线性代数论文(矩阵在自己专业中的应用及举例)

矩阵在自己专业中的应用及举例2摘要：I、矩阵是线性代数的基本概念，它在线性代数与数学的许多分支中都有重要的应用，许多实际问题可以用矩阵表达并用相关的理论得到解决。II、文中介绍了矩阵的概念、基本运算、可逆矩阵、矩阵的秩等内容。III、矩阵在地理信息系统中也有许多的应用，比如文中重点体现的在计算机图形学中应用。关键词：矩阵可逆矩阵图形学图形变换正文：第一部分引言在线性代数中，我们主要学习了关于行列式、矩阵、方程、向量等相关性比较强的内容，而这些内容在我们专业的其他一些学科中应用也是比较广泛的，是其它一些学科的很好的辅助学科之一。因此，能够将我们所学的东西融会贯通是一件非常有意义的事，而且对我们的学习只会有更好的促进作用。在计算机图形学中矩阵有一些最基本的应有，但是概念已经与线性代数中的有一些不同的意义。在计算机图形学中，矩阵可以是一个新的额坐标系，也可以是对一些测量点的坐标变换，例如：平移、错切等等。在后面的文章中，我通过查询一些相关的资料，对其中一些内容作了比较详细的介绍，希望对以后的学习能够有一定的指导作用。在线性代数中，矩阵也占据着一定的重2要地位，与行列式、方程、向量、二次型等内容有着密切的联系，在解决一些问题的思想上是相同的。尤其他们在作为处理一些实际问题的工具上的时候。图形变换是计算机图形学领域内的主要内容之一，为方便用户在图形交互式处理过程中度图形进行各种观察，需要对图形实施一系列的变换，计算机图形学主要有以下几种变换：几何变换、坐标变换和观察变换等。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。第二部分研究问题及成果1.矩阵的概念定义：由nm个数排列成的m行n列的矩阵数表annanannaaanaaa212222111211称为一个nm矩阵，其中an表示位于数表中第i行第j列的数，i=1,2,3，…n，又称为矩阵的元素。A,B元素都是实数的矩阵称为实矩阵。元素属于复数的矩阵称为复矩阵。下面介绍几种常用的特殊矩阵。（1）行距阵和列矩阵仅有一行的矩阵称为行距阵（也称为行向量），如A=(a11a12....a1n),也记为a=(a11,a12,.....a1n).仅有一列的矩阵称为列矩阵（也称为列向量），如3a=12111anaa。(2)零矩阵A=0000000000000000记为o或者0.(3)方阵。行数与列数相等的矩阵称为方阵.例如：A=annanannaaanaaa212222111211为nn矩阵，称为n阶方阵或者n阶矩阵，简记为A=（an）n，过元素a11，a22，a33,a44,.....ann,的直线为主对角线，主对角线上的元素为主对角元。按方阵的元素排列所构造的行列式称为方阵的行列式。（4）对角矩阵。主对角意外的元素全部为零的方阵称为对焦矩阵，常记为：A=annaa0002200011(5）单位矩阵。主对角线上的元素全部为1的对角矩阵称为单位矩阵，简记为E或者I：4A=100010001(6)数量矩阵。主对角线上全相等的对角矩阵。例如：ccc000000（其中c为常数）为一阶数量矩阵。（7）三角矩阵。主对角线上方或下方的元素全部为零的方阵称为上（下）三角矩阵。annnaanaaa00222011211为n阶上三角矩阵。（8）对称矩阵与反对称矩阵，在方阵A=（aij）n，中，如果aij=aji（ij=1,2,3.。。。。。），则称A为对称矩阵，如果A还为实矩阵，那么A为实对称矩阵。如果aij=-aji，则称A为反对称矩阵。定义：两个同类型的矩阵，如果对应的元素相等，则称矩阵A等于矩阵B。2.