近世代数

近世代数试题一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1.设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（）个元素。A.2B.5C.7D.102.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（）A.满射而非单射B.单射而非满射C.一一映射D.既非单射也非满射3.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(123)交换的所有元素有（）A.(1)，(123)，(132)B.(12)，(13)，(23)C.(1)，(123)D.S3中的所有元素4.设Z15是以15为模的剩余类加群，那么，Z15的子群共有（）个。A.2B.4C.6D.85.下列集合关于所给的运算不作成环的是（）A.整系数多项式全体Z［x］关于多项式的加法与乘法B.有理数域Q上的n级矩阵全体Mn(Q)关于矩阵的加法与乘法C.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝0D.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法“”：m，n∈Z，mn＝1二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)6.设“～”是集合A的一个关系，如果“～”满足___________，则称“～”是A的一个等价关系。7.设(G，·)是一个群，那么，对于a，b∈G，则ab∈G也是G中的可逆元，而且(ab)－1＝___________。8.设σ＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)。9.如果G是一个含有15个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于a∈G，则元素a的阶只可能是___________。10.在3次对称群S3中，设H＝{(1)，(123)，(132)}是S3的一个不变子群，则商群G/H中的元素(12)H＝___________。11.设Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}是以6为模的剩余类环，则Z6中的所有零因子是___________。12.设R是一个无零因子的环，其特征n是一个有限数，那么，n是___________。13.设Z［x］是整系数多项式环，(x)是由多项式x生成的主理想，则(x)＝________________________。14.设高斯整数环Z［i］＝{a＋bi|a，b∈Z}，其中i2＝－1，则Z［i］中的所有单位是______________________。15.有理数域Q上的代数元2+3在Q上的极小多项式是___________。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）16.设Z为整数加群，Zm为以m为模的剩余类加群，是Z到Zm的一个映射，其中：k→［k］，k∈Z，验证：是Z到Zm的一个同态满射，并求的同态核Ker。17.求以6为模的剩余类环Z6＝{［0］，［1］，［2］，［3］，［4］，［5］}的所有子环，并说明这些子环都是Z6的理想。18.试说明唯一分解环、主理想环、欧氏环三者之间的关系，并举例说明唯一分解环未必是主理想环。四、证明题（本大题共3小题，第19、20小题各10分，第21小题5分，共25分）19.设G＝{a，b，c}，G的代数运算“”由右边的运算表给出，证明：(G，)作成一个群。20.设,Zc,a0c0aI,Zd,c,b,adcbaR已知R关于矩阵的加法和乘法作成一个环。证明：I是R的一个子环，但不是理想。21.设(R，＋，·)是一个环，如果(R，＋)是一个循环群，证明：R是一个交换环。近世代数模拟试题一一、填空题（每空3分，共30分）1、若A={2，5},B={1,0,-2}则A×B=abcaabcbbcaccab2、设集合A有一个分类，其中iA与jA是A的两个类，如果jiAA，那么jiAA。3、循环群的子群是--------。4、已知群G中的元素a的阶等于50，则4a的阶等于。5、如果无零因子环R的特征是有限整数n，那么n是一个------------。6、整数环Z关于理想（m）的商环为7、剩余类环Z6的子环S={［0］,［2］,［4］}，则S的单位元是____________.8、设I是唯一分解环，则I［x］与唯一分解环的关系是____________.9、在S6中分解为循环之积10、一个有单位元的无零因子称为整环。二、选择题（每小题3分，共15分）1、设S3={（1），（12），（13），（23），（123），（132）}，则S中与元（123）不能交换的元的个数是()。A.1B.2C.3D.42、设,G为群，其中G是实数集，而乘法kbaba:，这里k为G中固定的常数。那么群,G中的单位元e和元x的逆元分别是（）A、0和x；B、1和0；C、k和kx2；D、k和)2(kx。3、在一个环中，单位元（）A、至少有一个，但可能有多个；B、至多有一个，但可能没有；C、有且仅有一个；D、可能无数个；4、设H是群G的子群，且G有左陪集分类cHbHaHH,,,。如果6，那么G的阶G（）A、6；B、24；C、10；D、12。5、设是整数集Z上的二元运算，其中baba,max（即取a与b中的最大者），那么在Z中（）A、不适合交换律；B、不适合结合律；C、存在单位元；D、每个元都有逆元。三、简答题（每小题8分，共40分。下列题正确错误均需说明，正确的，予以证明；错误的，给出反例。判断3分，说明5分，判断错误，全题无分。）1、A={所有不等于零的实数}，是普通除法：ab=ba,这个代数运算适合不适合结合律。2、A={所有实数}。bababa2),(:这个代数运算适合不适合结合律？3、任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。4、A={所有实数}，A的元间的关系以及是不是等价关系？5、全体整数的集合对于普通减法来说是不是一个群？四、证明题（共15分）1、验证集合3|,Aabab是有理数关于普通加法和乘法作成一个域.