高考数学复习专题五三角函数及解三角形

心中有梦，美丽就不再遥远。1/28三角函数、三角恒等变换与解三角形1．弧度制的定义：lR角度与弧度的换算公式：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.一个式子中不能角度,弧度混用.弧长公式：Rl；扇形面积公式：22121RlRS。2．三角函数定义:角终边上任一点（非原点）P),(yx,设rOP||则：,cos,sinrxryxytan3．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦；（简记为“全stc”）4．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”5．⑴)sin(xAy对称轴：令2xk，得2;kx对称中心：))(0,(Zkk；⑵)cos(xAy对称轴：令kx，得kx；对称中心：))(0,2(Zkk；⑶周期公式:①函数sin()yAx及cos()yAx的周期2T(A、ω、为常数，且A≠0).②函数xAytan的周期T(A、ω、为常数，且A≠0).6．同角三角函数的基本关系：xxxxxtancossin;1cossin227．三角函数的单调区间及对称性：⑴sinyx的单调递增区间为2,222kkkZ,单调递减区间为32,222kkkZ，对称轴为()2xkkZ,对称中心为,0k()kZ.⑵cosyx的单调递增区间为2,2kkkZ,单调递减区间为2,2kkkZ，心中有梦，美丽就不再遥远。2/28对称轴为()xkkZ,对称中心为,02k()kZ.⑶tanyx的单调递增区间为,22kkkZ，对称中心为0,2kZk.三角函数图象几何性质8．两角和与差的正弦、余弦、正切公式：①sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；②tantantan()1tantan.（注意该公式的变形）③22sin()sin()sinsin；④22cos()cos()cossin.⑤sincosab=22sin()ab(其中,辅助角所在象限由点(,)ab所在的象限决定,2222sin,cos,tanbabaabab).9．二倍角公式：①cossin22sin.2(sincos)12sincos1sin2②2222cos2cossin2cos112sin（升幂公式）.③221cos21cos2cos,sin22（降幂公式）.10．正、余弦定理：⑴正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin（R2是ABC外接圆直径）注：①CBAcbasin:sin:sin::；②CRcBRbARasin2,sin2,sin2；③CBAcbaCcBbAasinsinsinsinsinsin。⑵余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosAcosA=bca2cb222y=Atan(ωx+φ)任意一条y轴的垂线与正切函数图象都相交,且相邻两交点的距离为一个周期！三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|=T/2邻渐近线|x1-x2|=T无穷对称中心:由y=0或y无意义确定x3无对称轴tan()yAx三角函数图象几何性质xOyx=x1x=x2x4邻中心|x3-x4|=T/2邻轴|x1-x2|=T/2无穷对称中心:由y=0确定无穷对称轴:由y=A或-A确定y=Asin(ωx+φ)x34T邻中心轴相距sin()yAx心中有梦，美丽就不再遥远。3/28b2=a2+c2﹣2accosBcosB=acbca2222c2=a2+b2﹣2abcosCcosC=abcba2222正余弦定理在实际中的应用求距离两点间不可通又不可视两点间可视但不可达两点都不可达求高度底部可达底部不可达题型1计算高度题型2计算距离题型3计算角度题型4测量方案的设计11.几个公式:⑴三角形面积公式：①111222abcSahbhch（abchhh、、分别表示a、b、c边上的高）；②②111sinsinsin222SabCbcAcaB.③221(||||)()2OABSOAOBOAOB⑵内切圆半径r=cbaSABC2（特别地，2abcr斜直）；外接圆直径2R=;sinsinsinCcBbAa12．常见三角不等式:(1)若(0,)2x，则sintanxxx.(2)若(0,)2x，则1sincos2xx.(3)|sin||cos|1xx.13.正弦、余弦的诱导公式：212(1)sin,sin()2(1)s,nnnncon为偶数为奇数；212(1)s,s()2(1)sin,nnconncon为偶数为奇数.心中有梦，美丽就不再遥远。4/28即:“奇变偶不变,符号看象限”.如sin2cos,coscos.14.万能公式:22tansin21tan；221tancos21tan；22tantan21tan（正切倍角公式）.15.半角公式:sin1costan21cossin.16.三角函数变换:①相位变换:xysin的图象个单位平移或向右向左00xysin的图象；②周期变换:xysin的图象倍到原来的或缩短横坐标伸长1110xysin的图象；③振幅变换:xysin的图象倍到原来的或缩短纵坐标伸长AAA101xAysin的图象.17.在△ABC中，有①()222CABABCCAB222()CAB；②BAbasinsin（注意是在ABC中）.③在锐角三角形△ABC中，A+B2,sinAcosB,sinBcosA,„常见数据：，，.角的概念的推广与弧度制A组1．点P从(－1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1顺时针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点的坐标为________．