空间向量与立体几何 单元测试 有答案

1第三章空间向量与立体几何单元测试(时间：90分钟满分：120分)第Ⅰ卷(选择题，共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．1．以下四组向量中，互相平行的组数为()①a＝(2,2,1)，b＝(3，－2，－2)；②a＝(8,4，－6)，b＝(4,2，－3)；③a＝(0，－1,1)，b＝(0,3，－3)；④a＝(－3,2,0)，b＝(4，－3,3)A．1组B．2组C．3组D．4组解析：∵②中a＝2b，∴a∥b；③中a＝－13b，∴a∥b；而①④中的向量不平行．答案：B2．在以下命题中，不正确的个数为()①|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；②若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb；③对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若OP→＝2OA→－2OB→－OC→，则P，A，B，C四点共面；④若{a，b，c}为空间的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一组基底；⑤|(a·b)·c|＝|a|·|b|·|c|.A．2个B．3个C．4个D．5个解析：①|a|－|b|＝|a＋b|⇒a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋b|不一定成立，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C23．如图，已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不一定为零的是()A.PC→与BD→B.DA→与PB→C.PD→与AB→D.PA→与CD→解析：建立如图所示的空间直角坐标系．设矩形ABCD的长、宽分别为a，b，PA长为c，则A(0,0,0)，B(b,0,0)，D(0，a,0)，C(b，a,0)，P(0,0，c)．则PC→＝(b，a，－c)，BD→＝(－b，a,0)，DA→＝(0，－a，0)，PB→＝(b,0，－c)，PD→＝(0，a，－c)，AB→＝(b,0,0)，PA→＝(0,0，－c)，CD→＝(－b,0,0)．∴PC→·BD→＝－b2＋a2不一定为0.3DA→·PB→＝0，PD→·AB→＝0，PA→·CD→＝0.答案：A4．已知向量e1、e2、e3是两两垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2－e3，b＝e1＋2e3，则(6a)·12b等于()A．15B．3C．－3D．5解析：(6a)·12b＝3a·b＝3(3e1＋2e2－e3)·(e1＋2e3)＝9|e1|2－6|e3|2＝3.答案：B5．如图，AB＝AC＝BD＝1，AB⊂面α，AC⊥面α，BD⊥AB，BD与面α成30°角，则C、D间的距离为()A．1B．2C.2D.3解析：|CD→|2＝|CA→＋AB→＋BD→|2＝|CA→|2＋|AB→|2＋|BD→|2＋2CA→·AB→＋2AB→·BD→＋2CA→·BD→＝1＋1＋1＋0＋0＋2×1×1×cos120°＝2.∴|CD→|＝2.答案：C6．已知空间三点O(0,0,0)，A(－1,1,0)，B(0,1,1)在直线OA上有一点H满足BH⊥OA，则点H的坐标为()4A．(－2,2,0)B．(2，－2,0)C.－12，12，0D.12，－12，0解析：由OA→＝(－1,1,0)，且点H在直线OA上，可设H(－λ，λ，0)，则BH→＝(－λ，λ－1，－1)．又BH⊥OA，∴BH→·OA→＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，∴H－12，12，0.答案：C7．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是()A．90°B．60°C．30°D．0°解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．答案：A8．已知E、F分别是棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱BC、CC1的中点，则截面AEFD1与底面ABCD所成二面角的正弦值是()A.23B.23C.53D.2335解析：以D为坐标原点，以DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图．则A(1,0,0)，E12，1，0，F0，1，12，D1(0,0,1)，l所以AD1→＝(－1,0,1)，AE→＝－12，1，0.设平面AEFD1的法向量为n＝(x，y，z)，则n·AD1→＝0，n·AE→＝0，⇒－x＋z＝0，－x2＋y＝0.∴x＝2y＝z.取y＝1，则n＝(2,1,2)，而平面ABCD的一个法向量为u＝(0,0,1)，∵cos〈n，u〉＝23，∴sin〈n，u〉＝53.答案：C9．在三棱锥P­ABC中，△ABC为等边三角形，PA⊥平面ABC，且PA＝AB，则二面角A­PB­C的平面角的正切值为()A.6B.3C.66D.626解析：设PA＝AB＝2，建立如图所示的空间直角坐标系．则B(0,2,0)，C(3，1,0)，P(0,0,2)，∴BP→＝(0，－2,2)，BC→＝(3，－1,0)．设n＝(x，y，z)是平面PBC的一个法向量．则BP→·n＝0，BC→·n＝0，即－2y＋2z＝0，3x－y＝0.令y＝1，则x＝33，z＝1.即n＝33，1，1.易知m＝(1,0,0)是平面PAB的一个法向量．则cos〈m，n〉＝m·n|m||n|＝331×213＝77.∴正切值tan〈m，n〉＝6.答案：A710．已知OA→＝(1,2,3)，OB→＝(2,1,2)，OP→＝(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，则当QA→·QB→取得最小值时，点Q的坐标为()A.12，34，13B.12，32，34C.43，43，83D.43，43，73解析：∵Q在OP上，∴可设Q(x，x,2x)，则QA→＝(1－x,2－x,3－2x)，QB→＝(2－x,1－x,2－2x)．