复数与平面向量、三角函数的联系

说课课案复数与平面向量、三角函数的联系人教版高中数学选修(Ⅱ)第四章研究性学习课题松滋市第四中学艾云鹏一、教材分析1、教材的地位和作用本内容是已学复数知识的延续和深化，是学生学习高等数学的基础，有着承前启后的作用。作为研究性学习课题，它主要的作用是通过学生对知识的主动探究来培养学生的数学研究能力，合作意识和交流能力等。2、教学的重点与难点研究性学习重在学习过程而非结论，重在亲身参与主动探究而非单纯的被动的接受。因此，我认为本内容的重难点是复数与平面向量、三角函数的联系的探究过程。3、教学目标认知目标：了解复数与平面向量、三角函数的联系。能力目标：在知识的探究过程中，培养学生收集、处理信息的能力、研究能力、表达能力、评价和自我评价能力。情感目标：培养学生自主参与、积极交流的主体意识、协作意识和乐于探索、勇于创新的科学精神，以及用联系的眼光看问题的意识。二、学法分析我们的教学对象是高三学生,大多数具有一定的知识储备，具备较好的数学素养和较强的自主意识，但是仍有一部分学生存在思维或情感上的障碍。因此，教师要通过设置一系列的问题来引导学生的思维与探究活动，将探索学习、协作学习、个别辅导三者有机结合。学生重在参与、合作、交流，重在联想、分析讨论。适当借助多媒体有利于突出重点，突破难点。三、教学过程及设计意图1、课前准备1.1划分学习小组让学生自愿组合，分若干组，然后微调，争取在每组中安排数学能力、表达能力、组织能力较强的同学至少一位，并让学生推选出组长。1.2明确学习任务研究复数与平面向量、三角函数的联系老师要求各个小组在课前做好准备工作：复习相关内容(平面向量的概念和坐标运算、三角函数的概念与相关公式、复数已学知识)、收集资料和讨论研究。[设计意图]收集处理信息的能力、合作意识和合作能力都是现代人才必备的基本素质，设计该环节就是让学生成为问题的主体，在查阅资料和与人合作的过程中培养学生的上述两种能力。提出问题2、课堂教学探究复数的向量表示探究复数的加减法运算探究复数与平面向量的联系复数的三角形式探究探究提出问题复数的乘除法运算探究作业探究复数与三角函数的联系应用2、课堂教学讨论(一)复数与平面向量的联系2.1提出问题①复数、平面向量与平面直角坐标系中的点有什么关系?②由①看，复数与平面向量有什么关系?你能得到那些结论？学生讨论得到：复数Z=a+bia.b∈R点Z(a,b)平面向量坐标为(a,b)一一对应一一对应一一对应2.2探究问题接着提出问题③：我们可以用平面向量两个复数的和与差仍是复数，那么，我们用什么向量表示两个复数的和与差呢？[设计意图]通过问题①激活学生的知识储备，然后提出问题②③。从认知论的观点看，这样容易调动学生学习探究、接纳新知识的心理倾向,同时培养学生用联系的观点看问题的意识，并让学生明确探究方向。表示复数Z，各个小组自主探究，自由讨论，教师巡视，亦可参加某个小组的讨论，根据情况，教师适时适当的点拨，发问或针对某个同学，某一小组或面向全体。①Z1+Z2、Z1－Z2均是复数，设它们的对应点分别为Z、Z’，则点Z、Z’的坐标为多少？②向量分别是的和与差吗？③第②问从向量的坐标运算入手能得到结论吗？[设计意图]根据杜威倡导的“从做中学”，布鲁纳的发现学习论，设置此环节，学生自主探究，自由讨论，充分发挥学生的主动性，使每个学生都亲身体验探索过程中的思与喜。学生在组内讨论交流比当着老师或全班同学的面发言心理压力小些，这便于学生间的合作交流，同时，也便于学生作出评价和自我评价(肯定的话，学生能体味到成功的喜悦，增强自信；否定的话，能取人之长，补己之短，从而作出调整，提升自我)，这也体现了“研究性学习”的宗旨。老师的巡视，参与讨论，适时提问，主要是为了调控学生的思维与情感活动，进而调控探究活动。2.3展示成果根据巡视情况，教师让各小组派代表上台发言，或将写有结论及证明过程的答题纸放在投影仪上展示，不完善的地方请其他同学帮助完善。教师应给出肯定性评价，并表扬较好的小组及个人。[设计意图]让学生充分的展现自己，体会成功的喜悦及成就感，同时培养学生实事求是，勇于创新的科学精神，数学表达能力以及评价和自我评价能力。设复数z1=a+bi，z2=c+di，分别对应向量则z1+z2=(a+c)+(b+d)i对应向量OxyZ1Z2Zz1－z2=(a－c)+(b－d)i对应向量OxyZ1Z2讨论(二)复数与三角函数的联系2.4提出问题问题①：复数Z=a+bi可以用点Z(a,b)和向量表示，还有没有其他的表示呢？[设计意图]提出新挑战，激发求知欲。2.5探究问题[设计意图]此环节是为了突破难点，进而调控教学过程。教师展示动画，学生观察、分析、讨论，如果有难度，教师有针对性的提示：设点z(a,b)，r=，θ是以x轴非负半轴为始边，以所在射线为终边的角，那么a、b与r、θ是什么关系？学生通过观察得到：则复数Z=a+bi还可以表示成：这个表达式叫做复数Z的三角形式，其中r叫做复数Z的模，当r≠0时,θ叫做复数Z的辐角。②复数0的辐角呢？③复数的三角形式有哪些基本特征？[设计意图]通过这些问题调控学生的思维，探究活动，同时培养学生的演绎推理能力和归纳能力。学生讨论出问题③的答案后，提出问题：④设复数Z1的模与辐角为r1、θ1,复数Z2的模与辐角为r2、θ2,那么Z1·Z2的模与辐角跟Z1、Z2的模与辐角有什么关系？教师根据情况让各个小组派人上台展示结果。如有不完善的地方，请其他同学补充完善。2.6展示成果z1·z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)][cos(θ1－θ2)+isin(θ1－θ2)][设计意图]通过这样的过程培养学生应用已有知识解决问题的能力，通过演示动画让学生增进对复数乘法的几何意义的理解，同时激发学生学习数学的兴趣。3、小结让学生小结学习方法和情感体验。4、作业4.1查阅资料：了解笛卡儿、高斯、韦达、棣莫弗等数学家在这方面的贡献。4.2研究性作业：利用复数的三角形式，研究复数的乘方、开方运算。[设计意图]通过小结让学生对本次学习活动有一个总的认识，通过作业让学生带着问题和任务走出课堂，使研究性学习，数学学习从课内走到课外，促使学生良好习惯的养成。四、教学评价按照“提出问题，自主探究，合作交流，得出结论，应用实践(在讨论新问题的过程中运用刚刚得到的结论)”这个程序展开两轮讨论，让学生的思维完成了“认识→实践→认识→实践→……”的螺旋式上升过程，让学生深刻体会到数学的系统演绎性与实验归纳性的统一，以及数形结合之美，明白了事物间普遍联系的道理。在整个过程中，教师根据反馈得到的信息，运用一系列问题来调控进程与节奏，调控学生的思维、情感活动，注重老师的引导，组织作用，突出了学生的主体地位。学生的自主意识、协作能力、探究能力、应用知识解决问题的能力都得到了培养和提高，也大大增强了学生学习数学的兴趣。