曲面的第二基本形式在曲面论中的作用

1曲面的第二基本形式在曲面论中的作用1引言为了研究曲面在空间中的弯曲性而引入了曲面的第二基本形式，它近似等于曲面与切平面的有向距离的两倍，从而刻画了曲面离开切平面的弯曲程度，即曲面在空间中的弯曲性，并且与曲面的第一基本形式共同构成了曲面论的基本定理．从而确定了曲面一点附近的结构与形状．由此可见曲面的第二基本形式在曲面论中的作用举足轻重，同时由它引出的曲面的几何性质又是曲面论中的难点．本文将主要通过对曲面的各种曲率（如法曲率，测地曲率，主曲率等），曲面上的各种特殊曲线（如渐近线，曲率线等）和曲线网（如曲率网，共轭网等），曲面上点的类型（如椭圆点，双曲点等）等内容的讨论举例来阐述曲面的第二基本形式在曲面论中的作用．2曲面的第二基本形式2.1定义曲面的第二基本形式2C类曲面:,Srruv，曲线():C,rusvsrs（s为自然参数）为S上过一固定点P的曲线，为S在P点的切平面，n为曲面在P点的单位法向量，则2222uuuvvvnrdsnrdunrdudvnrdv（１）令uuLrn，uvMrn，vvNrn（２）则（１）式变为Ⅱ22222ndrndrLduMdudvNdv（３）称之为曲面的第二基本形式，它的系数L、M、N称为曲面的第二类基本量．)8381](1[P它就近似等于曲面到切平面有向距离的两倍．此外，对关系式0ndr微分得20dndrndr所以曲面的第二基本形式也可写为Ⅱ2ndrdndr．一般来说曲面第二基本形式的这种表达方式主要应用于曲面相关性质的证明．2.2计算曲面的第二基本形式2由于曲面的单位法向量2uvuvuvrrrrnrrEGF，代入（2）中得2,,uuuvuurrrLrnEGF，2,,uvuvuvrrrMrnEGF，2,,vvuvvvrrrNrnEGF．所以根据以上公式来计算曲面的第二基本形式．例1计算球面coscos,cossin,sinrRRR的第二基本形式．解球面方程为coscos,cossin,sinrRRR，所以有cossin,coscos,0rRR，sincos,sinsin,cosrRRR于是得22cosErrR，0Frr，2GrrR所以2rrnEGFcoscos,cossin,sin又coscos,cossin,0rRRsinsin,sincos,0rRRcoscos,cossin,sinrRRR，所以2cosLrnR，0Mrn，NrnR因而2cosIIRR．3法曲率3.1法曲率设():C,rusvsrs为曲面S上经过一固定点P的一条曲线．k为曲线(C)在P点的曲率，为和n间的夹角0，则有322222cos2IILduMdudvNdvkIEduFdudvGdv（４）对于曲面上的法截线0C有0n，00或，cos1所以它的曲率0IIkI于是我们将222222nIILduMdudvNdvkIEduFdudvGdv（５）称之为曲面在一点沿所取方向的法曲率．)159158](2[PⅡ＞０时，0nkk，法截面朝切面的正向弯曲；Ⅱ＜０时，0nkk，法截面朝切面的负向弯曲；Ⅱ＝０时，00nkk，法曲率和法截线曲率都等于零．例１求抛物面2212zaxby在0,0点和方向:dudv的法曲率．解抛物面方程为221,,2rxyaxby求得1xxErr，0xyFrr，1yyGrrxxLnra，0xyMnr，yyNnrb所以2222nIIadxbdykIdxdy．例2利用法曲率公式nIIkI证明在球面上对于任何曲纹坐标第一、二类基本量成比例．证明对于球面coscos,cossin,sinrRvuRvuRu可求得22222cosIRvduRdv，222cosIIRvduRdv4所以球面上任意一点,Puv沿任意方向:dudv的法曲率为1nIIkIR又222222nIILduMdudvNdvkIEduFdudvGdv得2220RLEduRMFdudvRNGdv．又因为对于任一方向d成立，故有01,00100,1RLEdudvRMFdudvRNGdudv所以EFGRLMN．3.3梅尼埃（Meusnier）定理从（４）式和（５）式得cosnkk．若设1Rk，1nnRk，R为曲线C的曲率半径，nR为曲线0C的曲率半径，则cosnRR．上式的几何意义就是:梅尼埃（Meusnier）定理曲面曲线C在给定点P的曲率中心C就是与曲线C具有共同切线的法截线0C上同一点P的曲率中心0C在曲线C的密切平面上的投影．)90](1[P４曲面上的各种曲率4.1主曲率及欧拉(Euler)公式既然曲面上曲线的曲率都可以转化为法曲率来讨论，那么我们有必要对法曲率随方向变化的规律进行研究．定义在曲面上一点P，法曲率的每一个逗留值称为曲面在这一点的主曲率，而对应主曲率的方向称为曲面在此点的一个主方向．)164](2[P5主方向满足方程220EMFMduENGLdudvFNGMdv．主曲率满足方程22220NNEGFkLGMFNEkLNM．曲面在非脐点处，由于主曲率方程的判别式△＞０，所以它有两个不相等的实根，因而曲面上非脐点处总有两个主方向．在脐点处，方程是恒等式，因而每一方向都是主方向．罗德里格（Rodrigues）定理若方向（d）是主方向，当且仅当ndnkdr，nk为曲面沿（d）的法曲率．)