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第一讲整数计算综合知识精讲一、交换律加法交换律：a+b=b+a例如：123+234=234+123乘法交换律：a×b=b×a例如：123×234=234×123二、结合律加法结合律：（a+b）+c=a+(b+c)例如：（123+234）+345=123+（234+345）乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)例如：（123×234）×345=123×（234×345）三、分配率乘法分配率：例如：（234－123）×5=234×5－123×55×（234－123）=5×234－5×123除法分配率：例如：（100－40）÷10=100÷10－40÷10不能100÷（10－40）=100÷10－100÷40（错误的）四、去（添）括号：1、加减法去（添）括号：括号前面是“＋”，去（添）括号后不变号；括号前面是“－”，去（添）括号后要变号。例如：234＋（345－123）=234＋345－123345－（234－123）=345－234＋1232、乘、除法去（添）括号：括号前面是“×”，去（添）括号后不变号；括号前面是“÷”，去（添）括号后要变号。例如：8×（5÷8）=8×5÷8；93÷（31÷3）=93÷31×3五、带符号搬家：同级运算时，可以带符号搬家，改变运算顺序。c×（a+b）=c×a+c×bc×（a－b）=c×a－c×b（a+b）×c=a×c+b×c（a－b）×c=a×c－b×c（a+b）÷c=a÷c+b÷c（a－b）÷c=a÷c－b÷c注意：加、减法同为第一级运算，乘、除法同为第二级运算。例如：241－164＋59=241＋59－164165×29÷5=165÷5×29四则混合运算时要先算乘除法、后算加减法，同级运算按照从左到右的顺序计算，有括号时先算括号内的。例题一：计算：（1）125×71×8（2）124×24÷31（3）28×7÷28×7练习1：计算：（1）25×123454321×4（2）96×25÷24例题二：计算：（1）222÷64×32（2）123÷（41÷32）（3）125×21×60÷（7÷8×15）练习2：计算：（1）72×27×88÷（9×11×12）（2）25×121÷2÷（11×5÷4）例题三：计算：（1）222×33＋889×66（2）21×32＋58×68＋32×37（3）12×21＋23×12＋52×11练习3：计算：23×5＋46×25＋69×15例题四：计算：（1）（16＋32＋40）÷4（2）96÷4＋176÷4＋128÷4（3）15÷6＋53÷6－20÷6练习4：计算：（1）52÷7－13÷7＋3÷7（2）11÷5＋111÷5＋1÷5－23÷5挑战极限：例题五：计算：（1）15×16÷12（2）64÷28×35例题六：计算：（1）56×47＋46×44（2）55×45－56×44作业：1、计算（1）75×24÷25（2）46÷13×26÷232、计算（1）50×27×77÷（25×11×9）（2）110×47－125÷100×（47×8）3、计算：13×29＋26×19＋11×394、计算49÷13－107÷13＋110÷135、计算：50×27÷45第二讲和差倍中的分组比较一、知识梳理三年级我们学习过,当题目中包含两个以上的对象时,最简单的解决方法就是：把其中的若干对象“打包”变成一个对象,从而减少对象的数量,最终把问题变成两个对象间的和差倍问题.这种“打包”的方法就是所谓的分组法.在有多个对象的和差倍问题中,分组法和比较法是常用的方法.我们先来看这么简单的问题：甲、乙、丙三人称重,由于秤出了点问题,只能准确地称出60千克与90千克之间的重量,因此他们三人只能两人两人一起称重.甲和乙一起称,总重量是73千克；乙和丙一起称,总重量是80千克；丙和甲一起称,总重量是75千克.三人的体重分别是多少千克?