∴QA→·QB→＝6x2－16x＋10，∴x＝43时，QA→·QB→最小，这时Q43，43，83.答案：C第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．11．已知a＝(3，－2，－3)，b＝(－1，x－1,1)，且a与b的夹角为钝角，则x的取值范围是__________．解析：因为a与b的夹角为钝角，于是－1＜cos〈a，b〉＜0，因此a·b＜0，且a与b的夹角不为π，即cos〈a，b〉≠－1.解得x∈－2，53∪53，＋∞.答案：－2，53∪53，＋∞812．如图所示，已知正四面体A­BCD中，AE＝14AB，CF＝14CD，则直线DE和BF所成的角的余弦值为__________．解析：ED→＝EA→＋AD→＝14BA→＋AD→，BF→＝BC→＋CF→＝BC→＋14CD→，cos〈ED→，BF→〉＝ED→·BF→|ED→|·|BF→|＝14BA→＋AD→·BC→＋14CD→14BA→＋AD→2·BC→＋14CD→2＝413.答案：41313．已知a＝(x,2，－4)，b＝(－1，y,3)，c＝(1，－2，z)，且a，b，c两两垂直，则(x，y，z)＝__________.9解析：由题意知－x＋2y－12＝0，x－4－4z＝0，－1－2y＋3z＝0，解得x＝－64，y＝－26，z＝－17.答案：(－64，－26，－17)14．已知空间四边形OABC，如图所示，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝3GN→，现用基向量OA→、OB→、OC→表示向量OG→，并设OG→＝x·OA→＋y·OB→＋z·OC→，则x、y、z的和为__________．解析：OG→＝OM→＋MG→＝12OA→＋34MN→＝12OA→＋34－12OA→＋OC→＋12CB→＝12OA→－38OA→＋34OC→＋38OB→－38OC→＝18OA→＋38OB→＋38OC→，∴x＝18，y＝38，z＝38.∴x＋y＋z＝78.答案：78三、解答题：本大题共4小题，满分50分．1015．(12分)已知a＝(1,2，－2)．(1)求与a共线的单位向量b；(2)若a与单位向量c＝(0，m，n)垂直，求m、n的值．解：(1)设b＝(λ，2λ，－2λ)，而b为单位向量，∴|b|＝1，即λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1.∴λ＝±13.(4分)∴b＝13，23，－23或b＝－13，－23，23.(6分)(2)由题意，知a·c＝0，|c|＝1，⇒1×0＋2m－2n＝0，m2＋n2＋02＝1，解得m＝22，n＝22，或m＝－22，n＝－22.(12分)16．(12分)如下(左)图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别为AC、AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如下(右)图．(1)求证：A1C⊥平面BCDE；(2)若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小．11解：(1)∵AC⊥BC，DE∥BC，∴DE⊥AC.∴DE⊥A1D，DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC.∴DE⊥A1C.又∵A1C⊥CD，∴A1C⊥平面BCDE.(4分)(2)如图所示，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系C－xyz，则A1(0,0,23)，D(0,2,0)，M(0,1，3)，B(3,0,0)，E(2,2,0)．设平面A1BE的法向量为n＝(x，y，z)，则n·A1B→＝0，n·BE→＝0.又A1B→＝(3,0，－23)，BE→＝(－1,2,0)，∴3x－23z＝0，－x＋2y＝0.令y＝1，则x＝2，z＝3，∴n＝(2,1，3)．设CM与平面A1BE所成的角为θ.12∵CM→＝(0,1，3)，∴sinθ＝|cos〈n，CM→〉|＝|n·CM→|n|·|CM→||＝48×4＝22.∴CM与平面A1BE所成角的大小为π4.(12分)17．(12分)如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．(1)求证：AM∥平面BDE；(2)试在线段AC上确定一点P，使得PF与CD所成的角是60°.解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，13则N22，22，0，E(0,0,1)，∴NE→＝－22，－22，1.又A(2，2，0)，M22，22，1，∴AM→＝－22，－22，1.∴NE→＝AM→，且NE与AM不共线．∴NE∥AM.又NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.(6分)(2)设P(t，t,0)(0≤t≤2)，则PF→＝(2－t，2－t,1)，CD→＝(2，0,0)．又∵PF→与CD→所成的角为60°.|2－t·2|2－t2＋2－t2＋1·2＝12，解之得t＝22，或t＝322(舍去)．故点P为AC的中点．(12分)1418．(14分)如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是AB︵的中点，D为AC的中点．(1)证明：平面POD⊥平面PAC；(2)求二面角B­PA­C的余弦值．解：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则O(0,0,0)，A(－1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0，2)，D－12，12，0.设n1＝(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n1·OD→＝0，n1·OP→＝0，15得－12x1＋12y1＝0，2z1＝0.(4分)∴z1＝0，x1＝y1.取y1＝1，得n1＝