97](1[P欧拉(Euler)公式:2212cossinnkkk是任意方向（ｄ）与ｕ－曲线的夹角．)100](1[P欧拉(Euler)公式告诉我们只要知道主方向，任何方向（ｄ）的法曲率都可以由方向（ｄ）和ｕ－曲线的夹角来确定．而主曲率与法曲率有着下面的关系:命题)101]([!P曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在这点所有方向的法曲率中的最大值和最小值．例1确定抛物面22zaxy在0,0点的主曲率．解抛物面的方程22,,rxyaxy可求得在0,0处1E，0F，1G；2La，0M，2Na把第一、二基本量代入主曲率方程（７）得220Nak解得122kka．例2证明在曲面上给定点处，沿相互成为直角的方向的法曲率之为常数2H．证明设该点相互成直角方向的法曲率分别为kn和kn，则由欧拉公式得2212cossinnkkk62212cossin22nkkk2212sincoskk所以12nnkkkk2H．4.2高斯(Gauss)曲率和平均曲率若1k，2k为曲面上一点的两个主曲率，则它们的乘积12kk称之为曲面在这一点的高斯曲率（Gauss），通常以K表示，它们的平均数121()2kk称之为曲面在这一点的平均曲率，通常以H表示．)174](2[P根据主曲率的方程（５）利用二次方程根与系数的关系得2122LNMKkkEGF12212()22LGMFNEHkkEGF．因而主曲率的方程也可以表示为220NNkHkK．例１求正螺面cos,sin,ruvuvav的高斯曲率和平均曲率．解由正螺面方程cos,sin,ruvuvav得1E，0F，22Gua0uuLnr，uvMnra，0vvNnr因此22222LNMaKEGFua22220022LGMFNEHEGFua．例2如果曲面的平均曲率为零，则渐近线网构成正交网．证明因为曲面的平均曲率2202LGMFNEHEGF7所以20LGMFNE设曲面的曲纹坐标网为渐近线网，则0LN于是0MF，即0F(若0M，则曲面上的点为脐点)所以曲纹坐标网为正交网，即渐近线构成正交网．5曲面上点的类型5.1杜邦(Dupin)指标线为了研究曲面上一点P处法截线的法曲率的关系，在点P的切平面上取点P为原点，坐标曲线在P点的切向量ur和vr为基向量，nk为对应方向(d)的法曲率为，1nk为法曲率半径的绝对值，过点Ｐ方向（d）画线段PN，使其长度等于1nk，对于切平面上所有方向，点N的轨迹称为曲面在点P的杜邦(Dupin)指标线．)9291](1[P杜邦(Dupin)指标线的方程为2221LdxMdxdyNdy．5.2曲面上点的分类利用杜邦(Dupin)指标线可以对曲面上的点进行分类，同时也可以通过一点的高斯曲率K来对曲面上的点进行分类(如表5－2)．)64](3[P表5－2类型2LNFK杜邦(Dupin)指标线椭圆点＞0＞0椭圆双曲点＜0＜0双曲线抛物点＝0＝0抛物线脐点:EFGLMN，其中圆点:,,0,0,0LMN，平点:0LMN．例求曲面32,,rvuuv上的抛物点的轨迹．解由32,,rvuuv得8241Eu，1F，491Gv26Lv，0M，12Nuv令322720uvLNMEGF则0u或0v所求抛物线的轨迹为3212,0,,0,,rvvruu．6曲面上的特殊曲线和曲线网6.1曲率线及曲率网定义1曲面上一曲线，如果它每一点的切方向都是主方向，则称它为曲率线．)98](1[P曲率线的微分方程为220dvdudvduEFGLMN．定义2两族曲率线构成的曲率线网称为曲率网．)98](1[P命题1在不含有脐点的曲面上，任何正规坐标网都可以做成曲纹坐标网．)99](1[P命题2曲纹坐标网为曲率网的充分必要条件是0FM．)99](1[P例１确定螺旋面cosxuv，sinyuv，zcv上的曲率线．解螺旋面方程cos,sin,ruvuvcv可以求得1E，0F，22Guc0L，22cMuc，0N由曲率线的方程得922222210000dvdudvduuccuc化简得22dudvuc积分得22lnuucvc所以曲率线为221lnuucvc，222lnuucvc．例2若曲面1S，2S交于一条曲线()C，而且()C是1S的一条曲率线，则()C也是2S的曲率线的充要条件是1S，2S沿着()C相交成固定角．证明设1S，2S两曲面的切向量为1n，2n，相交曲线()C:(,)rruv是一条曲率线．由罗德里格（Rodrigues）定理知11dndr．若()C也是2S的曲率线的充分必要条件为rdnd221212drnndr1200012nn常数1212cos,nnnn常数120,nn(常数)沿()C曲面1S，2S的夹角为定角．6.2渐近曲线及渐近网定义1曲面S上一固定点P处，使Ⅱ0的方向称之为曲面在点P的渐近方向．)93](1[P定义2若曲面S上一条曲线C的切方向都是渐近方向，则称其为渐近曲线．)93](1[P定义3如果曲面上的点都是双曲点，则曲面上存在两族渐近曲线，这两族渐近曲线称为曲面上的渐近网．)94](1[P渐近曲线的微分方程为2220LduMdudvNdv．10命题1曲面上一条曲线为渐近曲线的充要条件是或者它是一条直线，或者它在每一点的密切平面与曲面的切平面重合．)192](2[P命题2曲