②对任意x、Ry,有yxfxyf)]([)(;③.1)31(f则(1)求)0(f的值;(4分)(2)求证:)(xf在R上是单调增函数;(5分)(3)若acbcba2,0且,求证:).(2)()(bfcfaf10.已知函数14)(234axxxxf在区间[0,1]上单调递增,在区间[1,2]上单调递减;(1)求a的值;(2)求证:x=1是该函数的一条对称轴;(3)是否存在实数b,使函数1)(2bxxg的图象与函数f(x)的图象恰好有两个交点?若存在,求出b的值;若不存在,请说明理由.11.定义在区间(0,)上的函f(x)满足:(1)f(x)不恒为零;(2)对任何实数x、q,都有)()(xqfxfq.(1)求证:方程f(x)=0有且只有一个实根;(2)若abc1,且a、b、c成等差数列,求证:)()()(2bfcfaf;(3)(本小题只理科做)若f(x)单调递增,且mn0时,有)2(2)()(nmfnfmf,求证:322m12.某造船公司年最高造船量是20艘.已知造船x艘的产值函数R(x)=3700x+45x2–10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5000(单位:万元).又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为:Mf(x)=f(x+1)–f(x).求:(提示:利润=产值–成本)(1)利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(2)年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大?(3)边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么?13.已知函数33(1)()xafxax(0a且1a).(1)试就实数a的不同取值,写出该函数的单调递增区间;(2)已知当0x时,函数在(0,6)上单调递减,在(6,)上单调递增,求a的值并写出函数的解析式;(3)(理)记(2)中的函数的图像为曲线C,试问是否存在经过原点的直线l,使得l为曲线C的对称轴?若存在,求出l的方程;若不存在,请说明理由.(文)记(2)中的函数的图像为曲线C,试问曲线C是否为中心对称图形?若是,请求出对称中心的坐标并加以证明;若不是,请说明理由.14.已知函数()logafxx和()2log(22),(0,1,)agxxtaatR的图象在2x处的切线互相平行.(Ⅰ)求t的值;(Ⅱ)设)()()(xfxgxF,当1,4x时,()2Fx恒成立,求a的取值范围.15.设函数()fx定义在R上,对任意的,mnR,恒有()()()fmnfmfn,且当1x时,()0fx。试解决以下问题:(1)求(1)f的值,并判断()fx的单调性;(2)设集合(,)|()()0,(,)|(2)0,AxyfxyfxyBxyfaxyaR,若AB,求实数a的取值范围;(3)若0ab,满足|()||()|2|()|2abfafbf,求证:322b16.(理科)二次函数f(x)=)(2Rbabaxx、(I)若方程f(x)=0无实数根,求证:b0;(II)若方程f(x)=0有两实数根,且两实根是相邻的两个整数,求证:f(-a)=)1(412a;(III)若方程f(x)=0有两个非整数实根,且这两实数根在相邻两整数之间,试证明存在整数k,使得41)(kf.(文科)已知函数f(x)=cbxax2,其中.,,*ZcNbNa(I)若b2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值;(II)若对任意实数x,不等式)1(2)(42xxfx恒成立,且存在)1(2)(0200xxfx使得成立,求c的值。17.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:对任意x、y(-1,1)都有。(I)求证:函数f(x)是奇函数;(II)如果当时,有f(x)0,判断f(x)在(-1,1)上的单调性,并加以证明;(III)设-1a1,解不等式:18.设)(xf是定义域在]1,1[上的奇函数,且其图象上任意两点连线的斜率均小于零.(l)求证)(xf在]1,1[上是减函数;(ll)如果)(cxf,)(2cxf的定义域的交集为空集,求实数c的取值范围;(lll)证明若21c,则)(cxf,)(2cxf存在公共的定义域,并求这个公共的空义域.19.已知函数f(x)=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z。(1)若b2a,且f(sinx)(x∈R)的最大值为2,最小值为-4,试求函数f(x)的最小值;(2)若对任意实数x,不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)恒成立,且存在x0,使得f(x0)2(x02+1)成立,求c的值。20.(理)已知)0()1()(2≤++=aaxxInxf(1)讨论)(xf的单调性;(2)证明:2),()11()311)(211(*444≥∈+++nNnen其中无理数)71828.2=e.(文)设函数)(31)(23cbacxbxaxxf,其图象在点))(,()),1(,1(mfmBfA处的切线的斜率分别为ao-,.(1)求证:10≤ab;(2)若函数)(xf的递增区间为],[ts,求]-[ts的取值范围.21.设函数)10(3231)(223abxaaxxxf(1)求函数f(x)的单调区间,并求函数f(x)的极大值和极小值;(2)当x∈[a+1,a+2]时,不等axf|)(|,求a的取值范围.22.已知函数1xx716x)x(f,函数mxln6)x(g.(1)当1x时,求函数f(x)的最小值;(2)设函数h(x)=(1-x)f(x)+16,试根据m的取值分析函数h(x)的图象与函数g(x)的图象交点的个数.23.已知二次函数ttttylcbxaxxf.20(8:,)(212其中直线为常数);2:2xl.若直线l1、l2与函数f(x)的图象以及l1,y轴与函数f(x)的图象所围成的封闭图形如阴影所示.(Ⅰ)求a、b、c的值;(Ⅱ)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;(Ⅲ)若,ln6)(mxxg问是否存在实数m,使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.24.已知()()()fxxxaxb,点A(s,f(s)),B(t,f(t))(I)若1ab,求函数()fx的单调递增区间;(II)若函数()fx的导函数()fx满足:当|x|≤1时,有|()fx|≤23恒成立,求函数()fx的解析表达式;(III)若0ab,函数()fx在xs和xt处取得极值,且23ab,证明:OA与OB不可能垂直.25.已知函数.)(2Rmxxmxf(1)设xxfxgln)()(,当m≥41时,求g(x)在[221,]上的最大值;(2)若),1[)](8[log31在xfy上是单调减函数,求实数m的取值范围.答案:1.解:(1))0(f表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要回避失败风险,至少要投入)0(f=8万元;……………………(2分))0(g表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要回避失败风险,至少要投入)0(g=12万元.……………………………(4分)128xOM(17,25)1a2a2b1b(2)解方程组812xyyx………………(6分)得:x=17,y=25……………(9分)故甲公司至少投入17万元,乙公司至少投入25万元.……(11分)(3)经观察,显见25lim,17limnnnnba.故点M(17,25)是双方在宣传投入上保证自己不失败的一个平衡点.………(16分)2.解:(Ⅰ)∵cbxaxxxf23)(在y轴上的截距是2,∴f(0)=2,∴c=2.1分又)(xf在),2(),1,(上单调递增,(-1,2)上单调递减,023)(2bax