解析：由于点P从(－1,0)出发，顺时针方向运动π3弧长到达Q点，如图，因此Q点的坐标为(cos2π3，sin2π3)，即Q(－12，32)．答案：(－12，32)2．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tanα2②sinα2③cosα2④cos2α解析：α为第四象限角，则α2为第二、四象限角，因此tanα20恒成立，应填①，其余三个符号可正可负．答案：①3．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sinα0且tanα0，则α是第_______象限的角．答案：三4．函数y＝|sinx|sinx＋cosx|cosx|＋|tanx|tanx的值域为________．解析：当x为第一象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y＝3；当x为第二象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y＝－1；6262sin15cos75,sin75cos1544tan15cot7523,tan75cot152351sin184心中有梦，美丽就不再遥远。5/28当x为第三象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y＝－1；当x为第四象限角时，sinx0，cosx0，tanx0，y＝－1.答案：{－1,3}5．(原创题)若一个α角的终边上有一点P(－4，a)，且sinα·cosα＝34，则a的值为________．解析：依题意可知α角的终边在第三象限，点P(－4，a)在其终边上且sinα·cosα＝34，易得tanα＝3或33，则a＝－43或－433.答案：－43或－4336．已知角α的终边上的一点P的坐标为(－3，y)(y≠0)，且sinα＝24y，求cosα，tanα的值．解：因为sinα＝24y＝y(－3)2＋y2，所以y2＝5，当y＝5时，cosα＝－64，tanα＝－153；当y＝－5时，cosα＝－64，tanα＝153.B组1．已知角α的终边过点P(a，|a|)，且a≠0，则sinα的值为________．解析：当a0时，点P(a，a)在第一象限，sinα＝22；当a0时，点P(a，－a)在第二象限，sinα＝22.答案：222．已知扇形的周长为6cm，面积是2cm2，则扇形的圆心角的弧度数是_____．解析：设扇形的圆心角为αrad，半径为R，则2R＋α·R＝612R2·α＝2，解得α＝1或α＝4.答案：1或43．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于10cm，则扇形的面积为________．解析：S＝12|α|r2＝12×23π×100＝1003π(cm2)．答案：1003πcm24．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答案：{56°，176°，296°}5．若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α是第________象限．解析：当k＝2m＋1(m∈Z)时，α＝2m·180°＋225°＝m·360°＋225°，故α为第三象限角；当k＝2m(m∈Z)时，α＝m·360°＋45°，故α为第一象限角．答案：一或三6．设角α的终边经过点P(－6a，－8a)(a≠0)，则sinα－cosα的值是________．解析：∵x＝－6a，y＝－8a，∴r＝(－6a)2＋(－8a)2＝10|a|，∴sinα－cosα＝yr－xr＝－8a＋6a10|a|＝－a5|a|＝±15.答案：±157．(2010年北京东城区质检)若点A(x，y)是300°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解析：yx＝tan300°＝－tan60°＝－3.答案：－38．(2010年深圳调研)已知点P(sin3π4，cos3π4)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为心中有梦，美丽就不再遥远。6/28________．解析：由sin3π40，cos3π40知角θ在第四象限，∵tanθ＝cos3π4sin3π4＝－1，θ∈[0,2π)，∴θ＝7π4.答案：7π49．已知角α的始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝kx上，若sinα＝25，且cosα0，则k的值为________．解析：设α终边上任一点P(x，y)，且|OP|≠0，∴y＝kx，∴r＝x2＋(kx)2＝1＋k2|x|.又sinα0，cosα0.∴x0，y0，∴r＝－1＋k2x，且k0.∴sinα＝yr＝kx－1＋k2x＝－k1＋k2，又sinα＝25.∴－k1＋k2＝25，∴k＝－2.答案：－210．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R.若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积．解：设弧长为l，弓形面积为S弓，∵α＝60°＝π3，R＝10，∴l＝103π(cm)，S弓＝S扇－S△＝12·103π·10－12·102sin60°＝50(π3－32)(cm2)．11．扇形AOB的周长为8cm.(1)若这个扇形的面积为3cm2，求圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.解：设扇形AOB的半径为r，弧长为l，圆心角为α，(1)由题意可得2r＋l＝8，12lr＝3，解得r＝3，l＝2，或r＝1l＝6，∴α＝lr＝23或α＝