我们把甲、乙两人看成一组,乙、丙两人也看成一组（其中乙同时属于两组）,比较这两组我们发现丙比甲重80-73=7千克.再结合甲、丙总重量为75千克,可以根据和差关系算出甲、丙各自的重量.在这个例子中,我们既考虑两人一组的总重量,也把两组的总重量作比较.除此之外,还有另一种利用分组比较的分析方法:我们把甲、乙、丙三个人两两的体重看做一组,把三组相加,即为三个人体重和的2倍.由此可得三人体重之和为千克,再分别与每一组进行比较,即可得到三个人的体重.由此可见,用分组法与比较法在处理多个对象的和差倍关系时,可以把条件之间的关系变得更清晰.而且,一个题目往往是可以从不同的角度采用不同的分析方法进行解决的,所以我们要根据题目的实际情况进行合理地比较.有些题目直接列出算式去比较会很麻烦,所以我们可以用画图的方法来帮助我们比较.二、典例精析【典例1】成都树才学校举办包包子大赛,小明比小红多包3个,小张比小黄多包9个,小明和小黄共包了87个,那么着四个人共包了多少个包子?【分析】按条件画出分组图,比较两组中有关联的人,你有什么发现吗?(738075)2【典例2】在神秘的星球上只有四种水果,其中火龙果和水龙果共83个,水龙果和金龙果共86个,金龙果和木龙果共88个,请问:火龙果和木龙果共多少个?【分析】这三组的总数之间有什么联系吗？比较其中两组的水果数量,你有什么发现吗？或者试试比较法中“累加”的方法,能有什么发现吗？【典例3】某学生到工厂勤工俭学,按合同规定,干满30天,工厂将给他一套工作服和1000元钱,但由于学校另有安排,他工作了10天后便终止了合同.按天计算所得报酬,工厂需要给他一套工作服和200元钱,请问:这套工作服值多少元钱?【分析】工作10天比工作30天要少拿20天的报酬,究竟拿了多少元钱呢?【典例4】某食堂买来的大米的袋数是面粉的4倍,该食堂每天消耗面粉20袋,大米60袋.几天后面粉全部用完,大米还剩下200袋.请问:这个食堂买来大米多少袋?【分析】由于大米的袋数是面粉的4倍,我们可以把1份面粉和4份大米分成一组,怎么分组才能使每天恰好消耗完一组中的面粉呢?这时一组里剩下多少袋大米呢?你能算出一共用了多少天吗?【典例5】五年级有甲、乙、丙、丁四个班,不算甲班,其余三个班的总人数是121人;不算丁班,其余三个班的总人数是134人;丁班人数的2倍比甲班多9人.请问:这四个班共有多少人?【分析】把题目给出的条件例举出来,进行分析比较,能得出关于丁、甲两班的关系吗?三、牛刀小试【练习1】有来自阳光、灿烂、雨天、清风这四所小学的同学参加成都树才学校吃包子比赛,其中阳光学校参赛人数比灿烂学校多5人,雨天学校参赛人数比清风学校多7人,如果灿烂、雨天两校一共有40人参加比赛,那么阳光、清风两校一共有多少人参加比赛?【练习2】西瓜太郎有四种西瓜,其中红西瓜和绿西瓜共23个,绿西瓜和粉西瓜共35个,粉西瓜和黄西瓜共39个,请问:红西瓜和黄西瓜共多少个?【练习3】在海阳王国里,海豚在鲸鱼开的餐厅打工,它俩说好工作满30天,鲸鱼就付给海豚100个海洋币和1颗珍珠.但工作了25天,海豚决定不干了.按天算工资,鲸鱼只给付给它50个海币和1颗珍珠.请问:这个珍珠值多少个海洋币?【练习4】箱子里有红、白两种玻璃球,红球数是白球数的3倍.每次从箱子里取出7个白球,15个红球.经过若干次后,箱子里白球恰好被取完,只剩下54个红球.那么箱子里原有红球、白球各多少个?【练习5】五年级有甲、乙、丙、丁四个班,不算甲班,其余三个班的总人数是131人;不算丁班,其余三个班的总人数是140人;乙、丙两个班的总人数比甲、丁两个班的总人数少1人.请问:这四个班共有多少人四、巩固提高1.学校举行联欢会，如果甲、乙、丙三个班的学生参加,共60人;如果只有甲、乙两班的学生参加,共40人;如果只有乙、丙两班的学生参加,共32人.乙班有多少人?2.某次数学考试,甲、乙的成绩和是184分,乙、丙的成绩和是188分,那么甲比丙少多少分?3.一个桶里有一些油,如果把油加到原来的2倍,油桶连油共重26千克;如果把油加到原来的4倍,这时油和桶共重46千克,那么桶重多少千克?4.