2015山东高考数学理科试题及答案

2015年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)理科数学本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后，将将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1.答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。答案卸载试卷上无效。3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。4.填空题直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.参考公式：如果事件A,B互斥，那么P(A+B)=P(A)+P(B).第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的1.已知集合2430,24AxxxBxx，则ABI(C)(A)(1,3)(B)(1,4)(C)(2,3)(D)(2,4)2.复数Z满足1zii其中i为为虚数单位，则Z=（A）A1iB1iC1iD1i3要得到函数sin(4)3yx的图象，只需要把sin4yx的图象（B）A向左平移12个单位B向右平移12个单位C向左平移3个单位D向右平移3个单位4.已知菱形ABCD的边长为a，60ABC则BDCDuuuruuurg(D)A232aB234aC234aD232a5．不等式152xx，则不等式的解集为（A）A(,4)B(,1)C(1,4)D(1,5)6.若x，y满足约束条件020xyxyy，若zaxy的最大值为4，则a=（B）A3B2C-2D-37.在梯形ABCD中,若2ABC,//BC,BC2AD2AB2AD,将梯形绕AD所在的直线旋转一周所形成的几何体的体积为(C)A23B43C53D28：已知某批零件的长度（单位；毫米）服从正态分布2N(0,3)，其中随机抽一件，其长度落在（3,6）内的概率是(B)（附：若随机变量服从正态分布2N(,)，其概率()68.26%,(22)95.44%,ppA4.56%B13.59%C27.18%D31.74%9：一条光线从(2,3)射出，经过y轴反射后与圆22(3)(2)1xy相切，则反射光线所在的直线的斜率（D）A53或35B32或23C54或45D34或4310．设函数31,(1)()2,(1)xxxfxx，则满足()(()2faffa的a的取值范围（C）A2[,1]3B[0,1]C2[,)3D[1,)第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11：观察：0010113301225550123377774;4;4;4;CCCCCCCCCCLLL照此规律，当*nN时，012121212121nnnnnCCCCL14n12：若“[0,],tanxm4x”为真，则m的最小值为113：执行右边程序框图，则输出的T为11614：已知函数()(0,1)xfxabaa的定义域和值域都是[1,0]，则a+b=3215：在直角坐标系xoy中，双曲线22122:1(0,0)xyCabab的渐近线与抛物线22:2(0)Cxpyp交于点O,A,B，三角形OAB的垂心是2C的焦点，则1C的离心率32三、解答题：本答题共6小题，共75分。16：（12分）已知函数2()sincoscos()4fxxxx（1）求函数()fx的单调区间；（2）在锐角三角形ABC中，角A,B,C所对的边为a,b,c,已知()0,12Afa，求三角形ABC面积的最大值。17：(12分)在三棱台DEF-ABC中AB=2DE,G,H分别为AC,BC的中点，（1）求证：//BDFGH面(2)若CFB面ABC,ABBC,CF=DE,AC=45,求平面FGH与平面ACFD所成的锐角的大小18：（12分）设数列na的前n项和为nS且满足233nnS（1）求数列na的通项公式；（2）若数列nb满足3lognannab，求数列nb的前n项和为nT19：（12分）若n是一个三位正整数，且个位数大于十位数，十位数大于百位数，则称n为“三位递增数”（例“137,359，567，”等）在某次趣味数学活动中，每位参赛者需从所有的“三位递增数中随机抽取一个数且只有一次，，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，则得零分；若能被5整除，且不能被10整除则得-1分；若能被10整除，则得1分；（1）写出所有个位数字为5的”三位递增数”；（2）若甲参加活动，求出甲得分X的分布列及数学期望XE20：(13分)在直角坐标系xoy中，已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为123,,2FF分别为左右焦点，以1F为圆心，以3为半径的圆与以以2F为圆心，以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上（ⅰ）求椭圆C的标准方程：（ⅱ）设椭圆2222E:1,44xyPab为椭圆C上的任意一点，过P的直线ykxm交椭圆E于A,B两点，射线PO交椭圆E于Q,求OQOP的值；（2）求三角形ABQ面积的最大值。