矩阵的运算2.1矩阵的加法⑴A+B=B|+A(加法交换律)⑵(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律）⑶A+0=0+A=A⑷A+(-A)=0.52.2数乘矩阵定义1：数乘一矩阵等于这个数乘以矩阵中的每一个元素。kannkankannkakakankakakakaij212222111211)(定义2：设AB为同类型的矩阵，k，l为常数，则⑴1A=A⑵k（lA）=（kl）A⑶k（A+B)=KA+KB⑷(K+L)A=KA+LA.2.3矩阵的乘法（1）矩阵的乘法不满足交换律。（2）两个非零矩阵的乘积可能为零矩阵。（3）矩阵的乘法不满足消去律。命题：（1）设A为pm矩阵，则OoPKmkA,OONMNPA(2)设A为nm矩阵，则AAAAEENm,其中E为单位阵（3）设A为m*p矩阵，B为p*q矩阵，k为数，则A(BC)=(AB)C(kA)B=A(kB)=k(AB)(4)J矩阵满足数乘的分配律，矩阵乘积的行列式等于矩阵对应行列式的乘积。62.4矩阵的转置定义2.7称mn矩阵annanannaaanaaa212222111211的转置为annnanaanaaanaa212221212111命题：设A,B,C,1A,2AnA是矩阵，且让它们相应的行数和列数使相应的运算有意义，k是数，则（1）A的转置的装置等于A（2）B与C的和的转置等于它们转置的和（3）TTkAkA)(（4）TTTABAB)(（5）若A为n阶矩阵，则MTTMAA)()(（6）A为对称矩阵的充要条件是AAT,A为反对称矩阵的充要条件为AAT2.5可逆矩阵定义设A为n阶矩阵，若存在n阶矩阵B，使得EBAAB,则称矩阵A可逆,B是A的可逆矩阵，记作1AB定理如果n阶矩阵A可逆，则它的逆矩阵唯一。定义设nijaA)(为n阶矩阵，ijA为A中的元素ija的代数余子式，7ij=1.2.3.......n，则称矩阵nnnnnnAAAAAAAAA212222111211为A的伴随矩阵，记为*A.由伴随矩阵的定义，不难验证AEAAAA**定理n阶矩阵A可逆的充要条件为0A，如果A可逆，则*11AAA.若n阶矩阵A的行列式不为零，即0A,即称A为非奇异矩阵，否则称A为奇异矩阵，由上述公式可以求出A的伴随矩阵。推论对n阶矩阵A，若有n阶矩阵B使得EAB或者EBA,则称矩阵A可逆，且BA1.克拉默法则设nnnnnnaaaaaaaaaA212222111211，nbbb21，321xxxx，如果矩阵A可逆，则线性方程组Ax=存在唯一解1Ax。2.6可逆矩阵的性质命题设A，B,),2,1(miAi为n阶可逆矩阵，k为非零常数，则nAAAABkAA211,,,也是可逆矩阵，且（1）AA11)(;（2）;1)(11AkkA（3）;)(,)(11121121111AAAAAAABABmn8（4）;)()(11TTAA（5）;11AA（6）;)()(11mmAAm为正整数。3.矩阵的初等变换与矩阵的秩3.1矩阵的初等变换定义对矩阵的行（列）实行下列三种操作（或变换）之一，称为对矩阵实行了一次初等行（列）变换：（1）交换矩阵的两行（列）；（2）矩阵的某一行（列）的元素乘以一个不等于零的数；（3）将矩阵某一行（列）的元素加上另一行（列）对应元素相同的倍数。定义满足一下条件的矩阵称为行阶梯型矩阵，简称为阶梯型矩阵；（1）非零行（元素不全为零的行）的标号小于零行（元素为零的行）的标号；（2）设矩阵有r个非零行，第i个非零行的第一个非零元素所在的列号为it，,,2,1ri则.21nttt定理任何矩阵都可以经过单纯的初等行变换化为阶梯形矩阵。定义一个阶梯型矩阵如果满足：（1）每一个非零行的第一个元素都为1；（2）每一个非零行的第一个元素所在的列的其他元素都为零，则称它为简化的阶梯型矩阵（也称为规范的阶梯型矩阵），定义如果一个非零矩阵的左上角为单位矩阵，其他位置的元素都为9零，则称这个矩阵为标准型矩阵。