2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

12017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分，共36分）1．已知集合203xAxxZx，，则集合A中所有元素的和为（）A．1B．0C．2D．3【答案】B【解答】由203xx，得23x。又xZ。因此21012A，，，，。所以，集合A中所有元素的和为0。2．已知正三棱锥ABCD的三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，若三棱锥ABCD外接球的表面积为3，则三棱锥ABCD的体积为（）A．43B．23C．16D．19【答案】C【解答】设ABACADa，则三棱锥ABCD外接球的半径32Ra。由243R，得32R。∴1a，三棱锥ABCD的体积31166Va。3．已知x为实数，若存在实数y，使得20xy，且23xyxy，则x的取值范围为（）A．(43)(0)，，B．(02)(4)，，C．(4)(30)，，D．(0)(24)，，【答案】C【解答】由23xyxy，得23xyx∵20xy，∴2203xxx，即(4)03xxx，解得4x或30x。∴x的取值范围为(4)(30)，，。BDCA（第2题图）24．m、n是两条不重合的直线，、是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命题的个数是（）（1）对m、n外任意一点P，存在过点P且与m、n都相交的直线；（2）若m，nm∥，n∥，则；（3）若m，n，且，则mn；（4）若m∥，n∥，m∥，n∥，则∥。A．1B．2C．3D．4【答案】B【解答】（1）不正确。如图，在正方体1111ABCDABCD中，取m为直线BD，n为直线11AC。过点A的直线l如果与直线BD相交，则l在ABCD面内，此时l与直线11AC不相交。（2）、（3）正确。（4）不正确。如图，正方体1111ABCDABCD的面ABCD内取两条与BC平行的直线，如图中的直线AD与EF，则有11ADBCCB∥面，11EFBCCB∥面，1111ADABCD∥面，1111EFABCD∥面，但11BCCB面与面1111ABCD相交而不平行。5．已知函数22()(2)()fxxxxmxn，若对任意实数x均有(3)(3)fxfx，则()fx的最小值为（）A．16B．14C．12D．10【答案】A【解答】依题意，()fx的图像关于直线3x对称。∴(6)(0)0ff，(4)(2)0ff。于是，24(366)08(164)0mnmn，解得1024mn。10m，24n时，2222()(2)(1024)(2)(4)(6)(6)(68)fxxxxxxxxxxxxx。∴222222()(6)8(6)(3)98(3)9fxxxxxxx，即2422()(3)10(3)9(3)516fxxxx。此时，22(3)(5)16fxx，22(3)(5)16fxx，符合题意。∴2(3)50x，即35x时，()fx取最小值16。EC1B1D1CABDA1F（第4题图）36．已知a，b，cR，若2221abc，且(1)(1)(1)abcabc，则a的最小值为（）A．16B．15C．14D．13【答案】D【解答】由(1)(1)(1)abcabc，得1abcabbccaabcabc。∴1abbccaabc。设abcx，则1abbccax。∵2222()2()1abcabcabbcca，∴22(1)1xx，解得1x，即1abc，0abbcca。∴()0ababc，即()(1)0ababab。∴220ababab，即22(1)0babaa。由a，bR知，22(1)4()0aaa△。∴23210aa，解得113a。因此，13a。又当13a时，代入前面解得，23bc。符合题设要求。∴a的最小值为13。二、填空题（每小题6分，共36分）7．已知定义在10，上的函数()log()afxxm（0a，且1a）的值域也是10，，则am的值为。【答案】52【解答】当1a时，()fx在10，上为增函数，依题意有(1)log(1)1(0)log(0)0aafmfm，方程组无解。当01a时，()fx在10，上为减函数，依题意有(1)log(1)0(0)log(0)1aafmfm，解得212ma。所以，52am。8．如图，在三棱锥PABC中，5PAPCBABC，6AC，4PB。设PA与ABC面所成的角为，则sin的值ACBP4为。【答案】235【解答】如图，取AC中点O，连接OP，OB。∵5PAPCBABC，6AC，∴ACOP，ACOB，4OPOB。∴ACPOB面，ABCPOB面面。又由4PB，知POB△是等边三角形。作PHOB于H，则PHABC面，且23PH。∴PAH是PA与ABC面所称的角。∴23sinsin5PHPAHPA。9．已知(912)A，，(1612)B，，(00)O，，点D在线段OB内，且AD平分OAB，则点D的坐标为。【答案】9(6)2，【解答】如图，OB方程为34yx，设(43)Dtt，（40t）。又直线AO方程为430xy，AB方程为2473000xy，AD平分OAB。∴点D到直线AO、AB距离相等。