21：（14分）设函数2()ln(1)(),()fxxaxxaR（ⅰ）讨论函数()fx极值点的个数，并说明理由；（ⅱ）若0,f(x)0x成立，求实数a的取值范围理科答案CABDA;BCBDC;14n,;1,;11632;3216解：21cos2(x)111sin2x14()sincoscos()sin2sin2sin2x422222fxxxxxx2222244kxkkxk所以函数()fx的单调增区间为[,]44kk332222244kxkkxk所以函数()fx的单调减区间为3[,]44kk（2）11()sin0,sinA,(0,)22226AfAAAQQ由余弦定理得：2222cos23(23)1236abcbcbcbcbcabcQ当且仅当“bc”时取等号所以11123sin(23)2224SbcA即三角形ABC面积的最大值为23417：法一：连接DC交FG于O，连接OH，在三棱台DEF-ABC中AB=2DE,DE//AB,EF//AB,BC=2EFG,为AC,的中点，DF//AC,AC=2DF所以DC//GC,DF=GC所以四边形DFCG为平行四边形即O为CD的中点，H为BC的中点所以OH//BD,BDBD//GHF面GHF,DH面GHF面Q法二：在三棱台DEF-ABC中AB=2DE,DE//AB,EF//AB,BC=2EFG,H分别为AC,BC的中点，GH//AB,BC=2BH所以DE//GH,EF//BH,EF=BH所以四边形BHFE为平行四边形即BE//HF因为,,BDE//GHFBDBDEBD//GHFDEBEEGHHFH平面平面，面面IIQ(2)因为CF面ABC,ABBC以C为坐标原点，平行于AB的射线为x轴，CB,CE分别为y轴，z轴建立空间坐标系则C（0,0,0），设AB=2，则DE=1,221,2BABCFCBABBC,CF=DE,AC=45，QB(0，2，0)A（-2,2,0）G（-1,1,0）H（0，1，0）F（0,0,1）则(1,0,0),(0,1,1)GHFHuuuruuur，(2,2,0),(0,01)CACFuuruuur设平面FGH,和平面ACFD的法相量分别为11112222(,,),(,,)nxyznxyzruur则111110000xnGHyznFHruuurgruuurg令111(0,1,1)ynur则22222220000xynCAznCFruurgruuurg令211(1,1,0)ynur则12121,2nnnnuruururuurg设平面FGH与平面ACFD所成的锐角为，则11cos222平面FGH与平面ACFD所成的锐角的大小为6018：1111233(1),2,233(2),(1)(2)2a3323nnnnnnnnSnSQ011331,3,312nSa即13(2)3(1)nnnan所以数列na的通项公式为13(2)3(1)nnnan（2）因为131(n1)()(2)3log13nnannnnabb（3）当n=1时11nTb当1n时21111112()(1)()(1)3333nnTnLL12113112()(1)()(2)33nnTnLL1121111()2111213(2)(1),21()()(1)()(1)()133333313nnnnnTnnLL=1363623nng所以13631243nnnT，当n=1时也成立数列nb的前n项和为nT=13631243nn19：（1）所有个位数字为5的”三位递增数”：125,135,145,235,245,345.（2）全部的“三位递增数”的个数为3984C设随机变量X的取值为：0，-1,132843399211211(X0),(X1),(X1)131414342CCpppCC所以X的分布列为X0-11p231141142期望211140(1)13144221XE:20：法以设两圆的交点为M，由题意得期望12122,3,124MFMFaMFMFaQ即a=1，2223312cecabcbaQQ故椭圆22:14xCy法二：解设椭圆的左右焦点的坐标为12(,0),(,0)FcFc由题意得2222222()92()11(c)xxcycxcyyc即交点为222(,1())ccc因为2222222433213accabcabc因为交点为222(,1())ccc在椭圆2222:1xyCab所以2222222()1()134133cccccc或234c将234c代入2223(2)241()1034ycc所以舍去所以2223,4,1cab故椭圆22:14xCy（2）椭圆22E:1164xy，设P点00(,),xy220014xy设OQOP则Q00(,),xy在22E:1164xy即2200()()12164xy2OQOP法二：当00x时，(0,1),(0,2)2OQPQOP当00x时,射线PO的方程为222200022000220011644,414ppxyxxyyyxyxxxyyxy2222002ppxyOQOPxy（3）设A,B两点分别1122(,),(x,xyy）因为点P00(,)xy在直线ykxm上所以00ykxm222221(41)8+4404xykxkmxmykxm2222(8)4(41)(44)041kmkmmkV222221(41)8+4