森林学校里,有的学生爱吃苹果,有的学生爱吃香蕉.于是,兔子厨师就专门针对不同学生的口味订购了一批苹果核香蕉,已知苹果数量是香蕉的5倍,小朋友们每天一共要吃30个香蕉个90个苹果,几天后香蕉全部被吃完了,苹果却还剩下600个.请问:兔子厨师一共订购了多少个苹果?5.老大、老二、老三是张家三兄弟,今年老大与老二的年龄之和是23岁,老二与老三的年龄之和是18岁,老大与老三的年龄之和比老二年龄的2倍多1岁,请问:今年三兄弟的年龄之和是多少岁?第一讲变倍问题一、知识梳理大家在前面的学习中已经掌握了基本和倍、差倍、和差等问题的解法.对于基本和差倍问题,可以根据已知条件直接画出线段图.而对于有些较复杂的和差倍问题,我们往往需要先分析题目中的隐藏条件,找到各个数量之间的和差倍关系,然后再通过画线段图等方法求解.之前学过的题目一般只涉及两个量的一种倍数关系,这时“1”份的量较容易确定.如果已知条件涉及多个量的倍数关系,或是两个量之间的倍数关系发生了变化,那么这时选择哪个量作为“1”分量就是解题的关键了.如果设为“1”份不好算,还可以选择一个合适的数设为多份数.试一试:甲是乙的2倍,也是丙的3倍,那么设甲为()份.甲是乙的2倍,也是丙的5倍,那么设甲为()份.甲是乙的3倍,也是丙的5倍,那么设甲为()份.甲是乙的11倍,也是丙的20倍,那么设甲为()份.甲是乙的99倍,也是丙的100倍,那么设甲为()份.甲是乙的4倍,也是丙的12倍,那么设甲为()份.甲是乙的6倍,也是丙的9倍,那么设甲为()份.二、典例精析【典例1】学校门口放有红、黄、蓝三种颜色的花,其中黄花的盆数是最多的,是红花的4倍,是蓝花的3倍.已知蓝花比红花多20盆,请问:学校门口一共有多少盆花?【分析】黄花盆数是红花的4倍,是蓝花的3倍,红花、蓝花都与黄花有倍数关系,我们应该把黄花设为几份呢?【典例2】爸爸和小明跑步回来,各吃了一些饺子,此时爸爸吃的饺子是小明的3倍,过了一会儿,小明觉得不过瘾,又吃了3个饺子,这时爸爸吃的饺子只有小明的2倍了.请问:爸爸吃了几个饺子?【分析】小明又吃了3个饺子,小明吃的数量发生了变化,但是爸爸吃的数量没有变,我们把不变的量设为多少呢?【典例3】有红色、绿色两个箱子,红色箱子里装的是红球,绿色箱子里装的是绿球,红球的数量是绿球数量的3倍.从红色箱子里拿出10个球放入绿色箱子里,这时红色箱子里球的数量是绿色箱子里球的数量的2倍.那么现在红色、绿色两个箱子里各有多少个球?【分析】从红色箱子里拿出10个放入绿色箱子里,两个箱子里的球数都发生了变化,那到底有没有不变量,什么不变呢?我们又该把这个不变量设为几份呢?【典例4】成都树才学校小学部与初中部老师们为希望小学的孩子们捐书,小学部的捐书量是初中部的6倍,若两个部门各增加30本,则小学部的捐书量是初中部的4倍.请问:两个部门原来各捐书多少本?【分析】两个部门各增加30本,那么两个部门的捐书量都发生了变化,但是什么没有变呢?我们把它设为几份比较容易计算呢?【典例5】王老师和麦兜抢包子,一开始王老师的包子个数是麦兜的3倍,麦兜趁王老师不注意,从王老师的手里抢走了100个包子,结果麦兜的包子数量变成了王老师的2倍.请问:王老师和麦兜原来分别有多少包子?【分析】先找不变量,要仔细读题,注意倍数关系,千万别弄反哦!三、牛刀小试【练习1】暑假里，心灵手巧的萱萱折了很多纸鹤，做了一副漂亮的纸鹤帘.这幅纸鹤帘以粉色和黄色的纸鹤做背景,绿色的纸鹤排列成一个“家”字,其中粉色的纸鹤比较多,既是黄色纸鹤的3倍,又是绿色纸鹤的5倍.让你过绿色和黄色的纸鹤一共有240个,那么萱萱的这幅纸鹤帘一共有多少个纸鹤?【练习2】小矮人和绿巨人比身高,绿巨人的身高是小矮人的3倍,后来小矮人从巫婆那里获得了生长剂,结果长了30厘米,,而绿巨人却没有再长高,此时绿巨人的身高只有小人的2倍.请问:小矮人和绿巨人原来分别有多高?【练习3】张三和李四一起搬砖,原计划张三搬其中的一些,,李四搬剩余