3.2矩阵的秩定义在矩阵nmijaA)(中任取k行和k列),,min1(nmk位于这k行和k列的交叉点的2k个元素，按照它们在矩阵A中的相对位置组成的k阶行列式称为矩阵A的一个k阶子式。定义若矩阵nmijaA)(中有一个r阶子式不为零，而A中所有的r+1阶子式（如果存在的话）都为零，则称r为矩阵A的秩，记为)(Ar或).(Arank规定零矩阵的秩为零。命题（1）一个矩阵的秩是唯一的。（2）设,)(nmijaA则.,min)(0nmAr0)(Ar的充要条件是A=0.（3）若矩阵A中有一个r阶子式不为零，则;)(rAr若矩阵A中所有的r阶子式全为零，则.)(rAr（4）在矩阵A中，任选s行t列，位于这s行t列交叉上的元素按它们在A中的相对位置所构成的矩阵称为A的一个子矩阵。若1A是A的一个子矩阵，则).()(1ArAr（5）).()(ArArT（6）阶梯型矩阵的秩等于它非零行的个数。设,)(nmijaA如果),)(()(nArmAr则称A为行（列）满秩矩阵，简称满秩矩阵。定理初等变换不改变矩阵的秩。3.3初等矩阵的概念与性质定义单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵都是初等矩阵。10定理用一个m阶初等矩阵左乘一个nm阶矩阵A，相当于对矩阵A进行相应的初等行变换；用一个n阶初等矩阵右乘一个nm阶矩阵进行初等列变换。推论初等矩阵都是可逆矩阵。定理对于任意的nm阶矩阵A，存在m阶初等矩阵,,,21sRRR使得ARRRs12为阶梯型矩阵（或简化的阶梯型矩阵）；存在n阶初等矩阵sCCC,,21使得,r2112nmnSOOOECCACRRR其中).(Arr推论1对任何nm阶矩阵A，存在m阶可逆矩阵P与n阶可逆矩阵Q，使得.)(nmrOOOEPAQ推论2对任何n阶矩阵A，A可逆的充要条件为A的标准型矩阵为n阶单位矩阵。推论3矩阵A可逆的充要条件为,21nPPPA其中nppp21,是初等矩阵。推论4任何一个可逆矩阵A经过单纯的初等行变换都可以化为单位矩阵。推论5设矩阵A为nm矩阵，P为m阶可逆矩阵，Q为n阶可逆矩阵，则).(PAQrAQrPArAr11矩阵的等价定义如果矩阵A经过有限次初等变换变为矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价（或相抵）。4.二维变换及观察图形变换是计算机图形学领域的重要内容之一。为方便用户在图形交互式处理过程中对图形进行各种观察，需要对图形实施一系列变换。计算机图形学中图形变换主要有几何变换、坐标变换和观察变换。这些变换有着不同的作用，却又紧密联系在一起。而这些变换正是通过矩阵的变换来实现的，因此，线性代数中的矩阵方面与计算机图形学联系还是很紧密的，不可分离的。4.1几何变换一般来说，图形的几何变换是指图形的几何信息通过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。也就是图形在方向、尺寸和形状方面的变换，需要改变图形对象的坐标描述。应对应几何变换可以使静止的图形按照一定的几何规则运动，从而更加有利于形体的设计。复杂图形的几何变换可以通过变换矩阵对构成图形的基本元素（点，线和面）的作用而实现，其中点的矩阵变换是这些变换的基础。例如：对于线框图的变换，以点的变换为基础，将图形学的一系列点作几何变换后，根据原因的拓扑关系连接新的顶点即可产生新的图形。对于参数方程的描述的图形，可以对参数方程作几何变换，实现图形的变换。4.2齐次坐标12齐次坐标技术是从几何学发展起来的。齐次坐标表示在投影几何中是一种证明定理的工具。有时在n维空间中比较难解决的问题，转换到n+1维空间比较容易解决。通过齐次坐标技术应用到计算机图形学中，使图形变换转化为表示图