∴1699621300525tttt。解得，6t（舍去）或32t。因此，点D坐标为9(6)2，。OACBPH（第8题图）（第8题图）（第9题图）510．设()fx是定义在R上以2为周期的偶函数，且在区间01，上单调递减。若()1f，(2)2f，则不等式组121()2xfx的解集为。【答案】282，【解答】∵()fx是偶函数，且在区间01，上单调递减。∴()fx在区间10，上为增函数。又()fx是以2为周期的周期函数，∴()fx在区间12，上为增函数。又()1f，(2)2f，以及()fx是以2为周期的偶函数。∴(2)()1ff，(82)(28)(2)2fff。又12822，∴不等式组的解集为282，。11．已知()2xfxx，定义1()()fxfx，1()(())nnfxffx，2n，3，4，…，则2017(3)f。【答案】2019323【解答】依题意，有1333(3)523f，2433(3)1323f，3533(3)2923f，……………一般地，有23(3)23nnf。所以，201720193(3)23f。12．已知0x，0y，0z，且22251xyz，则2xyyz的最大值为。【答案】12【解答】由222222215(4)()422(2)xyzxyyzxyyzxyyz，知122xyyz，当且仅当2xy，且yz，即210x，110yz时，等号成立。6所以，2xyyz的最大值为12。三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分）13．已知21()()3fxaxaxc，且当11x时，1()6fx恒成立。（1）求()fx的解析式；（2）已知11()Axy，、22()Bxy，是函数()yfx图像上不同的两点，1(1)6P，，且PAPB。当1x、2x为整数，123xx时，求直线AB的方程。【解答】（1）依题意，1(0)6fc，11(1)36fc。∴1166c，且1126c。∴16c。……………………………4分此时，1(0)6f，可见()fx在区间11，上的最小值为(0)f。∴()fx的对称轴为0x，即103a，13a。∴211()36fxx。……………………………8分（2）由（1）知，2111111111()16366(1)13PAyxxkxx。同理213PBxk。∵PAPB，∴1211133PAPBxxkk。∴12(1)(1)9xx。……………………………12分又1x、2x为整数，且12xx，∴121911xx，或121313xx，或121119xx。结合23x，得18x，22x。∴A、B坐标分别为127(8)6A，、7(2)6B，。7∴直线AB的方程为126310xy。……………………………16分14．过直线l：100xy上一点P作圆C：22(4)(2)4xy的两条切线PA、PB，A、B为切点。（1）在l上是否存在点P，使得120APB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（2）若直线AB过原点O，求点P的坐标。【解答】（1）假设符合条件的点P存在。则由120APB，知60APC。∵2CA，CAPA，∴43PC。………………………………4分另一方面，由圆心(42)C，到直线l的距离4210222d，知22PC。即4223，矛盾。因此，假设不成立。∴符合条件的点P不存在。………………………………8分（2）设00()Pxy，为直线l上一点。则2200(4)(2)4PAPBxy。∴点A、B在以P为圆心，半径为2200(4)(2)4xy的圆上，即点A、B在圆22220000()()(4)(2)4xxyyxy上，即圆2200002284160xyxxyyxy上。又点A、B在圆C：22(4)(2)4xy上，即圆2284160xyxy上。将上述两圆方程联立，消二次项，得0000(4)(2)42160xxyyxy。∴直线AB方程为0000(4)(2)42160xxyyxy。……………………12分由直线AB过原点O知，0042160xy。联立00100xy，解得02x，012y。∴点P的坐标为(212)，。………………………………16分815．如图，ABC△为锐角三角形，CFAB于F，H为ABC△的垂心，M为AH的中点。点G在线段CM上，且CGGB。（1）求证：MFGGCF；（2）求证：MCAHAG。【解答】（1）由条件知，BFFC，BGGC，∴B、C、G、F四点共圆。∴AFGBCG。………………4分∵M为AH的中点，∴MFMAMH，AFMFAM。延长AH交BC于点N。由H为ABC△的垂心知，ANBC。∴BANFCB。∴AFMBANFCB。又MFGAFGAFM，GCFBCGFCB，∴MFGGCF。………………………………8分（2）由（1）知，MFGGCF。又FMGCMF，∴MFGMCF△∽△。∴MFMGMCMF。……………………12分又MFMA，∴MAMGMCMA。又CMAAMG，∴MCAMAG△∽△。∴MCAMAGHAG。………………………………16分（第15题图）FMHBCAGNFMHBCAG（第15题图）916．已知()fx为定义在(0)(0)，，上的奇函数，且当0x时，2202()512xxfxxx，